1、金戈铁骑整理制作金戈铁骑整理制作二二次次函函数数的的图图象象与与性性质质本节内容1.2我我们们已已经经学学习习过过用用描描点点法法画画一一次次函函数数、反反比比例例函函数数的的图图象象，如如何何画画一一个个二二次次函函数数的的图图象象呢呢？探探究究列列表表：由由于于自自变变量量x可可以以取取任任意意实实数数，因因此此让让x取取0和和一一些些互互为为相相反反数数的的数数，并并且且算算出出相相应应的的函函数数值值，列列成成下下表表：x-3-2-1012394101492=yx描描点点：在在平平面面直直角角坐坐标标系系内内，以以x取取的的值值为为横横坐坐标标，相相应应的的函函数数值值为为纵纵坐坐标标
2、，描描出出相相应应的的点点.如如下下图图所所示示.AABBAABB观观察察左左图图，点点A和和点点A，点点B和和点点B，它它们们有有什什么么关关系系？取取更更多多的的点点试试试试，你你能能得得出出函函数数y=x2的的图图象象关关于于y轴轴对对称称吗吗？观观察察左左图图，y轴轴右右边边描描出出的的各各点点，当当横横坐坐标标增增大大时时，纵纵坐坐标标有有什什么么变变化化？y轴轴右右边边的的所所有有点点都都具具有有纵纵坐坐标标随随着着横横坐坐标标的的增增大大而而增增大大的的特特点点吗吗？可可以以证证明明y=x2的的图图象象关关于于y轴轴对对称称；图图象象在在y轴轴右右边边的的部部分分，函函数数值值随
3、随自自变变量量取取值值的的增增大大而而增增大大，简简称称为为“右右升升”.AABB连连线线：根根据据上上述述分分析析，我我们们可可以以用用一一条条光光滑滑曲曲线线把把原原点点和和y轴轴右右边边各各点点顺顺次次连连接接起起来来；然然后后利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在y轴轴左左边边的的部部分分(把把y轴轴左左边边的的点点和和原原点点用用一一条条光光滑滑曲曲线线顺顺次次连连接接起起来来)，这这样样就就得得到到了了的的图图象象.如如上上图图所所示示.2=yx观观察察下下图图，函函数数的的图图象象除除了了上上面面已已经经知知道道的的关关于于y轴轴对对称称和和“右右升升”外外，还还有有哪哪些些
4、性性质质？2=yx观观察察图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而减减小小，简简称称为为“左左降降”；当当x=0时时，函函数数值值最最小小，最最小小值值为为0.从从下下图图中中可可以以看看出出，二二次次函函数数的的图图象象是是一一条条曲曲线线，它它的的开开口口向向上上，对对称称轴轴与与图图象象的的交交点点是是原原点点（0，0）；2=yx2=yx一一般般地地，当当a0时时，y=ax2的的图图象象都都具具有有上上述述性性质质.于于是是我我们们在在画画y=ax2(a0)的的图图象象时时，可可以以先先画画出出图图象象在在y轴轴右右边边的的部部分
5、分，然然后后利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在y轴轴左左边边的的部部分分.在在画画右右边边部部分分时时，只只需需“列列表表、描描点点、连连线线”三三个个步步骤骤.x012300.524.5例例1举举例例画画二二次次函函数数的的图图象象.21=2yx因因为为二二次次函函数数的的图图象象关关于于y轴轴对对称称，因因此此列列表表时时，自自变变量量x可可以以从从原原点点的的横横坐坐标标0开开始始取取值值.21=2yx解解列列表表：21=2yx描描点点和和连连线线：画画出出图图象象在在y轴轴右右边边的的部部分分.如如下下图图所所示示：利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在y轴轴左左边边的的对
6、对称称点点，并并用用一一条条光光滑滑曲曲线线把把y轴轴左左边边的的点点和和原原点点顺顺次次连连接接起起来来，这这样样就就得得到到了了的的图图象象.如如下下图图所所示示：21=2yx1.二二次次函函数数y=6x2的的性性质质有有：练练习习（1）图图象象的的对对称称轴轴是是，对对称称轴轴与与图图象象的的交交点点是是；（2）图图象象的的开开口口向向；（3）图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而；在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而.上上增增大大减减小小y轴轴（0，0）2.在在同同一一直直
7、角角坐坐标标系系中中画画出出二二次次函函数数y=3x2及及的的图图象象，并并比比较较它它们们有有什什么么共共同同点点和和不不同同点点？21=4yxy=3x221=4yx答答：通通过过比比较较以以上上图图象象可可得得出出其其相相同同点点为为：开开口口均均向向上上；对对称称轴轴均均为为y轴轴；对对称称轴轴与与图图象象的的交交点点都都是是（0，0）；图图象象均均是是“左左降降”“右右升升”；当当x=0时时，函函数数值值最最小小，为为0.y=3x221=4yx探探究究我我们们已已经经画画出出了了的的图图象象，能能不不能能从从它它得得出出二二次次函函数数的的图图象象呢呢？21=2yx21=2yx-在在的
8、的图图象象上上任任取取一一点点，它它关关于于x轴轴的的对对称称点点Q的的坐坐标标是是，如如下下图图所所示示：212P a a,212a a-,21=2yx从从点点Q的的坐坐标标看看出出，点点Q在在的的图图象象上上.21=2yx-21=2yxQ由由此此可可知知，的的图图象象与与的的图图象象关关于于x轴轴对对称称，因因此此只只要要把把的的图图象象沿沿着着x轴轴翻翻折折并并将将图图象象“复复印印”下下来来，就就得得到到的的图图象象.如如下下图图中中的的绿绿色色曲曲线线：21=2yx-21=2yx21=2yx21=2yx-21=2yx21=2yx-Q对对称称轴轴是是，对对称称轴轴与与图图象象的的交交点
9、点是是；图图象象的的开开口口向向，y轴轴O(0，0)下下观观察察下下图图，函函数数的的图图像像具具有有哪哪些些性性质质？21=2yx-21=2yx21=2yx-从从图图中中可可以以看看出出，二二次次函函数数的的图图象象是是一一条条曲曲线线，21=2yx-观观察察图图象象在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而，简简称称为为；图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而，简简称称为为；当当x=时时，函函数数值值最最，减减小小右右降降增增大大左左升升0大大0最最值值为为大大21=2yx21=2y
10、x-当当a0时时，y=ax2的的图图象象都都具具有有上上述述性性质质.于于是是今今后后画画y=ax2(a0)的的图图象象时时，可可以以直直接接先先画画出出图图象象在在y轴轴右右边边的的部部分分，然然后后利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在y轴轴左左边边的的部部分分.在在画画右右边边部部分分时时，只只要要“列列表表、描描点点、连连线线”三三个个步步骤骤就就可可以以了了.举举例例解解列列表表：例例2画画二二次次函函数数的的图图象象.21=4yx-x012340-1-421=4yx-14-94-描描点点和和连连线线：画画出出图图象象在在y轴轴右右边边的的部部分分.利利用用对对称称性性画画出出y
11、轴轴左左边边的的部部分分.这这样样我我们们得得到到了了的的图图象象.21=4yx-说说一一说说如如下下图图所所示示，在在棒棒球球赛赛场场上上，棒棒球球在在空空中中沿沿着着一一条条曲曲线线运运动动，它它与与二二次次函函数数y=ax2(a0)的的图图象象相相像像吗吗？以以棒棒球球在在空空中中经经过过的的路路线线的的最最高高点点为为原原点点建建立立直直角角坐坐标标系系，x轴轴的的正正方方向向水水平平向向右右，y轴轴的的正正方方向向竖竖直直向向上上，则则可可以以看看出出棒棒球球在在空空中中经经过过的的路路线线是是形形如如y=ax2(a0)的的图图象象的的一一段段.由由此此受受到到启启发发，我我们们把把
12、二二次次函函数数y=ax2的的图图象象这这样样的的曲曲线线叫叫作作抛抛物物线线，简简称称为为抛抛物物线线y=ax2.一一般般地地，二二次次函函数数y=ax2的的图图象象关关于于y轴轴对对称称.抛抛物物线线与与它它的的对对称称轴轴的的交交点点(0，0)叫叫做做抛抛物物线线的的顶顶点点.（3）抛抛物物线线在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而；在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分，函函数数值值随随自自变变量量取取值值的的增增大大而而.1.画画出出二二次次函函数数y=-10 x2的的图图象象并并填填空空：（1）抛抛物物线线的的对对称称轴轴是是，顶顶
13、点点是是；（2）抛抛物物线线的的开开口口向向；y轴轴原原点点O(0，0)下下减减小小增增大大练练习习2.在在同同一一直直角角坐坐标标系系中中，分分别别画画出出函函数数y=-0.3x2与与y=-8x2的的图图象象，并并分分别别说说出出它它们们的的共共同同点点和和不不同同点点.解解：共共同同点点：均均开开口口向向下下；对对称称轴轴均均为为y轴轴；对对称称轴轴与与图图象象的的交交点点是是(0，0)；图图象象均均是是“左左升升”“右右降降”；当当x=0时时，函函数数值值最最大大，为为0；不不同同点点：y=-8x2的的图图象象开开口口比比y=-0.3x2的的图图象象开开口口小小.探探究究把把二二次次函函
14、数数的的图图象象E向向右右平平移移1个个单单位位，得得到到图图形形F，如如下下图图所所示示：21=2yx21=2yx由由于于平平移移不不改改变变图图形形的的形形状状和和大大小小，因因此此图图象象E在在向向右右平平移移1个个单单位位后后：原原像像像像抛抛物物线线E：图图象象F也也是是抛抛物物线线E的的顶顶点点O(0，0)点点O(1，0)是是F的的顶顶点点E有有对对称称轴轴l(与与y轴轴重重合合)直直线线l(过过点点O与与y轴轴平平行行)是是F的的对对称称轴轴E开开口口向向上上F也也开开口口向向上上21=2yx抛抛物物线线F是是哪哪个个函函数数的的图图象象呢呢？在在抛抛物物线线上上任任取取一一点点
15、，它它在在向向右右平平移移1个个单单位位后后，点点P的的像像点点Q的的坐坐标标是是什什么么？21=2yx212P a a,21=2yx把把点点P的的横横坐坐标标a加加上上1，纵纵坐坐标标不不变变，就就得得到到像像点点Q的的坐坐标标为为212a.21+1 2aa,记记b=a+1，则则a=b-1.从从而而点点Q的的坐坐标标为为，这这表表明明：点点Q在在函函数数的的图图象象上上.2112b b,()-21=12yx()-由由此此得得出出，抛抛物物线线F是是函函数数的的图图象象.21=12yx()()-从从上上面面的的过过程程可可以以说说明明：函函数数的的图图象象是是抛抛物物线线F，它它的的开开口口向
16、向上上，它它的的顶顶点点是是，它它的的对对称称轴轴是是过过点点且且平平行行于于y轴轴的的直直线线l.直直线线l是是由由横横坐坐标标为为1的的所所有有点点组组成成的的，我我们们把把直直线线l记记做做直直线线x=1.21=12yx()()-1 0 O(,)(,)1 0 O(,)(,)结结论论二二次次函函数数y=a(x-h)2的的图图象象是是抛抛物物线线，它它的的对对称称轴轴是是直直线线x=h，它它的的顶顶点点坐坐标标是是(h，0).当当a0时时，抛抛物物线线的的开开口口向向上上；当当a0时时，开开口口向向下下.类类似似地地，我我们们可可以以证证明明下下述述结结论论：由由于于我我们们已已经经知知道道
17、了了二二次次函函数数y=a(x-h)2的的图图象象的的性性质质，因因此此今今后后在在画画y=a(x-h)2的的图图象象时时，只只要要先先画画出出对对称称轴轴以以及及图图象象在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分，然然后后利利用用对对称称性性，画画出出左左边边的的部部分分.在在画画图图象象的的右右边边部部分分时时，只只需需要要“列列表表，描描点点，连连线线”三三个个步步骤骤就就可可以以了了.举举例例解解抛抛物物线线y=(x-2)2的的对对称称轴轴是是直直线线x=2，顶顶点点坐坐标标是是(2，0).x2345y=(x-2)20149例例3画画函函数数y=(x-2)2的的图图象象.列列表表：自自变变量
18、量x从从顶顶点点的的横横坐坐标标2开开始始取取值值.描描点点和和连连线线：画画出出图图象象在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分.利利用用对对称称性性画画出出图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分:这这样样我我们们得得到到了了函函数数y=(x-2)2的的图图象象.如如下下图图所所示示：y=(x-2)21.写写出出下下列列二二次次函函数数图图象象的的对对称称轴轴、顶顶点点坐坐标标和和开开口口方方向向.（1）21=53yx-()练练习习答答：对对称称轴轴是是直直线线x=5，顶顶点点是是(5，0)，开开口口向向上上.（2）y=-3(x+2)2答答：对对称称轴轴是是直直线线x=-2，顶顶点点是是(
19、-2，0)，开开口口向向下下.2.分分别别画画出出二二次次函函数数y=-(x-1)2，的的图图象象.21=(+1)2yx解解探探究究如如何何画画二二次次函函数数的的图图象象？+21=132()()yx-我我们们来来探探究究二二次次函函数数与与之之间间的的关关系系.21=1+32yx-()()21=12()()yx-二二次次函函数数图图象象上上的的点点横横坐坐标标x纵纵坐坐标标yaa21=12()()yx-21=1+32()()yx-2112()()a-211+32()()a-21=1+32yx-()()21=12yx-()()从从上上表表看看出出：对对于于每每一一个个给给定定的的x值值，函函数
20、数的的值值都都要要比比函函数数的的值值大大3，由由此此可可见见函函数数的的图图象象可可由由二二次次函函数数的的图图象象向向上上平平移移3个个单单位位而而得得到到（如如下下图图）.21=12()yx-21=1+32yx-()21=1+32yx-()21=12()yx-因因此此，二二次次函函数数的的图图象象也也是是抛抛物物线线，它它的的对对称称轴轴为为直直线线x=1(与与抛抛物物线线的的对对称称轴轴一一样样)，顶顶点点坐坐标标为为(1，3)(它它是是由由抛抛物物线线的的顶顶点点(1，0)向向上上平平移移3个个单单位位得得到到)，它它的的开开口口向向上上.21=1+32()yx-21=12()yx-
21、21=12()yx-21=1+32yx-()()21=12yx-()()结结论论一一般般地地，二二次次函函数数y=a(x-h)2+k的的图图象象是是抛抛物物线线，它它具具有有下下述述性性质质：抛抛物物线线y=a(x-h)2+k对对称称轴轴顶顶点点坐坐标标开开口口方方向向图图象象上上的的点点在在对对称称轴轴的的左左边边在在对对称称轴轴的的右右边边a0 x=h(h，k)向向上上y随随x的的增增大大而而减减小小y随随x的的增增大大而而增增大大a0 x=h(h，k)向向下下y随随x的的增增大大而而增增大大y随随x的的增增大大而而减减小小由由于于我我们们已已经经知知道道了了函函数数y=a(x-h)2+k
22、的的图图象象的的性性质质，因因此此画画y=a(x-h)2+k的的图图象象的的步步骤骤如如下下：第第一一步步写写出出对对称称轴轴和和顶顶点点坐坐标标，并并且且在在平平面面直直角角坐坐标标系系内内画画出出对对称称轴轴，描描出出顶顶点点；第第二二步步列列表表(自自变变量量x从从顶顶点点的的横横坐坐标标开开始始取取值值)，描描点点和和连连线线，画画出出图图象象在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分；第第三三步步利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分(这这只只要要先先把把对对称称轴轴左左边边的的对对应应点点描描出出来来，然然后后用用一一条条光光滑滑曲曲线线顺顺次次连连接
23、接它它们们和和顶顶点点).举举例例解解对对称称轴轴是是直直线线x=-1，顶顶点点坐坐标标为为(-1，-3).x-10123-3-2.5-11.55列列表表：自自变变量量x从从顶顶点点的的横横坐坐标标-1开开始始取取值值.例例4画画二二次次函函数数的的图图象象.21=+132yx-()()21=+132yx-()()描描点点和和连连线线：画画出出图图象象在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分.利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分.这这样样我我们们得得到到了了函函数数的的图图象象.21=+132yx()()-举举例例例例5已已知知某某抛抛物物线线的的顶顶点点坐坐
24、标标为为（-2，1），且且与与y轴轴相相交交于于点点（0，4），求求这这个个抛抛物物线线所所表表示示的的二二次次函函数数的的表表达达式式.已已知知某某抛抛物物线线的的顶顶点点坐坐标标为为（-2，1），且且与与y轴轴相相交交于于点点（0，4），求求这这个个抛抛物物线线所所表表示示的的二二次次函函数数的的表表达达式式.由由函函数数图图象象过过点点（0，4），可可得得4=a(0+2)2+1，解解由由于于点点（-2，1）是是该该抛抛物物线线的的顶顶点点，可可设设这这个个抛抛物物线线所所表表示示的的二二次次函函数数的的表表达达式式为为y=a(x+2)2+1.因因此此，所所求求的的二二次次函函数数的的表表
25、达达式式为为2233=(+2)+1=+34.44yxxx3=.4a解解得得1.说说出出下下列列二二次次函函数数的的图图象象的的对对称称轴轴、顶顶点点坐坐标标和和开开口口方方向向：22 1=9+75（）()()；yx-21 2=+1813.3yx（）()()-答答：对对称称轴轴为为直直线线x=9，顶顶点点(9，7)，开开口口向向上上.答答：对对称称轴轴为为直直线线x=-18，顶顶点点(-18，-13)，开开口口向向下下.练练习习2.画画二二次次函函数数的的图图象象.2=22+3yx-()()解解：2=22+3yx()()-3.已已知知某某抛抛物物线线的的顶顶点点坐坐标标为为(-3，2)，且且经经
26、过过点点(-1，0)，求求这这个个抛抛物物线线所所表表示示的的二二次次函函数数的的表表达达式式.由由函函数数图图象象过过点点(-1，0)，可可得得0=a(-1+3)2+2，解解:由由于于点点(-3，2)是是该该抛抛物物线线的的顶顶点点，可可设设这这个个抛抛物物线线所所表表示示的的二二次次函函数数的的表表达达式式为为y=a(x+3)2+2.1=.2a-解解得得因因此此，所所求求的的二二次次函函数数的的表表达达式式为为)22115=(32=3.222yxxx-如如何何画画二二次次函函数数y=-2x2+6x-1的的图图象象？动动脑脑筋筋我我们们已已经经会会画画y=a(x-h)2+k的的图图象象.因因
27、此此只只需需把把-2x2+6x-1配配方方成成-2(x-h)2+k的的形形式式就就可可以以了了.配配方方：2=2+61y xx-2=231xx-()()22233=2 3+122xx-239=2+2124x-237=2+.22x-对对称称轴轴是是直直线线，顶顶点点坐坐标标是是.3=2x3722 ,x233-1列列表表：自自变变量量x从从顶顶点点的的横横坐坐标标开开始始取取值值.32237=2+22yx-325272723292-描描点点和和连连线线：画画出出图图象象在在对对称称轴轴右右边边的的部部分分.利利用用对对称称性性，画画出出图图象象在在对对称称轴轴左左边边的的部部分分.这这样样就就得得
28、到到了了函函数数y=-2x2+6x-1的的图图象象.观观察察下下图图，当当x等等于于多多少少时时，函函数数y=-2x2+6x-1的的值值最最大大？这这个个最最大大值值是是多多少少？说说一一说说当当x等等于于顶顶点点的的横横坐坐标标时时，函函数数值值最最大大；这这个个最最大大值值等等于于顶顶点点的的纵纵坐坐标标.3272一一般般地地，有有下下述述结结论论：二二次次函函数数y=ax2+bx+c，当当x等等于于顶顶点点的的横横坐坐标标时时，达达到到最最大大值值(当当a0)或或最最小小值值(当当a0)，这这个个最最大大(小小)值值等等于于顶顶点点的的纵纵坐坐标标.举举例例解解配配方方：21=+212y
29、 xx-例例6求求二二次次函函数数的的最最大大值值.21=+212yxx-2221=4+2212xx()()-211=2+4 122()()-x21=2+1.2x-()()顶顶点点坐坐标标是是(2，1)，于于是是当当x=2时时，y达达到到最最大大值值1.一一般般地地，对对于于二二次次函函数数y=ax2+bx+c进进行行配配方方，2=+y axbxc224=+.24bac ba xaa-顶顶点点坐坐标标是是.2424-bac baa ,因因此此，当当时时，函函数数达达到到最最大大值值(当当a0)或或最最小小值值(当当a0)：=2bxa-24.4ac ba-练练习习1.写写出出下下列列二二次次函函
30、数数图图象象的的对对称称轴轴、顶顶点点坐坐标标和和开开口口方方向向，并并画画出出它它们们的的图图象象.（1）y=3x2-6x+1；答答：对对称称轴轴为为直直线线x=1，顶顶点点(1，-2)，开开口口方方向向向向上上.原原函函数数可可化化为为y=3(x-1)2-2.答答：原原函函数数可可化化为为对对称称轴轴为为直直线线x=2，顶顶点点(2，0)，开开口口方方向向向向下下.()21=2.4y x-21=-1.4y xx+（2）2.求求下下列列二二次次函函数数的的图图象象的的顶顶点点坐坐标标：（1）y=x2-3x+2；答答：232y=xx-+-+的的图图象象顶顶点点为为.3124-,（2）21=21
31、.3y xx-+-+答答：(-3，4).的的图图象象顶顶点点为为21=213y xx-+-+3.用用配配方方法法求求第第2题题中中各各个个二二次次函函数数的的最最大大值值或或最最小小值值.（1）y=x2-3x+2；32x=.14-答答：原原函函数数配配方方得得当当时时，y最最小小=.23124y=x -()()（2）21=21.3y xx-+-+答答：原原函函数数配配方方得得当当x=-3时时，y最最大大=4.()21=34.3y x-+-+中中考考试试题题例例1把把抛抛物物线线y=-x2向向左左平平移移1个个单单位位，然然后后向向上上平平移移3个个单单位位，则则平平移移后后抛抛物物线线的的解解
32、析析式式为为（）A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3D解解析析抛抛物物线线y=-x2的的顶顶点点(0，0)先先向向左左平平移移1个个单单位位，再再向向上上平平移移3个个单单位位得得到到(-1，3)，该该点点为为所所求求抛抛物物线线的的顶顶点点，故故选选D.中中考考试试题题例例2抛抛物物线线y=x2-3x+2与与y轴轴交交点点的的坐坐标标是是（）A.(0，2)B.(1，0)C.(0，-3)D.(0，0)A解解析析当当x=0时时，y=2，所所以以抛抛物物线线与与y轴轴的的交交点点坐坐标标是是(0，2)，故故选选A.中中考考试试题题例例3把把抛抛物物线线y=2x2向向上上平平移移5个个单单位位，所所得得抛抛物物线线的的解解析析式式为为（）A.y=2x2+5B.y=2x2-5C.y=2(x+5)2D.y=2(x-5)2A解解析析y=2x2向向上上平平移移5个个单单位位后后解解析析式式为为y=2x2+5，故故选选A.结结束束
