1、1中值定理设函数 y=f(x)在点 x0 的某个邻域有定义,如果对于该邻域内任意异于 x0 的 x 值,都有 f(x)f(x0)(或 f(x)f(x0)则称函数f(x)在点x0处取得极大值(极小值)f(x0),而x0称为函数f(x)的极大点(或极小点)函数极值的概念极大值和极小值统称为函数的极值.极大点和极小点统称为函数的极值点.v费马费马(Fermat)定理定理 如果如果 x0是是函数函数 f(x)的极值点的极值点,并且并且f(x)在该点可导在该点可导,则则 f (x0)0 (逆命题不一定成立逆命题不一定成立)例如,函数y=x2+1,x=0是y的极值点,且f(x)=2x,f(0)=0例如,函
2、数y=x3,f(x)=3x2,f(0)=0,但x=0不是y的极值点 函数驻点的概念使导数f(x)为零的点称为f(x)的驻点或稳定点可导的极值点是驻点,但驻点不一定是极值点.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理.,ABCAB的切线平行于弦在该点处有一点上至少在曲线弧.)()()(abafbffv拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 使得使得 f(b)-f(a)=f ()(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值
3、公式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理系处局部变化率之间的关整体平均变化率与内点上可导函数在区间所以，这个公式反映了处的局部变化率，表示内点的平均变化率，整体变化表示函数在区间分析：,)(,)()(bafbaabafbfv拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 使得使得 f(b)-f(a)=f ()(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理度。等于某一点时的瞬时速度，公式表
4、示整体平均速说明：从力学角度来看v拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 如果函数如果函数 y f(x)满足满足 (1)在闭区间在闭区间a b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a b)内可导内可导,那么在那么在(a b)内内至少存在一点至少存在一点 使得使得 f(b)-f(a)=f ()(b-a)拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 在区间在区间 I 上任取两点上任取两点 x1 x2(x1x2)应用拉格应用拉格朗日中值定理朗日中值定理 在在(x1,x2)内至少内至少存在一点存在一点 ,使使 f(x2)f(x1)f ()(x2 x1)(x1 0)解解 nxxxlnlim11limn
5、xnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnxnxxxlnlim11limnxnxx01limnxnx )()()(lim)()(lim:xgxfxgxfaxax型洛必达法则 解解 例例例例 4 求xxx1arctan2lim 解解 xxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22xxxxxx1arctan2lim22111limxxx11lim22
6、xxx )00()0(xxxxxln)1()1(lnlim1原式例例.ln111lim1xxx求 解解 xxxxx1)1(ln11lim1xxxxxln11lim1.)(.00:0型型型或型或化为化为型极限计算型极限计算型、型、xxx11sinlim原式例例xxx1sinlim求 解解 21)1(1coslimxxxx11coslimxx ln01ln0ln01000取对数取对数.0 .00:1000型型型或型或取对数化为取对数化为型极限计算型极限计算型、型、型、型、例例解解.)11(limexxx用洛必塔法则验证公式)11ln(limxxx)1()11ln(lim)11ln(lim)11(l
7、imxxxxxxxxeexxxx1)11ln(lim.1)1(111lim22xxxx.)11(limexxx.00:1000型型型或型或取对数化为取对数化为型极限计算型极限计算型、型、型、型、.11.1.解解.coslimxxxx求求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.111lim20 xexx原式原式思考题思考题:以下解法对否以下解法对否?.coslim不存在不存在xxxx注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件2.2.arccos1lim0 xexx求求解解1.1.解解.coslimxxxx求求.1)cos1(li
8、mxxx原式原式.020原式原式思考题思考题:以下解法对否以下解法对否?2.2.arccos1lim0 xexx求解解注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件3 函数的单调性、极值、最大值和最小值函数的单调性、极值、最大值和最小值3.1 函数单调性的判定法函数单调性的判定法3.2 函数的极值函数的极值3.3 函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 f (x)0 f (x)0（或（或 f (x)0),则函数则函数f(x)在在该区间内单调增加（或单调减少）该区间内单调增加（或单调减少）v用导数求函数单调区间的方法用导数求函数单调区间的方法 求驻点，将区间分解为几个子区间求驻点，将区间
9、分解为几个子区间 对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区对每一个子区间判定函数导数的正、负性，得到函数在该子区间的单调性。间的单调性。例：求函数例：求函数f(x)=(x-1)2-4的单调区间。的单调区间。解：函数的定义域为（解：函数的定义域为（-，+），），由由f(x)=2(x-1)(x-1)=2x-2=0 可得驻点 =1当x1时，f(x)1时，f(x)0.所以函数f(x)在（-，1）上单调减少，在（上单调减少，在（1，+）上单调增加。）上单调增加。提问：提问：f(a)和和 f(b)是极值吗？是极值吗？v函数的极值函数的极值函数的极值及其求法函数的极值及其求法 设函数设函数f(
10、x)在点在点x0的某邻域的某邻域U(x0)内有定义内有定义 如果对于任意如果对于任意x U(x0)有有f(x)f(x0)(或或f(x)f(x0)则称则称f(x0)是函数是函数 f(x)的一个极大值的一个极大值(或极小值或极小值)。x1x2x3x4x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得使函数取得极值的点称为极值点极值的点称为极值点 观察与思考：观察与思考：观察极值与切线的关系观察极值与切线的关系 设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导 且在且在x0处取得极值处取得极值 那么那么f (x0)0 驻点驻点 使导数使导数f (x)为零的点为零的
11、点(方程方程f (x)0的实根的实根)称为函数称为函数f(x)的驻点的驻点 v定理定理观察与思考：观察与思考：观察曲线的升降与极值之间观察曲线的升降与极值之间的关系的关系 x1x2x3x4x5 设函数设函数f(x)在在x0处连续处连续 且在且在(a x0)(x0 b)内可导内可导 (1)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值 (2)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值 (3)如果在如果在(a x0)及及(x
12、0 b)内内 f (x)的符号相同的符号相同 那么函数那么函数f(x)在在x0处没有极值处没有极值 v判别法则判别法则I(I(第一充分条件第一充分条件)x1x2x3x4x5v确定极值点和极值的步骤确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数求出导数f (x)(2)求出求出f(x)的全部驻点和不可导点的全部驻点和不可导点 (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号的符号 (4)确定出函数的所有极值点和极值确定出函数的所有极值点和极值 v判别法则判别法则I(I(第一充分条件第一充分条件)设函数设函数f(x)在在x0处连续处连续 且在且在(a x0)(x0
13、b)内可导内可导 (1)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值 (2)如果在如果在(a x0)内内f (x)0 在在(x0 b)内内f (x)0 那么函数那么函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值 (3)如果在如果在(a x0)及及(x0 b)内内 f (x)的符号相同的符号相同 那么函数那么函数f(x)在在x0处没有极值处没有极值 的极值点和极值。例：求函数)31()1()(3xxxf232)1(4)31()1()31()1()13)(xxxxxxxxf（解：由1,021xx求得驻点;0)(1
14、;0)(10;0)(0 xfxxfxxfx时，当时，当时，当不是极值点小值是函数的极小值点，极1;31)0(0 xfxv判别式判别式II(II(第二充分条件第二充分条件)设函数设函数f(x)在点在点x0处具有二阶导数且处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么那么 (1)当当f (x0)0时时 函数函数f(x)在在x0处取得极大值处取得极大值 (2)当当f (x0)0时时 函数函数f(x)在在x0处取得极小值处取得极小值 应注意的问题：应注意的问题：如果如果f (x0)0 f (x0)0 则定理则定理3不能应用不能应用 但不能由此但不能由此说明说明f(x0)不是不是f(x)的的极值极
15、值.讨论：讨论：函数函数 g(x)x3在点在点x 0是否有极值？是否有极值？的极值点和极值。例：求函数xxxf3)(31;10)3(3)(2122xxxxxf得到两个驻点：解：由366)(xxxf又;4)1(1012)1(fxf大值是函数的极大值点，极;4)1(1012)1(fxf小值是函数的极小值点，极最大值最小值问题最大值最小值问题 观察与思考：观察与思考：观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点观察哪些点有可能成为函数的最大值或最小值点 怎样求函数的最大值和最小值怎样求函数的最大值和最小值 x1x2x3x4x5Mmx1x2x3x4x5Mm 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间
16、的闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间的端点及区间内的极值点处取得端点及区间内的极值点处取得 函数在闭区间函数在闭区间a b上的最大值一定是函数的所有极大上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者值和函数在区间端点的函数值中的最大者 其最小值一定是其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者 v极值与最值的关系极值与最值的关系x1x2x3x4x5Mmv最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法 (1)求出函数求出函数f(x)在在(a b)内的驻点和不可导点内的驻点和不可导点 设这此点设这此点为
17、为x1 x2 xn (2)计算函数值计算函数值 f(a)f(x1)f(xn)f(b)(3)判断判断 最大者是函数最大者是函数f(x)在在a b上的最大值上的最大值 最小者是最小者是函数函数f(x)在在a b上的最小值上的最小值 v极值极值VS最大值、最小值最大值、最小值 (1)极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之内极值是局部性的概念，函数在其定义域范围之内可以有多个极大值或极小值可以有多个极大值或极小值 (2)最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范围最大值和最小值是全局性概念，函数在其定义域范围内只有一个最大值和一个最小值。内只有一个最大值和一个最小值。学习兴趣最大？激增或激减？何时
18、为何值时学生学习兴趣问时接受能力函数为：例：小学生接受新概念tttttG30,0,436.21.0)(2 例例 求函数求函数f(x)|x2 3x 2|在在 3 4上的最大值与最小值上的最大值与最小值 解)2 ,1(234 ,2 1 ,3 23)(22xxxxxxxf 解解)2 ,1(32)4 ,2()1 ,3(32)(xxxxxf 在(3 4)内 f(x)的驻点为23x 不可导点为 x1 和 x2 23x 不可导点为 x1 和 x2 由于 f(3)20 f(1)041)23(f f(2)0 f(4)6 比较可得比较可得f(3)20是是 f(x)在在 3 4上的最大值上的最大值 f(1)f(2)0是是f(x)在在 3 4上的最小值上的最小值 v特殊情况下的最大值与最小值特殊情况下的最大值与最小值 如果如果 f(x)在一个区间在一个区间(有限或无限有限或无限 开或闭开或闭)内可导且只内可导且只有一个驻点有一个驻点x0 那么那么 当当f(x0)是极大值时是极大值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最大值在该区间上的最大值 当当f(x0)是极小值时是极小值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最小值在该区间上的最小值
