1、概括宏观对称性的系统方法就是考查考查在正交变换下的不变性在正交变换下的不变性物体在某正交变换下不变，称该变换为一个对称操作一个物体的对称操作越多，表明它的对称性越高立方体、正四面体、正六角柱各有多少个对称操作?48、24、24一个物体的旋转轴和旋转-反演轴统称为对称素列举一个物体的对称素更为简便若一个物体绕某一个旋转轴转 2/n 以及它的倍数不变,这个轴称为物体的 n 重旋转轴,记作 n若一个物体对绕某一转轴转 2/n 加上中心反演的联合操作以及其联合操作的倍数不变时,这个轴称为物体的 n 重旋转-反演轴,记作 n二重旋转-反演实际表明存在一个对称面,这个对称素一般称为镜面，记为 m 立方轴：
2、4 同时也是 面对角线：2 同时也是 体对角线：3 同时也是423 立方轴：而不是 4 面对角线：而不是 2 体对角线：3 而不是4324.对称操作群一个物体全部对称操作的集合，构成对称操作群 为了描述物体的对称性,需要找出物体全部对称操作,实际上就是找出它所具有的对称操作群 群代表一组”元素”的集合,GE,A,B,C,D,这些“元素”被赋予了一定的“乘法规则”,满足下列性质(1)群的闭合性A、BG,则 AB=CG(2)存在单位元素 E,使得所有元素满足 EA=A(3)对任意元素 A,存在逆元素 A?,满足A A?=E(4)乘法的结合律 A(BC)=(AB)C一个物体全部对称操作的集合，也满足
3、上述群的定义。这时 运算法则就是“连续操作”，不动操作为单位元素，绕轴转 角的逆为绕该轴转 角,中心反演的逆还是中心反演所有正实数(0除外)的集合,以普通乘法为运算法则,1为单位元素,x 的逆为1/x,构成正实数群所有整数的集合,以加法为运算法则,0 为单位元素,a 的逆为a,构成整数群A 绕 OA 转/2B 绕 OC 转/2BA 也是一个对称操作，或对称操作群的一个元素 连续操作下,S 回到原处,T 转到 T,相当于绕 OS 轴转 2/3,操作 CC=BA晶体对称性的系统理论就是建立在“群”的数学理论基础之上例5.介电常数 应用对称操作的概念，证明具有立方对称的晶体的介电性可以归纳为一个标量
4、介电常数DE,x y z 选 x,y,z 沿立方晶体的三个对称轴的方向 如果把电场 E 和晶体同时转动,D 也将作相同转动,以 D 表示转动后的矢量设 E 沿 y 轴，这时,xxyyyyzzyDEDEDE 现在将晶体和电场同时绕 y 轴转动/2，使 z 轴转到 x 轴，x 轴转到 z 轴，D将作相同转动，因此 xzzyDDE yyyyDDE zxxyDDE 但转动前后晶体和电场不变，有 DD 得到,xyzyzyxy 表明0 xyzy如果取 E 沿 z 轴并绕 z 轴转动/2，可证明0 xzyz 这样就证明了非对角元都等于零，,(,)DEx y z再取 E 沿111方向,则13xxxyyyzzz
5、DDED 绕111转动2/3，使 zxyz,转动后13xzzzyxxxzyyyDDDDEDD 由于晶体不变，有 DD 得到0 xxyyzz 因此，在具有立方对称的晶体中0 以上的论证和结论显然适用于一切具有二阶张量形式的宏观性质（如电导率、热导率等）上述论证并未引用立方对称的全部对称操作,对于具有正四面体对称的晶体,以上结论也成立证明上述结果的另一种方法如下111213212223313233aaaAaaaaaa111213212223313233*1AA 有 设对称操作对应的正交变换为 介电常数二阶张量为 坐标变换下，二阶张量的变化规律为1*A AA A 又因为 A 为对称操作，操作前后晶体
6、自身重合，有 写成分量ijijija a 给出了分量之间的相互联系*A A 立方晶体，选取对称操作为绕 z 轴转/2，变换矩阵111213212223313233cos(/2)sin(/2)0010sin(/2)cos(/2)0100001001aaaaaaaaa 代入前式，有11221221,又介电函数本身的性质1221 所以12210 进一步选择另外对称操作，最后得到0 这种方法很容易推广到 n 阶张量由于晶体对称性，那些具有 n 阶张量形式的宏观物理量(如弹性模量为四阶张量)，其系数也有一定的性质 一个 n 阶张量用 表示，在坐标变换下有rstTijlirjsltrstrstTa a a
7、T 若 A 为对称操作有ijlijlTT 从而得到系数之间的关系,可以简化 n 阶张量 宏观对称性可以用正交变换下的不变性来描写 对称操作数立方体 48 正四面体 24 正六角柱 24 晶体所有对称操作构成一个群对称操作群由于对称性，立方对称晶体的介电常数是一个标量1-5 晶体的宏观对称性小 结1-6 点群 Point group晶体的宏观对称是在晶体原子的周期排列基础上产生的宏观对称可能有的对称操作受到严格限制晶体的周期性是用一定的Bravais格子l1 a1+l2 a2+l3a3 来表征的，晶体本身既然经历对称操作后不变，表征其周期性的Bravais格子l1 a1+l2 a2+l3a3 显
8、然经历对称操作后也必须和原来重合1.10种对称素设有任意对称操作，转角为画出 Bravais 格子中垂直于转轴的晶面 在该晶面内选取基矢 a1、a2，晶面上所有Bravais格点均可表示为 l1 a1+l2 a2将原点记作A，画出a1 到达BBA/AB,代表晶体中同一晶向,其上有相同的周期绕A转角，BB，由对称性知 B 处原来就有一格点绕 B 转-角，AA,A 处原来也有 一格点=,B AnABn 取整数12cosn=,B An BAn取整数=(12cos)B AAB由几何关系 或 由于|cos|1，n 只能有1,0,1,2,3 五个值,相应地 0,60,90,120,180 不论任何晶体,它
9、的宏观对称性只可能有以下几种对称素1,2,3,4,61,2,3,4,6晶格不能具有5重旋转轴长方形、正三角形、正方形、正六边形可以在平面内周期的重复排列，正五边形不可能相互紧贴做周期的重复排列 在以上十种对称素的基础上组成的对称操作群，一般称为点群 由对称素组合成群时，对称轴之间的夹角、对称轴的数目，都受到严格限制 如：若有两个二重轴，它们之间的夹角 只能是 30、45、60、90 若存在一个n重轴和与之垂直的二重 轴,就一定存在 n个与之垂直的二重轴这种严格的限制是对称操作群的闭合性的结果2.32种点群设想一个群包含两个二重轴 2 和 2，夹角考虑先后绕 2 和 2 转动,称它们为 A 操作
10、和 B 操作操作下 NNN，表明B、A相乘得到的操作C=BA不改变 NN 轴只能是一个绕 NN 轴的转动它将 2 转到 2 位置 C 的转角 2只能是 60、90、120、180 因此两个二重轴之间的夹角只能是 30、45、60、90 以上的结论同样适用于四重轴和四重旋转反演轴也就是说一个点群所包含的对称素 2、4、相互夹角都必须符合上列要求4 具体的分析证明,由于对称素组合时受到的严格限制,由十种对称素只能组成32个不相同的点群 晶体的宏观对称性只有32个不同类型分别由32个点群来概括熊夫利(Schnflies)符号最简单的点群只含一个元素（不动操作），标记为 C1,它表示没有任何对称的晶体
11、 只包含一个旋转轴的点群称为回转群，标记为 C2,C3,C4,C6,共有四个.Cn 表示有一个 n 重旋转轴 包含一个 n 重旋转轴和 n 个与之垂直的二重轴的点群称为双面群，标记为 Dn，这样的点群有 D2,D3,D4,D6,共有四个由上述点群增加反演中心或一些镜面,可组成新的点群C1 群加上中心反演组成 Ci 群群;C1 群加上反映面组成 Cs 群群Cn 群加上与 n 重轴垂直的反映面组成 Cnh 群群,共有四个;Cn 群加上 n 个含 n 重轴的反映面组成 Cnv 群群,也有四个Dn 群加上与 n 重轴垂直的反映面组成 Dnh 群群,共有四个Dn 群加上 n 个含 n 重轴及两根二重轴角
12、平分线的反映面组成 Dnd 群群,n 只能取 2 和 3,即有 D2d、D3d 群二个还可以有只包含旋转反演轴的点群，标记为 Sn 群群但其中 S1 Cs，S2 Ci,S3 C3h,只有 S4,S6 归入 Sn 群,共二个以上共二十七个点群，它们最多只包含有一个高阶对称轴(n3)余下的是高阶轴多于一个的点群立方对称的 48 个对称操作称为立方点群立方点群，标记为 Oh；正四面体的 24 个对称操作称为正四面体点群正四面体点群,标记为 Td；另外3个点群是：Oh 群中 24 个纯转动操作组成 O 群；Td 群中 12 个纯转动操作组成 T 群；T 群加上中心反演组成群 Th由于周期性的限制，晶体只能有 1、2、3、4、6 重旋转轴10 种对称素组成晶体点群由于对称素之间的组合受到限制,只有 32 种点群 1-6 点 群小 结问题：列举 T 群的所有旋转轴.4个三重轴;3个二重轴不包含晶向的四重轴,也不包含晶向的二重轴
