1、15153=5 3=5 45450.5=900.5=90 0.40.40.1=4 0.1=4 0 05=05=0 18187=27=24 4 101020=0.520=0.5 100100100=1 100=1 242412=212=2 你能不能运用你能不能运用所学的知识，所学的知识，给右边的除法给右边的除法算式分类算式分类 整整 除除1 1、被除数、除数（、被除数、除数（0 0除除外）都是整数；外）都是整数；2 2、商是整数；、商是整数；3 3、商后面没有余数。、商后面没有余数。36030=12 165=3.2 除 尽 103=31 4816=3150.3=50 722=36 1 1、以上算
2、式中哪几个算式、以上算式中哪几个算式的的被除数被除数能被能被除数除数?2 2、以上算式中哪几个算式、以上算式中哪几个算式的的被除数被除数能被能被除数除数?36030=124816=3722=36整整 除除 722=3636030=124816=3165=3.2150.3=5036030=124816=3722=36 除 尽 150.3=50165=3.20整整 除除 722=3636030=124816=3155=3244=68020=41.55=0.33.60.9=4163=5165=1.2240.4=60155=38020=4244=6ab=c（b0）自自 然然 数数 自自 然然 数数 自
3、自 然然 数数且没有余数且没有余数 像左边三题这样，数像左边三题这样，数a除以数除以数b，除得的商正好是自然数，而且没有余除得的商正好是自然数，而且没有余数，我们就说，数，我们就说，a能被能被b整除。整除。（也可以说（也可以说b能整除能整除a）例：例：15除以除以5，商是，商是3，没有余数，没有余数，我们就说，我们就说，15能被能被5整除。整除。（也可以说（也可以说5能整除能整除15）5 0 7.1 1 0.2 2哪些是自然数？哪些是自然数？注意：为了方便，我们在研究整除、约数和倍数时，注意：为了方便，我们在研究整除、约数和倍数时，所说的数一般都是指所说的数一般都是指除以外的自然数除以外的自然
4、数。03=0010=003=0010=0 发现：发现：0和任何数相乘都等于和任何数相乘都等于0；0除以任何数都等于除以任何数都等于0。自然数都是整数155=31.55=0.38020=465=1.2244=6240.4=603.60.9=4163=51除除 尽尽155=244=8020=1.55=0.33.60.9=4 3 6 4整整 除除 除尽包括整除。能除尽的不一定能整除，除尽包括整除。能除尽的不一定能整除，能整除的一定能除尽。能整除的一定能除尽。65=1.2240.4=60除除 尽尽 除得结果没有余数。除得结果没有余数。整除整除 被除数、除数（被除数、除数（0 0除外除外）、商都必须是、
5、商都必须是整数整数而没而没有余数。有余数。整除的算式的特征：整除的算式的特征：1.除数、被除数除数、被除数都是自然数都是自然数，且除数不为。，且除数不为。2.被除数除以除数，商被除数除以除数，商是自然数是自然数而而没有余数。没有余数。整除的意义：一个整数除以另一个不为零的整数，商是整数而没有余数，我们就说第一个整数能被第二个整数整除。整数整数a除以整数除以整数b（b0），），所得的商是整数而没有余数，所得的商是整数而没有余数，我们就说我们就说a a能被能被b b整除整除。b b能整除能整除a a？试试1：下面各数中，谁能被谁整除？谁能整除谁？：下面各数中，谁能被谁整除？谁能整除谁？28和和7
6、33和和11 59和和272和和8 0.6和和0.3 1和和13 试试2：下面各题哪些是整除？哪些是除尽？：下面各题哪些是整除？哪些是除尽？哪些都不是？为什么？哪些都不是？为什么？328=4 4030=1 10350.7=50 5117=3209=22 4.81.2=44.26=0.7 605=12 如果数如果数a能被数能被数b整除，整除，a就叫做就叫做b的倍数，的倍数，b就叫做就叫做a的约数。的约数。例：例：15能被能被5整除，我们就说，整除，我们就说，15是是5的的倍数，倍数，5是是15的约数。的约数。36=183和6是18的因数，18是3的倍数，也是6的倍数。ab=c(a,b,c都是不为
7、0的整数)a和b是c的因数，c是a的倍数，也是b的倍数。a a、b b、c c都是非都是非0 0的整数，如果存的整数，如果存在在ab=cab=c，那么（，那么（）是（）是（）的）的因数，（因数，（）是（）是（）的倍数。）的倍数。a和和bcca和和b 5 54=204=20，则（，则（）是（）是（）的因数，（的因数，（）是（）是（）的倍数。）的倍数。4和和520204和和5练练1：填一填填一填20和和10 7和和3 5和和5 2.1和和0.7 1和和17练练2:说一说说一说1.哪组数中有约数和倍数的关系？为什么？哪组数中有约数和倍数的关系？为什么？2.说出谁是谁的倍数，谁是谁的约数？说出谁是谁的
8、倍数，谁是谁的约数？1.12能被（能被（）整除，所以）整除，所以（）是）是12的（的（）数。）数。C:Documents and SettingslzjLocal SettingsTempRar$DI00.360SXZ1197.swf（）能被）能被2整除，所以整除，所以（）是）是2的（的（）数。）数。1、2、3、4、6、121、2、3、4、6、12约约2、4、6、8、102、4、6、8、10倍倍练练3：填一填填一填 试试3：下面各数中，哪个数是哪个数的倍数？：下面各数中，哪个数是哪个数的倍数？哪个数是哪个数的约数？哪个数是哪个数的约数？39和和13 98和和221和和7 3.6和和0.9 8和
9、和32 36和和 9 16和2 4和24 72和8 20和5 我会说我会说想想做做根据下面的算式，说说哪个数是哪个数的倍数，哪个数是哪个数的因数。11 11 4 444449 9 8 8 727212 12 5 5606045 45 3 3151512 12 5 52.42.48 8 2.5 2.5202013 13 4 43 31 1人教新课标五年级数学下册人教新课标五年级数学下册1、根据算式：4832说一说，谁是谁的因数？谁是的倍数？2、根据算式：6379说一说，谁是谁的因数？谁是的倍数？3、判断：1.20.26我们能说0.2和6是1.2的因数；1.2是0.2的倍数，也是6的倍数吗？我还想
10、到了26=12（或62=12）我观察到了空中有2行飞机，每行有6架在这个乘法算式中，2和6都是12的因数，12是2和6的倍数。天空中有4行飞机，每行有3架。34=12（或（或43=12）我发现了3 3和和4 4是是1212的因数，的因数，1212是是3 3和和4 4的倍数的倍数在这个乘法算式中，在这个乘法算式中，谁是谁的因数？谁是谁是谁的因数？谁是谁的倍数？谁的倍数？同学们还能找出同学们还能找出1212的其的其他因数吗？自己试试看，他因数吗？自己试试看，然后在小组中交流一下。然后在小组中交流一下。用用1212个同样大小的正方形拼个同样大小的正方形拼成一个长方形。成一个长方形。4 43=123=
11、12 12 12是是4 4的倍数，的倍数，1212也是也是3 3的的倍数，倍数，4 4和和3 3都是都是1212的因数。的因数。倍数倍数因数因数倍数倍数 =26122和6是12的因数。=261212是2的倍数，2和6是12的因数。也是6的倍数。12121=121=126 62=122=121212是是6 6的的倍数倍数，1212也是也是2 2的倍的倍数，数，6 6和和2 2都是都是1212的的因数因数。1212是是1 1的的倍数倍数，1212也是也是1212的倍的倍数，数，1212和和1 1都是都是1212的的因数因数。1、什么情况下，才可以、什么情况下，才可以说说“a是是b的倍数，的倍数，b
12、是是a的因数的因数”2、为什么不说、为什么不说a是倍数，是倍数，b是因数？是因数？3、因数和倍数之间有什么样的关系？、因数和倍数之间有什么样的关系？（数（数a a能被数能被数b b整除）整除）（相互依存（相互依存）在说倍数（或因数）时，必须说明谁是谁的在说倍数（或因数）时，必须说明谁是谁的倍数（或因数）。不能单独说谁是倍数（或因倍数（或因数）。不能单独说谁是倍数（或因数）。数）。因数和倍数不能单独存在。因数和倍数不能单独存在。18的因数有哪几个？18=1 1818=2 918=3 618的因数有：、。123189618的因数有哪几个？18=1 1818=2 918=3 618的因数1、2、3、
13、9、6、18、这个圈我们称它为集合圈，这种表示法就是用这个圈我们称它为集合圈，这种表示法就是用集合圈表示因数。集合圈表示因数。你能找出你能找出3636的所有因数吗？的所有因数吗？（）（）36363636的因数有的因数有1 136362 218183 312124 49 96 66 6，。，36 36 （）（）你能找出你能找出3636的所有因数吗？的所有因数吗？36 36 （2 2 ）（1818 ）36 36 （3 3 ）（1212 ）36 36 （4 4 ）（9 9 ）36 36 （6 6 ）（6 6 ）3636的因数有的因数有,2 2,1818,3 3,12 12,4 4,9 9,6 6。1
14、 136361 13636无论是乘法算式还是除法算式，在思考时要注意什么？1、要从最小的数开始；2、要找的数都必须是非0的整数。396224321161286484请你说一说，下列数字之间有什么关系！填一填填一填:18的最小因数是（），最大因数是（）30的最小因数是（），最大因数是（）36的最小因数是（），最大因数是（）1 181 301 36 6的因数有：11的因数有:16的因数有：24的因数有：观察下面各数的因数，你发现了什么？1、6、2、31、111、16、2、8、41、24、2、12、3、8、4、6一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。试一试1515的因数有的因数有1616的因数有
15、的因数有1 1，3 3，5 5，1515。1 1，2 2，4 4，8 8，1616。观察上面的例子，你有什么发现？一个数最小的因数是一个数最小的因数是1 1，最大，最大的因数是它本身；一个数因数的的因数是它本身；一个数因数的个数是有限的。个数是有限的。30的因数有哪些？24呢？做一做3030的因数的因数3636的因数的因数1、2、3、5、6、10、15、30、1、2、3、4、8、12、24、6、3636的因数的因数6060的因数的因数选一选1215182024303660105892 21 13 34 46 612三、巩固新知 写出下列各数的因数 16的因数：（）56的因数：（）125的因数：
16、（）1的因数：（）78的因数：（）1、2、4、8、16 1、2、4、7、8、14、28、56 1、5、25、125 1 1、2、3、6、13、26、39、78判断题判断题 40 40能被能被8 8整除。整除。因为因为36369=49=4，所以，所以9 9是因数，是因数，3636是倍数。是倍数。57 57是是3 3的倍数。的倍数。因为因为3.63.60.9=40.9=4，所以，所以，3.63.6是是0.90.9的倍数。的倍数。凡是能除尽的一定能整除。凡是能除尽的一定能整除。1 1是是1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，的因数。的因数。（）（）（）（）（）（）下面的说法对吗？说出理由下面的说法
17、对吗？说出理由 1、1的因数有无数个。2、整数32的因数共有4个。3、一个数的因数都小于这个数。4、自然数a的最大因数是a，最小因数是1。XXX5、32是32的因数，32也是32的倍数。6、一个数的因数都小于这个数。X练练2：判断判断1.24是倍数。是倍数。（）2.3是是9的约数。的约数。（）3.8.1是是0.9的倍数。的倍数。（）4.一位在职老师的年龄能被一位在职老师的年龄能被8整除，老师可能是几岁？整除，老师可能是几岁？（1）：老师可能是）：老师可能是16岁。（岁。（）（2）：老师可能是）：老师可能是24岁。（岁。（）（3）：老师可能是）：老师可能是64岁。（岁。（）内可以填几？怎样内可以
18、填几？怎样填才能一个不漏？填填才能一个不漏？填的这些数都是的这些数都是20的的？20都是这些数的都是这些数的？2020能被能被 整除整除1 1 2 2 20201010 4 4 5 5 因数因数 倍数倍数猜数字猜数字（1）这是个既特殊又奇妙的数字，非0的自然数都是它的倍数，它的因数只有1。（2）我是一个不大于20的自然数，3和5都是我的因数。（3）我只有两个因数，其中一个是7。（4）有一个数，它的最大因数是18。猜数游戏。猜数游戏。424218181 1人教新课标五年级数学下册人教新课标五年级数学下册1 1、求一个数的因数，你是怎样求的？、求一个数的因数，你是怎样求的？2 2、一个数的因数有什
19、么特点？、一个数的因数有什么特点？想一想说一说：一个数的因数的个数是有限的，其中最小一个数的因数的个数是有限的，其中最小的是的是1 1，最大的是它本身。，最大的是它本身。25的因数有的因数有_。49的因数有的因数有_。1，7，491，5，251 1、根据算式：、根据算式：8 87=567=56 117=77 128=96 135=65说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数？2、想一想：什么叫倍数？3、判断，根据125=2-2我们说12是5的倍数，5是12的因数对吗？为什么？说一说：两个非零的自然数相乘，所得的积就是这两个自然数的倍数。例例2：你能找出几个：你能找出几
20、个2的倍数？的倍数？说一说你想怎样找说一说你想怎样找2的倍数？的倍数？所以：所以：2的倍数数有的倍数数有 _。2的倍数有的倍数有2、4、6、8、10、12、2、4、6、8、10、12.21=222=423=624=825=1026=12想一想：2的倍数写完了吗？因为因为2的倍数有的倍数有无数个，写不无数个，写不完，所以后面完，所以后面用省略号表示。用省略号表示。你能找出多少个你能找出多少个3 3的倍数？的倍数？3 3的倍数有的倍数有3,3,6,6,9,9,12,12,15153 3 2 2（）3 3 3 3（）3 3 1 1（）3 3 4 4（）3 3 5 5（）121215153 36 69
21、 9小蜗牛找倍数（找出3的倍数）。01 2457810 1113143691215一个数的倍数的个数是无限的。结论：结论：一个数一个数的最小倍数是的最小倍数是它本身，一个它本身，一个数没有最大倍数没有最大倍数，倍数的个数，倍数的个数是无限的。数是无限的。42的因数的因数42的倍数的倍数142221314674284126 一个数的因数的个数是（一个数的因数的个数是（），最小的因数），最小的因数是（是（），最大的因数是（），最大的因数是（）；）；一个数的倍数的个数是（一个数的倍数的个数是（），最小的倍数），最小的倍数是（是（）。）。有限的有限的1本身本身无限的无限的本身本身试一试4 4的倍数有的
22、倍数有5 5的倍数有的倍数有4,8,12,16,20 4,8,12,16,20 5,10,15,20,255,10,15,20,25观察上面的例子，你有什么发现？一个数最小的倍数是它本身，一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数；一个数倍数的个没有最大的倍数；一个数倍数的个数是无限的。数是无限的。36的倍数有：的倍数有：72，108，36，一个数的最小倍数和最大因数一个数的最小倍数和最大因数相等，都是它本身。相等，都是它本身。36的因数有：的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。3636 一个数，既是一个数，既是28的倍数，又是的倍数，又是28的因数，这个数是（的因数，这个数是（）
23、。）。28 1、找一找，谁是找一找，谁是7的倍数？的倍数？想一想你是怎么找的？7 7的倍数：的倍数：1425173570 是是7 7的倍数。的倍数。5 5的倍数：的倍数：6 6的倍数：的倍数：1435707 14 21 28 35 42 5 10 15 20 25 30 6 12 18 24 30 36 1、在、在33266中中,()是是()的因数。的因数。2、在、在966=16中中,()是是()的倍数。的倍数。3、判断、判断:因为因为26=12,所以所以2是因数是因数,12是倍数是倍数.()33669664、12的因数有的因数有().5、50以内以内8的倍数有的倍数有().1,12,2,6,
24、3,48,16,24,32,40,486、一个数的最大因数是、一个数的最大因数是6，这个数是，这个数是()7、一个数的最小倍数是、一个数的最小倍数是12，这个数是，这个数是()612因数有限，最小是因数有限，最小是1，最大是它本身。，最大是它本身。倍数无限，最小是它本身，最大没有。倍数无限，最小是它本身，最大没有。3、圈出下列数中8的倍数。2 6 8 18 2 6 8 18 24 36 48 24 36 48 27 32 72 27 32 72 40 54 144 40 54 1444、写出各数的因数或倍数。1 1一个数的最大因数是一个数的最大因数是17,17,这个数是这个数是(),(),它的
25、它的最小的因数是最小的因数是(),17(),17的因数的个数有的因数的个数有()()个个,它们是它们是()()。2 2一个数的最小倍数是一个数的最小倍数是17,17,这个数是这个数是(),(),它它()()最大的倍数最大的倍数,17,17的倍数的个数是的倍数的个数是()()。3 3在在4 4、8 8、1616、3232、6464、8484、100100这些数中，这些数中，4040的因数有（的因数有（），），8080的因数有的因数有（），），1616的倍数有（的倍数有（）。）。4 4、一个数是、一个数是4242的因数，同时又是的因数，同时又是3 3的倍数，这个的倍数，这个数可以是（数可以是（）。
26、）。5 5、在、在13134=314=31中，中，1313是是4 4的倍数。的倍数。()()6 6、因为、因为3 36=186=18，所以，所以1818是倍数，是倍数，3 3和和6 6是因数。是因数。()()7 7、6 6既是既是6 6的因数，也是的因数，也是6 6的倍数。的倍数。()()判断：（1）在算式）在算式64=24中，中，6是因数，是因数，24是倍数。是倍数。（）（2）15的倍数一定大于的倍数一定大于15。（）（3）1是除是除0以外所有自然数的因数。以外所有自然数的因数。（）（4）40以内以内6的倍数有的倍数有12、18、24、30、36这五个。这五个。（）（5）一个数的最大因数和它
27、的最小倍数相等。）一个数的最大因数和它的最小倍数相等。（）(6)34(6)34的最小倍数是的最小倍数是34,3434,34的最小因数是的最小因数是17.()17.()(7)6(7)6既是既是2 2的倍数的倍数,也是也是3 3的倍数的倍数.().()判断下面各题。1、一个数的因数的个数是有限的，其中最大的是它本身，最小的是1。（）2、一个数的倍数一定都大于这个数。（）3、一个数最小的倍数是1，没有最大的倍数。（）4、一个数的倍数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数（）6、36是6的因数。（）5、48是6的倍数。（）7、9的倍数只有18、27、36。（）乘坐小艇每人应付乘坐小艇每人应付4 4元
28、，你能把下表元，你能把下表填写完整吗？填写完整吗？乘坐人数乘坐人数 1 2 3 4 51 2 3 4 5应付元数应付元数 4 84 8 1.1.表中每栏的表中每栏的“应付元数应付元数”各是怎样算出来的？都有什么各是怎样算出来的？都有什么共同特点？共同特点？2.2.你还能说出哪些你还能说出哪些4 4的倍数？的倍数？3.3.能把能把4 4的倍数全部说完吗？的倍数全部说完吗？乘坐小艇每人应付乘坐小艇每人应付4 4元，你能把下表元，你能把下表填写完整吗？填写完整吗？乘坐人数乘坐人数 1 2 3 4 51 2 3 4 5应付元数应付元数 4 8 4 8 4 48 8 1212 1616 2020 242
29、4个同学表演团体操，把队伍的排列个同学表演团体操，把队伍的排列情况填写完整。情况填写完整。1.1.表中每栏的表中每栏的“每排人数每排人数”各是怎样算出来的？各是怎样算出来的？2.“2.“排数排数”和和“每排人数每排人数”都是都是2424的什么数？的什么数？3.3.从填表的过程中，你还受到了什么启发？从填表的过程中，你还受到了什么启发？24 24个同学表演团体操，把队伍个同学表演团体操，把队伍的排列情况填写完整。的排列情况填写完整。想想做做8 86 64 43 32 21 1 春天到了春天到了,学校要组织春游活动学校要组织春游活动,为了同学安全为了同学安全,也为了老师便于管理也为了老师便于管理,
30、老师决定将同学分小组进行活老师决定将同学分小组进行活动动,全班有全班有3030名同学名同学,如果每组的人数相同可以怎样分如果每组的人数相同可以怎样分组呢组呢?名探柯南在侦察一个特大盗窃集团过程中，获得藏有宝物名探柯南在侦察一个特大盗窃集团过程中，获得藏有宝物的密码箱，的密码箱，密码是由密码是由ABCDEF组成。组成。（注：每个字母表示一个数字）注：每个字母表示一个数字）A 是是5的最小倍数的最小倍数;B 是是8的最小因数的最小因数;C是最大的一位数是最大的一位数;D 是一位数中是一位数中3的最大倍数的最大倍数;E 是最小的一位数是最小的一位数;F 是是4的最小倍数的的最小倍数的2倍倍;同学们，
31、你们能又快又准地帮同学们，你们能又快又准地帮柯南找到破解的密码吗？柯南找到破解的密码吗？游戏准备：学生按学号编成连续的非0自然数 游戏规则：凡是学号符合以下要求的，请举手，看谁反应快？（）是4的倍数 （）是16的因数（）是5的倍数（）是40的因数想一想：应该提什么要求，让全班同学都能举手？结论：如果两个数都是一个数的结论：如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这两个数倍数，那么这两个数的和也是这两个数的倍数。的倍数。1、用96个完全相同的正方形拼成一个长方形，一共有多少种不同的拼法？2、16的因数有1、2、3、4、8、16共5个，9的因数有1、3、9共3个，那么169的积144的因数
32、一共有多少个？思考3.幼儿园阿姨了些糖果，平均分给幼儿园阿姨了些糖果，平均分给15个小朋友，正好分完，个小朋友，正好分完，如果阿姨买来的糖果总数比如果阿姨买来的糖果总数比15多，比多，比100少，那么阿姨可少，那么阿姨可能买来多少块糖果？能买来多少块糖果？答：阿姨买来的糖可能有答：阿姨买来的糖可能有30、45、60、75、90块。块。6 6的因数有：的因数有：1 1，2 2，3 3，6 6。完美数完美数1 2 3 1 2 3 1+2+3=61+2+3=61+2+4+7+14=281+2+4+7+14=282828的因数有：的因数有：1 1，2 2，4 4，7 7，1414，2828。1 2 4
33、 71 2 4 714 14 完美数完美数6 6282849649681288128335503363355033685898690568589869056毕达哥拉斯完美数完美数6 66 68 86 68 86 68 88 82 22 2=1+2+3=1+2+3=1+2+3+4+5+6+7=1+2+3+4+5+6+7 任何一个自然数的因数中都有1和它本身，我们把小于它本身的因数叫做这个自然数的真因数。如6的所有真因数是1、2、3，而且6=123,像这样的数数学家们叫它完美数。古希腊人非常重视完美数。古希腊著名的数学家毕达哥拉斯发现它之后，人们就开始了对完美数的研究。也许完美数太少了，一直到现在，数学家才发现了29个完美数，而且都是偶完美数。前5个完美数分别是：6，28，496，8128，33550336。
