1、书书书 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 秘密 ? 启用前 ? 考试时间? ? ? ? ?年?月? ?日? ? ? ? ? ? ? ? ? 眉山市高? ? ? ?级第三次诊断性考试 数?学?理工类? ? 考试时间? ? ? ?分钟?试卷满分? ? ? ?分? 注意事项? ? 答卷前? 考生务必将自己的姓名? 准考证号填写在答题卡上? ? 回答选择题时? 选出每小题答案后? 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑?如需改 动? 用橡皮擦干净后? 再选涂其它答案标号?回答非选择题时? 将答案写在答题卡上?写在本试 卷上无效? ?考试结束后? 将本试卷和答题卡一并交回? 一? 选择题? 本
2、题共? ?小题? 每小题?分? 共? ?分?在每小题给出的四个选项中? 只有一项是符 合题目要求的? ?已知集合? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? 则? ? ? ? ?若?为虚数单位? 则复数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的共轭复数? ?在复平面内对应的点位于 ?第一象限?第二象限?第三象限?第四象限 ? ? ? 是? 函数? ? ? ? 的图象关于直线? ?对称? 的 ? 充分不必要条件 ? 必要不充分条件 ?充要条件?既不充分也不必要条件 ? 幻方最早起源于我国? 由正整数? ? ? 这? ? 个数填入?方格中? 使得每行? 每列? 每条对角线上的数的和相等? 这个
3、正方形数阵就叫?阶幻方? 定义? ? 为 ?阶幻方对角线上所有数的和? 如? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知?是两条不重合的直线? ?是两个不重合的平面? 则下列命题中错误的是 ? 若 ? ? 则 ?或? ? 若 ? ? 则 ? ? 若 ? ? 则 ? ? 若 ? ? 则 ? ? ? ? ? ? 的展开式中含? ? 的项的系数为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?若不相等的非零实数?成等差数列? 且?成等比数列? 则? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 周易? 是我国古代典籍? 用? 卦? 描述了天地世间万象变化? 右图是一
4、 个八卦图? 包含乾? 坤? 震? 巽? 坎? 离? 艮? 兑八卦? 每一卦由三个爻组 成? 其中? 表示一个阳爻? ? ? 表示一个阴爻? 若从八卦中 任取两卦? 这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在? ? ?中? 点?为? ?中点? 过点?的直线与? ? ?所在直线分别交于点? ? 若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则?的最小值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?如图? 平面四边形? ? ? ?中? ? ? ?槡? ? ? ? ?为 等边三角形? 现将? ? ?沿? ?翻折? 使点?移动至
5、点? ? 且 ? ? ? ? 则三棱锥? ? ?的外接球的表面积为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ? 若函数? ? 的图象上两点?关于直线?的对称点在? ?的图象上? 则 ?的取值范围是 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?已知抛物线? ? ?和点? ? 直线? ? ? ?与抛物线?交于不同两点? 直线? ? 与抛物线?交于另一点? 给出以下判断? ?以? ?为直径的圆与抛物线准线相离? ?直线? ?与直线? ?的斜率乘积为? ?设过点?的圆的圆心坐标为? ? 半径为? ? 则 ? ? ? ? 其中? 所有正确判断的序号是 ? ? ? ? ? ? ? ?
6、二? 填空题? 本题共?小题? 每小题?分? 共? ?分? ? ? 已知实数? ?满足约束条件 ? ? ? ? ? ? ? 则?的最大值为? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? ? ? 某中学举行了一次消防知识竞赛? 将参赛学生的成绩进行 整理后分为?组? 绘制如图所示的频率分布直方图? 记图 中从左到右依次为第一? 第二? 第三? 第四? 第五组? 已知第 二组的频数是? ? 则成绩在区间? ? ? ? 的学生人数是 ? ? ? 设双曲线? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 的左焦点为? 过点? 且倾斜角为? ? ? 的直线与双曲线?的两
7、条渐近线顺次交于 ?两点? 若 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 则 ?的离心率为? ? ? 已知? 是定义在 ? 上的偶函数? 其导函数为 ? ? ? ? ? 若 ? ?时? ? ? ? ? 则不等式 ? ? ?的解集是? 三? 解答题? 共? ?分?解答应写出文字说明? 证明过程或演算步骤?第? ? ?题为必考题? 每个 试题考生都必须作答?第? ? ?题为选考题? 考生依据要求作答? ? 一? 必考题? 共? ?分? ? ? 本小题满分? ?分? 某商场为改进服务质量? 随机抽取了? ? ?名进场购物的顾客进行问卷调查?调查后? 就顾客 ? 购物体验? 的满意度统计如下? 满意不满意
8、男 ? ? ? 女 ? ? ? ? ? 是否有? ? ? ?的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关? ? ? 为答谢顾客? 该商场对某款价格为? ? ?元?件的商品开展促销活动? 据统计? 在此期间顾客 购买该商品的支付情况如下? 支付方式现金支付购物卡支付 ? ? ?支付 频率 ? ? ? ? 优惠方式按?折支付按?折支付 其中有?的顾客按?折支付? ?的顾客按?折支付?的顾 客按?折支付 将上述频率作为相应事件发生的概率? 记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为? 求?的分布列和数学期望? 附表及公式? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
9、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 本小题满分? ?分? 已知?分别是? ? ?三个内角?的对边? ? ? 槡? ? ? ? ? ? ? 求 ? ? ? ? 若 ?槡? ? ? 求 ? ? ? 本小题满分? ?分? 如图? 在四棱锥? ? ? ?中? 底 面? ? ? ?是 菱 形? ? ? ? ? ?是边长为?的正三角形? ? 槡? ?为线段?的中点? ? ? 求证? 平面? ? ?平面? ? ? ? ? ? 若 ?为线段? ?上一
10、点? 当二面角? ?的余 弦值为槡 ? ? 时? 求三棱锥? ?的体积? ? ? 本小题满分? ?分? 已知椭圆?的中心在坐标原点? 其短半轴长为? 一个焦点坐标为? ? 点?在椭圆?上? 点?在直线? 槡? ?上? 且? ? ? ? ? 证明? 直线? ?与圆? ? ? ?相切? ? ? ? 设 ? ?与椭圆?的另一个交点为? ? 当 ? ? ?的面积最小时? 求? ?的长? ? ? 本小题满分? ?分? 已知函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 为 ? 的导数? 函数 ? ? ? ? ? 在 ?处取得最小值? ? ? 求证? ? ? ? ? 若 ?时?恒成立? 求?的取值范围? ?
11、二? 选考题? 共? ?分?请考生在第? ? ?题中任选一题作答? 如果多做? 则按所做的第一题记分? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 坐标系与参数方程 在直角坐标系? ? ?中? 曲线?的参数方程为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 以?为极点?轴正半轴为极轴建立 极坐标系? 设点?在曲线? ? ? ? ?上? 点?在曲线? ? ? 上? 且? ? ?为正 三角形? ? ? 求点?的极坐标? ? ? 若点?为曲线?上的动点?为线段? ?的中点? 求?的最大值? ? ? 本小题满分? ?分? 选修? 不等式选讲 已知函数? ? ? ? ? 解不等式? ? ? 求证? ? ? ? ? ?
12、 ? ? 数学? 理工类? 试题 第?页? 共?页? 书书书 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 数学?理工类?参考答案 评分说明? ? 本解答给出了一种或几种解法供参考? 如果考生的解法与本解答不同? 可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则? ?对计算题? 当考生的解答在某一步出现错误时? 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度? 可视影响的程度决定后继部分的给分? 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半? 如果 后继部分的解答有较严重的错误? 就不再给分? ? 解答右端所注分数? 表示考生正确做到这一步应得的累加分数? ?只给整数分?选择题和填空题不给中间
13、分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? 解析? ? ? 由题得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? 有? ? ? ?的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关? ?分 ? ? 由题意可知?的可能取值为? ? ? ? ? ?分 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 则?的分布列为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 所以?
14、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 元? ? ?分 ? ? 解析? ? ? ? 由 ? ? ?槡? ? ? ?及正弦定理得 ? ? ? ? ?槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 因为? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 代入上式并化简得 槡? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 由于? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又? ? 故 ? ? ?分 ? ? 因为?槡? ? ? 由余弦定理得? ? ? ? ? ? ? ? ? ?即? ? ? ? ? ?
15、 所以? ? ?分 而? 所以?为一元二次方程? ? ?的两根? 所以? ?或 ? ? ?分 ? ?解析? ? 证明? 因为? ?是正三角形?为线段?的中点? 所以? ? ?分 因为? ? ? ?是菱形? 所以? ? 因为? ? ? ? 所以? ? ?是正三角形? 所以? ? ?分 所以?平面? ? ? ?分 又? ? 所以? ?平面? ? ? ?分 因为? ?平面? ? ? 所以平面? ? ?平面? ? ? ?分 ? ? 解? 由? ? 知 ? ?平面? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? 槡 ? 槡? ? 而? ? ? 槡? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? 又? ? 所以? ?
16、平面? ? ? ? ?分 以?为坐标原点? 建立如图所示空间直角坐标系? ? ? 则? 槡? ?槡? ?槡? ? ?分 于是? ? ? ?槡? ? ? ? ? ?槡? 设面? ? ?的一个法向量? ? ? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ?槡? ? ?槡? ? ? ? ? 令? 槡? ? 则? ? 即 ?槡? ?分 设 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 易得?槡?槡槡? ? ? ? ? ? ?槡?槡槡? ? 设面? ? ?的一个法向量? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 由 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得 ?槡?
17、? ? ?槡? ? ?槡槡? ? ? ? ? 令? 槡? ? ? 则 ? ? ? ? 即 ?槡? ? ? ? ? ? ? ?分 依题意? ? ? ? ?槡 ? ? ? 即 ? ? ? 槡? ? ? ? ?槡 ? ?槡 ? ? ? 令? ? ? ? ? 则 ? ? ? 即 ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?分 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡槡? ? ? ? ? ?分 ? ?解析? ? 由题意? 椭圆?的焦点在?轴上? 且? 所以?槡? ? 所以椭圆?的方程为 ? ? ? ? ? ?分 由点?在直线? 槡? ?上? 且? ? ?知? ?的斜率必定存在? 当? ?
18、的斜率为?时? ? ?槡? ? ?槡? ? 于是? ?到? ?的距离为? 直线? ?与圆? ? ? ?相切? ?分 当? ?的斜率不为?时? 设? ?的方程为? ? ? 与 ? ? ? ? ?联立得? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 从而? ? ? ? ? ? 而? ? ? ? 故 ? ?的方程为? ? ? 而 ?在?槡? ?上? 故?槡? ? 从而? ? ? ? ? 于是 ? ? ? ? ? ? ? ? 此时? ?到? ?的距离为? 直线? ?与圆? ? ? ?相切? 综上? 直线? ?与圆? ? ? ?相切? ?分 ? ? 由? 知? ? ?的面积为 ?
19、 ? ? ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ? ?槡 ? ? ? ? ?槡 ? ?槡 ? ? ? 上式中? 当且仅当?等号成立? 所以? ? ?面积的最小值为? 此时? 点?在椭圆的长轴端点?为? 槡? ? ?分 不妨设?为长轴左端点? 则直线? ?的方程为? 槡? ? 代入椭圆?的方程解得? 槡? ? ? ? 即? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ? ? 槡? ? ? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? ? 解析? ? ? 由题意 ? ? ? ? ? ? ? ? 令? ? ? ? ? ? 则 ? ? ? ? ? ? ? 知 ? ? ? ? 为? 的增函
20、数? 因为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 槡? ? 所以? 存在? ? ?使得 ? ? ? ? ? 即 ? ? ? ? ?分 所以? 当? ? ? 时 ? ? ? ? ? ? ? ? 为减函数? 当? ? ? 时 ? ? ? ? ? ? ? ? 为增函数? 故当? ?时? 取得最小值? 也就是 ? ? ? ? 取得最小值? ?分 故? ? 于是有? ? ? ? 即 ? ? ? 所以有? ? 证毕? ?分 评分细则?直接用? ? ? 在 ?处取得最小值? 则 ? ? ? ? 的? 扣掉?分? 有? 的单 调性分析? 说明取得最小值的点不是端点? 从而得到 ? ? ? ?视为正确?
21、即可不扣分? ?分段给分点建议这样把握? 求出一阶导数?分? 二阶导数?分? 正确说明 ? ? ? ? ?分? 得出结论?分?共?分? ? ? 由? 知? ? ? ? ? ? ? ? ?的最小值为? ? ? ?当? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 时? ? 为? 的增函数? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由? ? ? 中 ? ? ? ? 得 ? ? ? ? ? ? 即 ? 故? ? ? ? ? ? 满足题意? ?分 ?当? ? ? ? 即 ? ? ? ? ? ? 时? ? ? ? ? 有两个不同的零点? 且? ? 即 ?
22、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若? ? 时 ? ? ? ? ? ? ? ? 为减函数? ? 若? ? 时 ? ? ? ? ? ? ? ? 为增函数? 所以? 的最小值为? 注意到? ? ?时? ? 且此时 ? ? ? ? ? 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? ? ? 当 ? ?时? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? 即 ? 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而? ? 所以? ? ? ? ? ? 即 ? ?分 由于在? ? ?下? 恒有 ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? 当 ? ?时? ?
23、? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? 所以由? ? 知 ? 时? 为减函数? 所以? ? 不满足?时? ?恒成立? 故舍去? 故? ? ? ? ? ? ? ? 满足条件? 综上所述? ?的取值范围是? ? ?分 选考题? ? ?分? ? ?解析? ? 因为点?在曲线? ? ? 上? ? ?为正三角形? 所以点?在曲线? ? ? ? 上 ?分 又因为点?在曲线? ? ? ? ?上? 所以点?的极坐标是 ? ? ? ? ? ?分 从而? 点?的极坐标是 ? ? ? ? ?分 ? ? ? 思路? ? 由? ? 可知? 点?的直角坐标为?槡? 设点?的直角坐标为? ? ? 则点?的直角坐标为?槡
24、? ? 将此代入曲线?的方程? 有 ?槡 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 即点?在以? 槡? ? ? ? ? ? 为圆心? ? ?为半径的圆上? 计算可知? ? 槡? ? 所以?的最大值为? ? ? ? ? 槡? ? ? ?分 数学? 理工类? 试题答案 第?页? 共?页? 思路? ? 设线段? ?的中点为? ? 则 ? ?槡? ? 如图? 易知? ? ? 且 ? ? ? ? ?分 由已知? 曲线?是以?为圆心?为半径的圆? 所以点?在以?为圆心? ? ?为半径的圆上? 所以? ?的最大值为? ? ? ? ? 槡? ? ? ?分 ? ?解析? ? 由于? ? ? ? ? 于是原不等式化为 ? ? ? ? ? ? 若? ? ? 则? ? ? 解得? ? ? ?分 若? ? ? ? ? 则 ? 解得? ? ? ? 若? ? ? 则? ? 解得? ? ? 综上所述? 不等式解集为? ?分 ? ? 由已知条件? 对于? 可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分 又? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ?分 又由于? ? ? ? ? ? ? ? 于是? ? ? ? ? 所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ?分
