1、人教版 数学 七年级（下）第5章 相交线与平行线5.1.2 垂线1 1.理解垂线的有关概念、性质及画法理解垂线的有关概念、性质及画法。2 2.知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决知道垂线段和点到直线的距离的概念，并会应用其解决问题问题。学习目标学习目标1234ab如图，直线 a，b 相交，则1 的对顶角为 ，1 的邻补角有 .32和4回顾旧知回顾旧知观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？导入新知导入新知日常生活中，图中的两条直线的关系很常见，你能举出其他例子吗？新知一 垂线的概念在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b
2、 所成的角 也会发生变化.）abbbbb）合作探究合作探究如图，当AOC90 时，BOD、AOD、BOC 的度数是多少？ABCDO由对顶角和邻补角的性质可知，当AOC90时，BOD=AOD=BOC=90.如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.5下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是()垂线的定义具有双重作用：(1)在直线MN上取一点C，使线段AC最短依据是_；经过一点画已知直线的垂线，通常有两种画法.(2)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上.2如图，直线AB，CD相交于点O，射线O
3、M平分AOC，ONOM.由对顶角和邻补角的性质可知，当AOC90时，BOD=AOD=BOC=90.这样画直线 l 的垂线可以画几条？若BOC=90，则 ABCD.如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若BOC=90，则AB，CD 互相垂直，记作“ABCD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.(2)垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量.(1)在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条.线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？你能用一句话表示这个
4、结论吗？不能忽略“在同一平面内”这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直；COD=180-70=110第5章 相交线与平行线如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：lm(或 ml).D过一点有且只有一条直线和已知直线垂直如图，已知直线 l，作 l 的垂线.垂线：当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况.如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若BOC=90，则AB，CD
5、互相垂直，记作“ABCD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足.垂直的表示法：如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：lm(或 ml).ABCDOlm垂线的定义具有双重作用：知线垂直得直角；知直角得线垂直.ABCDO如图，若 ABCD，则BOC=AOC=AOD=BOD=90；若BOC=90，则 ABCD.如图，AOCO，直线 BD 经过点 O，且1=20，则COD 的度数为()A.70B.110C.140D.160AOC=90COB=90-20=70COD=180-70=11
6、0B本题源于教材帮巩固新知巩固新知 新知二 垂线的画法及性质A.B l.(1)画已知直线l的垂线能画几条？(2)过直线 l 上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条？(3)过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？合作探究合作探究1.落.2.画.lO如图，已知直线 l，作 l 的垂线.A这样这样画直线画直线 l 的垂线可以画的垂线可以画几条？几条？无数条无数条.lAB1.落.2.移.3.画.如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.一条一条.这样这样画直线画直线 l 的垂线可以画的垂线可以画几条？几条？lAB1.落.2.移.3.画.如图，已知直线 l 和
7、l 外的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.一条一条.这样这样画直线画直线 l 的垂线可以画的垂线可以画几条？几条？经过一点画已知直线的垂线，通常有两种画法.(1)用三角尺画：落：让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与 已知直线重合.移：沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点.画：沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线.123点 A 在直线 l 上点 A 在直线 l 外(2)用量角器画：lAlA这样画直线 l 的垂线可以画几条？9如图所示，ABAC，ADBC，垂足分别为点A，D，AB6 cm，AD5 cm，则点B到直线AC的距离是_，点A到直线BC的距离是_4过一条线段外
8、一点，作这条线段的垂线，垂足在()(2)过点H作HGEF，垂足为点G.简单说成：垂线段最短.如图，AOCO，直线 BD 经过点 O，且1=20，则COD 的度数为()B2340如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.15如图，在直线MN的异侧有A，B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据新知三 点到直线的距离(2)过点H作HGEF，垂足为点G.线段 AB，AC，AD，AE 中谁最短？你能用一句话表示这个结论吗？11如图，三条直线相交于点O，若COAB，156，则2等于()(3)过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？若BOC=90，则 ABCD.点到直线的距离：直线外一点到
9、这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.A1条 B2条 C3条 D4条由对顶角和邻补角的性质可知，当AOC90时，BOD=AOD=BOC=90.A2350如图，已知直线 l，作 l 的垂线.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.1.不能忽略不能忽略“在同一平面内在同一平面内”这个条件，因为如果不在这个条件，因为如果不在同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直；同一平面内，那么过一点有无数条直线与已知直线垂直；2.“过一点过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；知直线外；3.“有且只有有且只有”中，中，“有有
10、”指存在，指存在，“只有只有”指唯一性指唯一性.(1)在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一在同一平面内，已知直线的垂线有无数条，但过一点画已知直线的垂线只能画出一条点画已知直线的垂线只能画出一条.(2)画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的垂线，垂足可能在这条线段或射线上，也可能在线段的延长线上或射线的反向延长线上延长线上或射线的反向延长线上.如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.MNPMNPQPMNQPMNQ巩固新知巩固新知 新知三 点到直线的距离CDEl再从点 A 向已知直线 l
11、画几条不垂直的线段.B A如图，点 A 为直线 l 外一点，ADl，垂足为D，称 AD为点 A到直线 l 的垂线段.线段线段 AB，AC，AD，AE 中谁中谁最短？最短？你能你能用一句话表示这个结论吗？用一句话表示这个结论吗？合作探究合作探究垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.如图，线段 AD 的长度是点 A 到直线 l 的距离.CDElB A(1)连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但连接直线外一点与直线上各点有无数条线段，但垂线段只有一条垂线段只有一条.(2)垂线
12、是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量一条线段，长度可以度量.(3)垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度线的垂线段的长度，是一，是一个数量个数量.在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖渠能使渠道最短？请在图中画出来，并说明理由.m垂线段最短垂线段最短.如图所示，在直角三角形 ABC 中，ABAC，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，已知 AB=6 cm，AD=5 cm.(1)点 B 到 AC 的距离为_，点 A 到 BC 的距离为 .(2)CD AC(填“”“
13、”或“=”)，依据是 .线段线段 AB 的长度的长度线段线段 AD 的长的长度度6 cm5 cm点点 C 到直线到直线 AD 的垂线段的垂线段垂线段最短巩固新知巩固新知垂线垂线和垂线段定义性质垂线段定义性质点到直线的距离归纳新知归纳新知1如图，OAOB，135，则2的度数是()A35 B45 C55 D70C课堂练习课堂练习2如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分AOC，ONOM.若AOC70，则CON的度数为()A65 B55 C45 D35BA2350如图，已知直线 l 和 l 上的一点 A，过点 A 作 l 的垂线.如图，分别过点 P 作线段 MN 的垂线.如图，分别过点 P 作线
14、段 MN 的垂线.观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？(1)画已知直线l的垂线能画几条？如图，已知直线 l，作 l 的垂线.观察下面的图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？在相交线的模型中，固定木条 a，转动木条 b，当 b 的位置变化时，a、b 所成的角 也会发生变化.经过一点画已知直线的垂线，通常有两种画法.3(1)如图，O为直线AB上一点，且OCOD，若125，则2的度数为_；B2340点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.12(2017东明县期中)如图，直线a，b相交于点O，OEa于点O，OFb于点O
15、，若140，则下列结论正确的是()(3)过直线 l 外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条？(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；如果用 l、m 表示这两条直线，那么直线 l 与直线 m 垂直，可记作：lm(或 ml).人教版 数学 七年级（下）A65 B55 C45 D35“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.3(1)如图，O为直线AB上一点，且OCOD，若125，则2的度数为_；65(2)如图，直线AB，CD相交于点O，OE为射线，若130，2120，则OE与AB的位置关系是_，可记作_垂直OEAB4过一条线段外一点，作这条线段的垂线
16、，垂足在()A这条线段上 B这条线段的端点处C这条线段的延长线上 D以上都可以 D5下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是()D6(2017柳州)如图，经过直线l外一点画l的垂线，能画出()A1条 B2条 C3条 D4条A7如图，欲在AB上的某处D点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出D点，使C，D间铺设的管道最短，这种设计的依据是()A两点之间，线段最短B两点确定一条直线C垂线段最短D过一点有且只有一条直线和已知直线垂直C8如图所示，点P到直线l的距离是()A线段PA的长度 B线段PB的长度C线段PC的长度 D线段PD的长度B9如图所示，ABAC，ADBC，垂
17、足分别为点A，D，AB6 cm，AD5 cm，则点B到直线AC的距离是_，点A到直线BC的距离是_6 cm5 cm10(1)在图中，过AB外一点M作AB的垂线；(2)在图中，过点A，B分别作OB，OA的垂线解：(1)如图所示 (2)如图所示11如图，三条直线相交于点O，若COAB，156，则2等于()A30 B34 C45 D56B12(2017东明县期中)如图，直线a，b相交于点O，OEa于点O，OFb于点O，若140，则下列结论正确的是()A2350 B2340C240，350 D250，340C13如图，ABCD，垂足为点B，EF平分ABD，则CBF的度数为_.4514如图，已知直线CD
18、，EF相交于点O，OAOB，且OE平分AOC，若EOC60，则BOF_3015如图，在直线MN的异侧有A，B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据(1)在 直 线 M N 上 取 一 点 C，使 线 段 A C 最 短 依 据 是_；(2)在直线MN上取一点D，使线段ADBD最短依据是_垂线段最短两点之间线段最短解：(1)如图所示，点C即为所求点(2)如图所示，点D即为所求点16如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄的距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？并说明根据解：(1)因为两点之间线段最短，所以连接AD，BC交于点H，则H为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小(2)过点H作HGEF，垂足为点G.“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据
