1、数学试题 A 第 1页 共 4 页绝密启用前试卷类型：A2022023 3 届高三年级第二次阶段测试届高三年级第二次阶段测试数学数学命题审题：刘明俊 刘锋本试卷共本试卷共 4 4 页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分分，考试用时考试用时 120120 分钟。分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必
2、须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合4Mxx，31Nxx，则MN A02xxB123xxC316xxD1163xx2已知数列na的通项公式为23nann，则“1”是“数列na为递增数列”的A充分不必要条件B必要不
3、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在ABC中，点D在边AB上，2BDDA，记CA m，CD n，则CB A32mnB23mnC32mnD23mn4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为2140 0 km；水位为海拔157 5 m时，相应水面的面积为2180 0 km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m上升到157 5 m时，增加的水量约为(72.65)A931.0 10 mB931.2 10 mC931.4 10 mD931.6 10 m5 已知函数 sin 2f xx
4、满足 2ff且 6f xf，Rx，则 fx的单调递增区间是A,36kk，ZkB,2kk，ZkC2,63kk，ZkD,2kk，Zk数学试题 A 第 2页 共 4 页6已知过点(2,2)P的直线与圆225(1)xy相切，且与直线10axy 垂直，则a A12B1C2D127正三棱锥SABC的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是A0,B3,3C3,6D1,28设函数 exf xxa，若曲线sinyx上存在00,xy使得00ffyy，则a的取值范围是A1,eB1e1,1C1,e 1D1e1,e 1二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，
5、共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列结论中，所有正确的结论是A若0ab，0cd，则acbdB若3x ，则函数13yxx的最大值为1C若0 xy，234xyxy，则2xy的最小值为23D若x，y0,，223xyxy，则xy的最大值为110记数列na的前n项和为nS，若23a，12nnSSn，则A1nnaSB1na 是等比数列C2nnSaD2nnS是单调递增数列11已知圆M：22680 xyxy，则A圆M关于直线10 xy 对称B圆M被直线30 xy截得的弦长为2 17C圆M关于直线10 xy 对称的圆为22
6、10440 xyxyD若点(,)P a b在圆M上，则22(3)(4)ab的最小值为512已知函数()1xf x=x，下面结论正确的是A fx的图象关于直线0 x 对称B()f x的值域为1,1C若2340f afa，则a的取值范围是(4,1)D若对任意1x，2Rx，且12xx，对任意0,1，存在012,xxx，使得0121f xf xf x成立数学试题 A 第 3页 共 4 页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设复数z满足23iz，则z的模为_14如图所示，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD
7、 平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)15已知，为锐角，且11sin14，1cos7，则cos_16 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑PABC中，PA 平面ABC.已知6AB，8CB，10PAAC，请写出平面PBC的直角：_；若P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10 分)在ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且232coscossinsincos25ABBABBAC（1）求cos A的值；（2）若4 2a，5b，记BCeBC ，求向量
8、BA 在BC 方向上的投影向量.(用e表示)数学试题 A 第 4页 共 4 页18(12 分)设 na为各项均不相等的数列，nS为它的前n项和，满足11nnnaS(*Nn).（1）若11a，且1a，2a，3a成等差数列，求的值；（2）若 na的各项均不为零，问当且仅当为何值时，2a，3a，4a，na，成等差数列？试说明理由19(12 分)如图，长方体1111ABCDA B C D中，2ADAB，11AA，E为11D C的中点（1）在图中画出平面1ABD与平面1B EC的交线(不必说明画法和理由)；（2）证明：1BD/平面1B EC；（3）求平面1ABD与平面1B EC夹角的余弦值20(12 分
9、)已知函数 331fxaxx（1）1a 时，判断函数()f x的零点个数；（2）若()0f x 对任意 1,1x 恒成立，求a的值21(12 分)已知圆心在x轴上的圆C过点0,0和1,1（1）求圆C的方程（2）由圆D：2244xy上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求AB的取值范围22(12 分)已知函数 1lnf xaxxx（1）讨论 fx的单调性；（2）证明：222111ln11122nnn，*Nn数学试题 B 第 1页 共 4 页绝密启用前试卷类型：B2022023 3 届高三年级第二次阶段测试届高三年级第二次阶段测试数学数学命题审题：刘明俊 刘锋本试卷共本试卷共 4 4
10、页，页，2222 小题，满分小题，满分 150150 分分，考试用时考试用时 120120 分钟。分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4作
11、答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。5考生必须保持答题卡的整洁。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若集合4Mxx，31Nxx，则MN A02xxB123xxC316xxD1163xx2已知数列na的通项公式为23nann，则“1”是“数列na为递增数列”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在ABC中，点D在边AB上，2BDDA，记CA m，CD n，则CB A32mnB23mnC32mnD23mn4南水北调工程缓解了北方一些
12、地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m时，相应水面的面积为2140 0 km；水位为海拔157 5 m时，相应水面的面积为2180 0 km，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m上升到157 5 m时，增加的水量约为(72.65)A931.0 10 mB931.2 10 mC931.4 10 mD931.6 10 m5 已知函数 sin 2f xx满足 2ff且 6f xf，Rx，则 fx的单调递增区间是A,36kk，ZkB,2kk，ZkC2,63kk，ZkD,2kk，Zk数学试题 B 第 2页 共 4 页6已知过点(2,2
13、)P的直线与圆225(1)xy相切，且与直线10axy 垂直，则a A12B1C2D127正三棱锥SABC的底面边长是2，E，F，G，H分别是SA，SB，BC，AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是A0,B3,3C3,6D1,28设函数 exf xxa，若曲线sinyx上存在00,xy使得00ffyy，则a的取值范围是A1,eB1e1,1C1,e 1D1e1,e 1二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9下列结论中，所有正确的结论是A若0ab，0cd，则acbd
14、B若3x ，则函数13yxx的最大值为1C若0 xy，234xyxy，则2xy的最小值为23D若x，y0,，223xyxy，则xy的最大值为110记数列na的前n项和为nS，若23a，12nnSSn，则A1nnaSB1na 是等比数列C2nnSaD2nnS是单调递增数列11已知圆M：22680 xyxy，则A圆M关于直线10 xy 对称B圆M被直线30 xy截得的弦长为2 17C圆M关于直线10 xy 对称的圆为2210440 xyxyD若点(,)P a b在圆M上，则22(3)(4)ab的最小值为512已知函数()1xf x=x，下面结论正确的是A fx的图象关于直线0 x 对称B()f x
15、的值域为1,1C若2340f afa，则a的取值范围是(4,1)D若对任意1x，2Rx，且12xx，对任意0,1，存在012,xxx，使得0121f xf xf x成立数学试题 B 第 3页 共 4 页三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13设复数z满足23iz，则z的模为_14如图所示，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD 平面PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可)15已知，为锐角，且11sin14，1cos7，则cos_16 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在鳖臑
16、PABC中，PA 平面ABC.已知6AB，8CB，10PAAC，请写出平面PBC的直角：_；若P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10 分)在ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且232coscossinsincos25ABBABBAC（1）求cos A的值；（2）若4 2a，5b，记BCeBC ，求向量BA 在BC 方向上的投影向量.(用e表示)数学试题 B 第 4页 共 4 页18(12 分)设 na为各项均不相等的数列，nS为它的前n项和，满足11nnnaS(*Nn).（1）
17、若11a，且1a，2a，3a成等差数列，求的值；（2）若 na的各项均不为零，问当且仅当为何值时，2a，3a，4a，na，成等差数列？试说明理由19(12 分)如图，长方体1111ABCDA B C D中，2ADAB，11AA，E为11D C的中点（1）在图中画出平面1ABD与平面1B EC的交线(不必说明画法和理由)；（2）证明：1BD/平面1B EC；（3）求平面1ABD与平面1B EC夹角的余弦值20(12 分)已知函数 331fxaxx（1）1a 时，判断函数()f x的零点个数；（2）若()0f x 对任意 1,1x 恒成立，求a的值21(12 分)已知圆心在x轴上的圆C过点0,0和
18、1,1（1）求圆C的方程（2）由圆D：2244xy上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求AB的取值范围22(12 分)已知函数 1lnf xaxxx（1）讨论 fx的单调性；（2）证明：222111ln11122nnn，*Nn第 1页 共 8 页2022023 3 届高三年级第二次阶段测试届高三年级第二次阶段测试 数学数学 试卷解析试卷解析一、单项选择题：题号12345678答案DCBCCCBA二、多项选择题：题号9101112答案ACDACDBCDBCD三、填空题:13214DMPC(或BMPC等)1539 39816.PBC(或CBP)；200四、解答题：本题共 6 小题，共
19、 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(10 分)在ABC中，角A，B，C的对边分别a，b，c，且232coscossinsincos25ABBABBAC（1）求cos A的值；（2）若4 2a，5b，记BCeBC ，求向量BA 在BC 方向上的投影向量.(用e表示)解：（1）由53)cos(sin)sin(cos2cos22CABBABBA得53cossin)sin(cos 1)cos(BBBABBA即53sin)sin(cos)cos(BBABBA则53)cos(BBA即53cosA（2）由53cosA，A0得，54sinA由正弦定理，有sinsinabAB，第 2页 共
20、 8 页所以Bsinsin22bAa由题知ba，则BA，故4B.根据余弦定理，有)53(525)24(222cc解得1c或7c(舍去)所以向量BA 在BC 方向上的投影为22cosBBA.故向量BA 在BC 方向上的投影向量为2cos2BAB ee.18(12 分)设 na为各项均不相等的数列，nS为它的前n项和，满足11nnnaS(*Nn).（1）若11a，且1a，2a，3a成等差数列，求的值；（2）若 na的各项均不为零，问当且仅当为何值时，2a，3a，4a，na，成等差数列？试说明理由解：（1）令1n，有211112aSa ，所以0且22a.令2n，有3212121()12(1)aSaa
21、 ，所以321a.由123,aaa成等差数列得2132aaa，即2411，解得352，故的值为352.（2）2n 时，1(1)1nnnaS，所以1(1)nnnnanaa，即1(1)nnnana.由题意知，0，所以11,2nnnaann.假设234,naaaa成等差数列，则234,aaa成等差数列，即3242aaa.又3243222121211(21)(1),23326aaaaaa，所以22221(21)(1)226aaa，由 na的各项均不为零知20a，则21(21)(1)16，解得1或12.当1时，12,2naan与 na中的各项均不相等矛盾，故舍去.当12时，111122,212nnnnn
22、aaannn，即1,21nnaannn.第 3页 共 8 页所以，3n 时，1212nnaaann，所以3n 时，22nnaa.(也可用累乘法求通项)又2n 时，22aa满足上式，所以2,22nnaan.所以2n 时，122211222nnnnaaaaa(与n无关的常数)，即234,naaaa成等差数列.故当且仅当12时，234,naaaa成等差数列.19(12 分)如图，长方体1111ABCDA B C D中，2ADAB，11AA，E为11D C的中点（1）在图中画出平面1ABD与平面1B EC的交线(不必说明画法和理由)；（2）证明：1BD/平面1B EC；（3）求平面1ABD与平面1B
23、EC夹角的余弦值解：（1）连1BC，记11BCBCF，连EF，则EF，即为平面1ABD与平面1B EC的交线，如图所示.（2）在矩形11BCC B中，F为1BC中点，又E为11D C中点，所以1/EFBD，1BD 平面1B EC，EF 平面1B EC，故1BD/平面1B EC.（3）在长方体1111ABCDABC D中，以D为坐标原点，分别以DA，DC，1DD 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则2,0,0A，2,2,0B，10,0,1D，12,2,1B，0,1,1E，0,2,0C.设平面1ABD的法向量,mx y z，则mAB，且1mAD，所以第 4页 共 8 页020yxz，
24、取1x，得平面1ABD的一个法向量1,0,2m.设平面1B EC的法向量111,nxyz，则1nCB，且nCE，所以1111200 xzyz，取11x，得平面1B EC的一个法向量1,2,2n.记平面1ABD与平面1B EC的夹角为，则1 045coscos,514 144m nm nm n .所以平面1ABD与平面1B EC夹角的余弦值为55.20(12 分)已知函数 331fxaxx（1）1a 时，判断函数()f x的零点个数；（2）若()0f x 对任意 1,1x 恒成立，求a的值解：（1）1a 时，331fxxx，求导得 233fxx.令 0fx 得1x 或1x.当x变化时，fx，fx
25、变化情况列表如下：x,1 11,111,fx00 fx极大值极小值 130f xf极大，110f xf 极小.又当x 时，f x ，且当x 时，f x .所以由函数的零点存在定理知，()f x有3个不同的零点.（2）当0 x 时，Ra；当0 x 时，()0f x 331axx32113axx，01x；当0 x 时，()0f x 331axx32113axx，10 x.记 323g xxx，下面只需求 g x在1,)的最大值和(,1 的最小值.第 5页 共 8 页 23632gxxxx x ，令 0gx 得0 x 或2x.当x变化时，gx，g x变化情况列表如下：x,000,222,gx00 g
26、 x极小值极大值所以当1x 时，max24g xg xg极大值，当1x 时，min14g xg.所以32113axx，01x4a，32113axx，10 x 4a.综上所述，4a.21(12 分)已知圆心在x轴上的圆C过点0,0和1,1（1）求圆C的方程（2）由圆D：2244xy上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求AB的取值范围解：（1）方法一：方法一：设圆C的方程为：222xayr0r，因为圆C过点0,0和1,1，所以22222,11.arar 解得1a ，1r 所以圆C的方程为2211xy方法二：方法二：设0,0O，1,1A，依题意得，圆C的圆心为线段OA的垂直平分线l与x
27、轴的交点C因为直线l的方程为1122yx，即1yx，所以圆心C的坐标为1,0所以圆C的方程为2211xy（2）方法一：方法一：设圆D上的动点P的坐标为00,xy，则220044xy，即2200440yx，解得026x由圆C与圆D的方程可知，过点P向圆C所作两条切线的斜率必存在，第 6页 共 8 页设PA的方程为：010yykxx，则点A的坐标为0100,yk x，同理可得点B的坐标为0200,yk x，所以120ABkk x，因为PA，PB是圆C的切线，所以1k，2k满足00211kykxk，即1k，2k是 方 程2220000022110 xxkyxky 的 两 根，即00122002012
28、20021,21.2yxkkxxyk kxx所以120ABkk x220000220000412122yyxxxxxx.因为220044yx，所以020562 22xABx设0020562xfxx，则00305222xfxx由026x，可知0f x在222,5上是增函数，在22,65上是减函数，所以0max2225564fxf，min01 31min2,6min,4 84fxff，所以AB的取值范围为5 22,4方法二方法二：设圆D上的动点P的坐标为00,xy，则220044xy，即2200440yx，解得026x设点0,Aa，0,Bb，则直线PA：00yayaxx，即0000ya xx ya
29、x，因为直线PA与圆C相切，所以0022001ayaxyax，化简得2000220 xay ax同理得2000220 xby bx，由知a，b为方程2000220 xxy xx的两根，即00002,2.2yabxxabx所以24ABababab200002422yxxx2000204422yxxx因为220044yx，所以020562 22xABx2001652 222xx第 7页 共 8 页令012tx，因为026x，所以1184t 所以22 2165ABtt25252 2163264t，当532t 时，max5 24AB，当14t 时，min2AB所以AB的取值范围为5 22,422(12
30、 分)已知函数 1lnf xaxxx（1）讨论 fx的单调性；（2）证明：222111ln11122nnn，*Nn解：（1）由题意知，fx的定义域为0,.2221111xaxfxaxxx ，0 x.()当0a 时，0fx，0 x，此时 fx在0,单调递减；()当0a 时，24a.当02a时，0，0fx，0 x，此时 fx在0,单调递减；当2a 时，0，令 0fx，得12ax，22ax.当x变化时，fx，fx变化情况列表如下：x10,x1x12,xx2x2,x fx00 fx极大值极小值综上所述，当2a 时，fx在0,单调递减；当2a 时，fx在10,x，2,x单调递减，在12,xx单调递增.（2）由（1）知，当2a 时，fx在0,单调递减，此时 10f xf，即12ln0 xxx，1x，故12ln xxx，1x.第 8页 共 8 页下证211lnnnnn，*Nn.因为211111nnnnnnn nnn，11ln2lnnnnn，用1nn替换x得21111ln2ln1nnnnnnnnnn，*Nn.故222231111lnlnln121122nnnn，整理得222111ln11122nnn，*Nn
