1、-1-8.5.3平面与平面平行平面与平面平行课前篇自主预习一二一、平面与平面平行的判定定理1.思考(1)使三角板的一条边所在直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗?提示不一定,也可能相交.(2)使三角板的两条边所在直线都与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗?提示一定平行.(3)如果一本书的两边与桌面分别平行,那么这本书所在的平面与桌面平行吗?提示不一定.如果是书的一组对边分别与桌面平行,那么这本书所在的平面与桌面可能平行,也可能相交;如果是书的一组邻边分别与桌面平行,那么这本书所在的平面与桌面一定平行.课前篇自主预习一二(4)如图,平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD
2、平行?这两个平面平行吗?提示无数条,不平行.课前篇自主预习一二2.填空平面与平面平行的判定定理课前篇自主预习一二3.做一做(1)在长方体ABCD-ABCD中,下列结论正确的是()A.平面ABCD平面ABBAB.平面ABCD平面ADDAC.平面ABCD平面CDDCD.平面ABCD平面ABCD答案:D解析:在长方体ABCD-ABCD中,上底面ABCD与下底面ABCD平行.课前篇自主预习一二(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.如果一条直线和一个平面内的另一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.()如果一个平面内有两条直线和另一个平面平行,那么这两个平面平行.()直
3、线a平面,直线b平面,a平面,b平面平面平面.()答案:课前篇自主预习一二二、平面与平面平行的性质定理1.思考(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一条直线与另一个平面有什么位置关系?为什么?提示一个平面内的任一条直线都与另一个平面平行.因为两个平面平行时,这两个平面没有公共点,所以一个平面内的直线与另一平面就没有公共点,从而该直线与另一个平面平行.(2)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线具有什么位置关系?提示它们可能平行,也可能异面.(3)在思考(2)中,如何保证分别在两个面内的这两条直线平行?提示使这两条直线位于同一个平面内.课前篇自主预习一二(
4、4)在长方体ABCD-ABCD中,平面AC内哪些直线与BD平行呢?如何找到它们?提示因为平面AC与平面BD平行,平面AC内的直线只要与直线BD共面就可以了.(5)当第三个平面和两个平行平面都相交时,两条交线有什么关系?如何证明它们的关系?提示两条交线平行.下面我们来证明这个结论.已知,如图,平面,满足,=a,=b.求证:ab.证明:=a,=b,a,b.,a,b没有公共点.又a,b同在平面内,ab.课前篇自主预习一二2.填空平面与平面平行的性质定理课前篇自主预习一二3.做一做(1)若,a,b,下列几种说法正确的是()ab;a与内无数条直线平行;a与内的任何一条直线都不垂直;a.A.B.C.D.答
5、案:B(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.平面平面,平面平面=直线a,平面平面=直线b直线a直线b.()平面平面,直线a,直线bab.()答案:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练两个平面平行的判定两个平面平行的判定例例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,E,F,N分别是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中点,求证:(1)E,F,B,D四点共面;(2)平面MAN平面EFDB.分析(1)只需证明BDEF,即可证明E,F,B,D共面.(2)要证平面MAN平面EFDB,只需证MN平面EFDB,AM平面EFDB.课堂篇探究学习探究一
6、探究二探究三思维辨析随堂演练证明:(1)连接B1D1.E,F分别是B1C1和C1D1的中点,EFB1D1.而BDB1D1,BDEF.E,F,B,D四点共面.(2)由题意知MNB1D1,B1D1BD,MNBD.而MN平面EFDB,MN平面EFDB,连接MF.点M,F分别是A1B1与C1D1的中点,MFAD.四边形ADFM是平行四边形.AMDF.AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面EFDB.又AMMN=M,平面MAN平面EFDB.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 证明两个平面平行,可以用定义,也可以用判定定理.但用定义证明时,需说明两个平面没有公共点,这一点
7、也不容易做到(可用反证法),所以通常用判定定理证明两个平面平行,其步骤如下:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究本例中,设P是棱AA1的中点,其他条件不变,求证:平面PMN平面C1BD.证明:连接AB1.P,M分别是AA1,A1B1的中点,PMAB1.又AB1C1D,PMC1D.又PM平面C1BD,C1D平面C1BD,PM平面C1BD.同理MN平面C1BD.又PMMN=M,平面PMN平面C1BD.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练线面平行、面面平行判定定理的综合线面平行、面面平行判定定理的综合例例2在底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD中,点E在PD上
8、,且PEED=21,M为PE的中点,在棱PC上是否存在一点F,使平面BFM平面AEC?并证明你的结论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:当F是棱PC的中点时,平面BFM平面AEC.M是PE的中点,FMCE.FM平面AEC,CE平面AEC,FM平面AEC.由EM=PE=ED,得E为MD的中点,连接BM,BD,如图所示,设BDAC=O,则O为BD的中点.连接OE,则BMOE.BM平面AEC,OE平面AEC,BM平面AEC.FM平面BFM,BM平面BFM,FMBM=M,平面BFM平面AEC.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 探索型问题是具有开放性和发
9、散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,需要自己去探索,结合已有条件,进行观察、分析、比较和概括得出结论.常见的有以下两类:条件探索型和结论探索型.条件探索型问题是针对一个结论,条件未知需探索;结论探索型是先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳,进行猜测,得出结论,再就一般情况去论证结论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练1如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH的边及其内部运动,当点M在时,有MN平面B1BDD1.答案:点F,H的
10、连线上 课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:点M在F,H的连线上时,有MN平面B1BDD1.如图,平面BDD1B1是正方体ABCD-A1B1C1D1的对角面,探究过点N且与平面BDD1B1平行的直线,可取B1C1的中点N1,连接N1N,则NN1平面BDD1B1,连接NH,则NH平面BDD1B1.NHNN1=N,平面NN1FH平面BDD1B1.MN平面NN1FH,MN平面B1BDD1.即点M在点F,H的连线上时,有MN平面B1BDD1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练面面平行性质定理的应用面面平行性质定理的应用角度1证明线线平行例例3如图,已知平面平面,点P是平
11、面,外的一点(不在与之间),直线PB,PD分别与,相交于点A,B和C,D.(1)求证:ACBD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长.分析(1)由面面平行的性质定理直接推证;(2)先由三角形相似得对应线段成比例,再求值.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练(1)证明:PBPD=P,直线PB和PD确定一个平面,则=AC,=BD.又,ACBD.(2)解:由(1)得ACBD,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行,这三种平行关系不是孤立的,而是相互联系、相互转化的,它们的联系如下:证明线线平行的方法.(
12、1)定义法:在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2)平行公理:平行于同一条直线的两条直线平行.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练2在本例中,若P在与之间,在第(2)问条件下求CD的长.解:如图,PBPC=P,PB,PC确定平面,=AC,=BD.又,ACBD,PACPBD,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2证明线面平行例例4如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点,在棱AB上是否存在一点E,使DE平面AB1C1?并证明你的结论.分析先找出过DE
13、与平面AB1C1平行的平面,可直接找出过D,E与AB1C1的三边平行的直线,进而确定平面,然后确定其与棱AB的交点,即可找出E点位置,然后利用定理进行证明即可.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解:当E为棱AB的中点时,DE平面AB1C1.证明如下:如图所示,取BB1的中点F,连接EF,FD,DE,AC1.因为D,E,F分别为CC1,AB,BB1的中点,所以EFAB1.因为AB1平面AB1C1,EF平面AB1C1,所以EF平面AB1C1.同理可证FD平面AB1C1.因为EFFD=F,所以平面EFD平面AB1C1.因为DE平面EFD,所以DE平面AB1C1.反思感悟反思感悟 证明直
14、线与平面平行,除了定义法,判定定理法以外,还可以用两平面平行的性质,也就是说为了证明直线与平面平行,也可以先证明两平面平行,再由两平面平行的性质得到线面平行.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究若在ABC内找一点E呢?点E只有一个吗?若只有一个,确定点E的位置;若不是,试写出点E的集合.解:能找到.点E有无数个,点E的集合是线段PQ.如图,取棱AB的中点P,棱AC的中点Q.连接PD,PQ,QD.在ABC中,P,Q分别是AB,AC的中点,所以PQBC.在CBB1C1中,因为D,F分别为CC1,BB1的中点,所以DFB1C1,所以PQDF,故四边形PQDF是一个梯形.又
15、DFB1C1,DF平面AB1C1,B1C1平面AB1C1,所以DF平面AB1C1.同理,PF平面AB1C1.又PFDF=F,所以平面PQDF平面AB1C1.故点E的集合是线段PQ.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用典例典例如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BB1,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.【审题视角】用判定定理证明较困难,可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行,得到MN平面AA1B1B.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练证明:如图,作MPBB1交BC于点
16、P,连接NP,AB=BB1,BD=B1C.又DN=CM,BN=B1M,NPCDAB.NP平面AA1B1B,AB平面AA1B1B,NP平面AA1B1B.MPBB1,MP平面AA1B1B,BB1平面AA1B1B,MP平面AA1B1B.又MP平面MNP,NP平面MNP,MPNP=P,平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP,MN平面AA1B1B.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练方法点睛 1.线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达的,因此在证明有关问题时,应抓住“转化”这种思想方法来达到论证的目的.2.空间中线线、线面、面面平
17、行关系的转化如下:课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练变式训练如图所示,平面平面,ABC,ABC分别在,内,线段AA,BB,CC共点于O,O在,之间,若AB=2,AC=1,BAC=90,OAOA=32.则ABC的面积为.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练解析:相交直线AA,BB所在平面和两平行平面,分别相交于AB,AB,由面面平行的性质定理可得ABAB.同理相交直线BB,CC确定的平面和平行平面,分别相交于BC,BC,从而BCBC.同理易证ACAC.BAC与BAC的两边对应平行且方向相反,BAC=BAC.同理ABC=ABC,BCA=BCA.ABC与ABC的三内
18、角分别相等,ABCABC,课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练ABAB,AABB=O,在平面ABAB中,AOBAOB.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.已知长方体ABCD-ABCD,平面平面AC=EF,平面平面AC=EF,则EF与EF的位置关系是()A.平行 B.相交 C.异面D.不确定答案:A解析:因为平面AC平面AC,所以EFEF.2.若P,Q,R分别是三棱锥S-ABC三条侧棱SA,SB,SC的中点,则平面ABC与平面PQR的位置关系是()A.平行 B.相交 C.重合D.相交或平行答案:A解析:由三角形中位线的性质知PQAB,PRAC,由线面平行的判定定理,可
19、得PQ平面ABC,PR平面ABC,又PQPR=P,根据面面平行的判定定理,可得平面ABC平面PQR.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练3.(2019全国高考)设,为两个平面,则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.,平行于同一条直线D.,垂直于同一平面答案:B解析:由面面平行的判定定理知,“内有两条相交直线与平行”是“”的充分条件.由面面平行的性质知,“内有两条相交直线与平行”是“”的必要条件,故选B.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.已知直线a平面,平面平面,则a与的位置关系为.答案:a或a解析:若a,则显然满足题目条件.若a,过直线a作平面,=b,=c,于是由直线a平面得ab,由得bc,所以ac,又a,c,所以a.5.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是.答案:lA1C1解析:因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知lA1C1.
