1、数 学选修1-1 人教A版1利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是高考的热点。2解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：方法1.移项法构造函数典例探究典例探究典例典例 1方法2.作差法构造函数证明典例典例 2【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。方
2、法3.换元法构造函数证明典例典例 3【警示启迪】当F(x)在a，b上单调递增，则xa时，有F(x)F(a)，如果f(a)(a)，要证明当xa时，f(x)(x)，那么，只要令F(x)f(x)(x)，就可以利用F(x)的单调增性来推导也就是说，在F(x)可导的前提下，只要证明F(x)0即可方法4.从条件特征入手构造函数证明若函数yf(x)在R上可导且满足不等式xf(x)f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，求证：af(a)bf(b).解析由已知xf(x)f(x)0 构造函数F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)0,从而F(x)在R上为增函数ab，F(a)F(b)即af(a)bf(b)【警
3、示启迪】由条件移项后xf(x)f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数F(x)xf(x)，求导即可完成证明若题目中的条件改为xf(x)f(x)，则移项后xf(x)f(x)，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。典例典例 4方法5.主元法构造函数典例典例 5方法6.构造二阶导数函数证明导数的单调性典例典例 6(2)记F(x)f(x)(1x)exx21x(x0)则F(x)ex1x，令h(x)F(x)ex1x，则h(x)ex1当x0时，h(x)0,h(x)在(0，)上为增函数，又h(x)在x0处连续，h(x)h(0)0即F(x)0，F(x)在(0，)上为增函数，又F(x)在x0处
4、连续，F(x)F(0)0，即f(x)1x.小结：当函数取最大(或最小)值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x)(或mae时，证明：abba.典例典例 81f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意正数a、b，若ab，则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b)Dbf(b)af(a)巩固练习巩固练习A C k1 制 作 者：状元桥适用对象：高中学生制作软件：Powerpoint2003、Photoshop cs3运行环境：WindowsXP以上操作系统
