1、2021中考数学 专题强化训练几何压几何压轴轴 综合综合题题1.(2019北京,27,7分)已知AOB=30,H为射线OA上一定点,OH=+1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证:OMP=OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.3解析解析(1)补全图形,如图.(2)证明:MPN=150,OPN=150-OPM,AOB=30,OMP=180-(AOB+OPM)=150-OPM.OMP=OPN.(
2、3)OP的值为2.证明:任取满足条件的点M,过点P作PSOA于点S,在OA上取一点T,使得ST=SM,连接TP,如图.PT=PM.PTM=PMT,PT=PN.PTQ=PMO.PTQ=NPO.点M关于点H的对称点为Q,MH=HQ.当点T在点H的左侧时,QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS.在RtOPS中,OS=OPcos 30=.OH=+1,HS=OH-OS=+1-=1.QT=2.当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2.QT=OP.OPN QTP.ON=QP.3333思路分析思路分析本题第(3)问需要关注线段OH对QP的影响,同时要构造全等三角形
3、来解决.2.(2016北京,28,7分)在等边ABC中.(1)如图1,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,BAP=20,求AQB的度数;(2)点P,Q是BC边上的两个动点(不与B,C重合),点P在点Q的左侧,且AP=AQ,点Q关于直线AC的对称点为M,连接AM,PM.依题意将图2补全;小茹通过观察、实验,提出猜想:在点P,Q运动的过程中,始终有PA=PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:要证PA=PM,只需证APM是等边三角形.想法2:在BA上取一点N,使得BN=BP,要证PA=PM,只需证ANP PCM.想法3:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到
4、线段BK,要证PA=PM,只需证PA=CK,PM=CK.请你参考上面的想法,帮助小茹证明PA=PM.(一种方法即可)解析解析(1)ABC为等边三角形,B=60.APC=BAP+B=80.AP=AQ,AQB=APC=80.(2)补全的图形如图所示.想法1:证明:过点A作AHBC于点H,如图.由ABC为等边三角形,AP=AQ,可得PAB=QAC.点Q,M关于直线AC对称,QAC=MAC,AQ=AM.PAB=MAC,AM=AP.PAM=BAC=60.APM为等边三角形.PA=PM.想法2:证明:在BA上取一点N,使BN=BP,连接PN,CM,如图.由ABC为等边三角形,可得BNP为等边三角形.AN=
5、PC,ANP=120.由AP=AQ,可得APB=AQC.又B=ACB=60,ABP ACQ.BP=CQ.点Q,M关于直线AC对称,ACM=ACQ=60,CM=CQ.NP=BP=CQ=CM.PCM=ACM+ACQ=120,ANP PCM.PA=PM.想法3:证明:将线段BP绕点B顺时针旋转60,得到BK,连接KP,CK,MC,如图.BPK为等边三角形.KB=BP=PK,KPB=KBP=60.KPC=120.由ABC为等边三角形,可得ABP CBK.AP=CK.由AP=AQ,可得APB=AQC.AB=AC,ABC=ACB=60,ABP ACQ.BP=CQ.点Q,M关于直线AC对称,BCM=2ACQ
6、=120,CQ=CM=PK.MCPK.四边形PKCM为平行四边形.CK=PM,PA=PM.思路分析思路分析(1)由等边对等角知求AQB的度数,即求APC的度数,根据三角形外角的性质求APC的度数.(2)需要准确画出图形;三种想法都是正确的,借助等边三角形的性质和判定进行证明.解题关键解题关键解决本题的关键是要熟练应用相关几何知识,另外,要理解题目给出的三种想法,无论是平移、旋转还是轴对称,都是全等变换,从三种全等变换的角度都可以解决.3.(2019北京西城一模,27)如图,在ABC中,ABC=90,BA=BC.将线段AB绕点A逆时针旋转90得到线段AD,E是边BC上的一动点,连接DE交AC于点
7、F,连接BF.(1)求证:FB=FD;(2)点H在边BC上,且BH=CE,连接AH交BF于点N.判断AH与BF的位置关系,并证明你的结论;连接CN.若AB=2,请直接写出线段CN长度的最小值.解析解析(1)证明:ABC=90,BA=BC,BAC=ACB=45.AB绕点A逆时针旋转90得到AD,BAD=90,AB=AD.DAF=BAD-BAC=45.BAF=DAF.(1分)AF=AF,BAF DAF.FB=FD.(2分)(2)AH与BF的位置关系:AHBF.(3分)证明:连接DC,如图.ABC+BAD=180,ADBC.AB=BC=AD,四边形ABCD是菱形.ABC=90,四边形ABCD是正方形
8、.AB=DC,ADC=DCB=90.ABH=DCE.BH=CE,ABH DCE.BAH=CDE.BAF DAF,ABF=ADF.BAH+ABF=CDE+ADF=ADC=90.ANB=180-(BAH+ABF)=90.AHBF.(5分)-1.(7分)(提示:如图,在点E的运动过程中,ANB始终保持90,所以点N始终在以AB中点为圆心O,AB为直径的圆上,最短距离为OC的长减去O的半径长,为-1.)55解题关键解题关键解决本题最后一问的关键是发现AHBF可转化为点N在以AB为直径的圆上,那么CN长度的最小值就为线段OC的长减去半径的长.4.(2019北京西城二模,27)如图,在正方形ABCD中,E
9、是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF=AE,连接DE,DF,EF.FH平分EFB交BD于点H.(1)求证:DEDF;(2)求证:DH=DF;(3)过点H作HMEF于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明.解析解析(1)证明:四边形ABCD是正方形,AD=CD,EAD=BCD=ADC=90,EAD=FCD=90.CF=AE,AED CFD.(1分)ADE=CDF.EDF=EDC+CDF=EDC+ADE=ADC=90,DEDF.(2分)(2)证明:AED CFD,DE=DF.EDF=90,DEF=DFE=45.ABC=90,BD平分ABC,DBF=45.FH平分E
10、FB,EFH=BFH,DHF=DBF+BFH=45+BFH,DFH=DFE+EFH=45+EFH,DHF=DFH,DH=DF.(4分)(3)EF=2AB-2HM.(5分)证明:过点H作HNBC于点N,如图.正方形ABCD中,AB=AD,BAD=90,BD=AB.FH平分EFB,HMEF,HNBC,HM=HN.HBN=45,HNB=90,BH=HN=HM.DH=BD-BH=AB-HM.EF=DF=DH,EF=2AB-2HM.(7分)22ABAD2sin45HN2222cos45DF225.(2019北京石景山一模,27)如图,在等边ABC中,D为边AC的延长线上一点(CDAC,B=45,点D是B
11、C边上一点,且AD=AC,过点C作CFAD于点E,与AB交于点F.(1)若CAD=,求BCF的大小(用含的式子表示);(2)求证:AC=FC;(3)用等式直接表示线段BF与DC的数量关系.解析解析(1)过点A作AGBC于点G,(1分)2+4=90,AD=AC,1=2=CAD=,(2分)CFAD于点E,3+4=90,3=2=CAD=,即BCF=.(3分)1212121212(2)证明:B=45,BAG=45,(4分)BAC=45+1,AFC=45+3,BAC=AFC,AC=FC.(5分)(3)DC=BF.(7分)(提示:过点F作FHBC于H,证明HFC CGA,再根据BF=FH即可得出线段BF与
12、DC的数量关系.)2211.(2019北京房山一模,27)已知:RtABC中,ACB=90,AC=BC.(1)如图1,点D是BC边上一点(不与点B,C重合),连接AD,过点B作BEAD,交AD的延长线于点E,连接CE.若BAD=,求DBE的大小(用含的式子表示);(2)如图2,点D在线段BC的延长线上时,连接AD,过点B作BEAD,垂足E在线段AD上,连接CE.依题意补全图2;用等式表示线段EA,EB和EC之间的数量关系,并证明.解析解析(1)依题意,CAB=45,BAD=,CAD=45-.ACB=90,BEAD,ADC=BDE,DBE=CAD=45-.(2分)(2)补全图形如图,(4分)当D
13、在BC边的延长线上时,EB-EA=EC.(5分)证明:过点C作CFCE,交AD的延长线于点F.2ACB=90,ACF=BCE.CA=CB,CAF=CBE,ACF BCE.(6分)AF=BE,CF=CE.ECF=90,EF=EC.即AF-EA=EC.EB-EA=EC.(7分)22212.(2019北京房山二模,27)如图,在ABC中,ACB=90,B=4BAC.延长BC到点D,使CD=CB,连接AD,过点D作DEAB于点E,交AC于点F.(1)依题意补全图形;(2)求证:B=2BAD;(3)用等式表示线段EA,EB和DB之间的数量关系,并证明.解析解析(1)补全图形如图.(2分)(2)证明:AC
14、B=90,CD=CB,AD=AB.BAD=2BAC.B=4BAC,B=2BAD.(4分)(3)EA=EB+DB.(5分)证明:在EA上截取EG=EB,连接DG.DEAB,DG=DB.DGB=B.B=2BAD,DGB=2BAD.DGB=BAD+ADG,BAD=ADG.GA=GD.GA=DB.EA=EG+AG=EB+DB.(7分)13.(2019北京燕山一模,27)如图,在ABC中,AB=BC,B=90,点D为线段BC上一个动点(不与点B,C重合),连接AD,将线段AD绕点D顺时针旋转90得到线段DE,连接EC.(1)依题意补全图1;求证:EDC=BAD;(2)小方通过观察、实验,提出猜想:在点D
15、运动的过程中,线段CE与BD的数量关系始终不变,用等式表示为 ;小方把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:想法1:过点E作EFBC,交BC的延长线于点F,只需证ADB DEF.想法2:在线段AB上取一点F,使得BF=BD,连接DF,只需证ADF DEC.想法3:延长AB到F,使得BF=BD,连接DF,CF,只需证四边形DFCE为平行四边形.请你参考上面的想法,帮助小方证明中的猜想.(一种方法即可)解析解析(1)补全的图形如图所示.(1分)证明:ADE=B=90,EDC+ADB=BAD+ADB=90,EDC=BAD.(3分)(2)CE=BD.(4分)想法1:证明:如图
16、,过点E作EFBC,交BC的延长线于点F,2F=90.在ADB和DEF中,B=F=90,EDC=BAD,AD=DE,ADB DEF,AB=DF,BD=EF.AB=BC,DF=BC,即DC+CF=BD+DC,CF=BD=EF,CEF是等腰直角三角形,CE=CF=BD.(7分)想法2:证明:在线段AB上取一点F,使得BF=BD,连接DF,B=90,AB=BC,DF=BD,AB=BC,BF=BD,222AB-BF=BC-BD,即AF=DC.在ADF和DEC中,AF=DC,FAD=CDE,AD=DE,ADF DEC,CE=DF=BD.(7分)想法3:证明:延长AB到F,使得BF=BD,连接DF,CF,
17、2ABD=90,DF=BD.在RtABD和RtCBF中,ABD=CBF=90,AB=BC,BD=BF,ABD CBF,AD=CF,BAD=BCF.AD=DE,DE=CF.EDC=BAD,EDC=BCF,DECF,四边形DFCE为平行四边形,CE=DF=BD.(7分)2214.(2019北京大兴一模,27)在RtABC中,ACB=90,CA=CB.点D为线段BC上一个动点(点D不与点B,C重合),连接AD,点E在射线AB上,连接DE,使得DE=DA.作点E关于直线BC的对称点F,连接BF,DF.(1)依题意补全图形;(2)求证:CAD=BDF;(3)用等式表示线段AB,BD,BF之间的数量关系,
18、并证明.解析解析(1)补全的图形如图所示.(1分)(2)证明:ACB=90,CA=CB,BAC=CBA=45,CAD+DAB=45,DA=DE,DAE=DEB.(2分)DBA是DBE的一个外角,EDB+DEB=DBA=45,EDB=CAD,点E关于直线BC的对称点为F,EDB=FDB,CAD=BDF.(3分)(3)线段AB,BD,BF之间的数量关系是AB-BF=BD,(4分)证明:过点D作AC的平行线交AB于点M,2C=MDB=90,CAB=DMB=45,DMB=DBM,DM=DB,MB=BD,2点E关于直线BC的对称点为F,DE=DF,AD=DE,AD=DF,ACMD,CAD=ADM,CAD
19、=FDB,ADM=FDB,ADM FDB.(6分)AM=BF,AB-BF=AB-AM=MB,又MB=BD,AB-BF=BD.(7分)2215.(2019北京怀柔一模,27)如图,等边ABC中,P是AB上一点,过点P作PDAC于点D,作PEBC于点E,M是AB的中点,连接ME,MD.(1)依题意补全图形;(2)用等式表示线段BE,AD与AB的数量关系,并加以证明;(3)求证:MD=ME.解析解析(1)补全图形如图:(1分)(2)线段BE,AD与AB的数量关系是AD+BE=AB.ABC是等边三角形,A=B=60.PDAC,PEBC,APD=BPE=30,AD=AP,BE=BP.AD+BE=(AP+
20、BP)=AB.(3分)1212121212(3)取BC中点F,连接MF.MF=AC,MFAC.MFB=ACB=60,A=MFE=60.AM=AB,AB=AC,MF=MA.(5分)EF+BE=BC,AD+BE=AB,EF=AD.MAD MFE(SAS),MD=ME.(7分)1212121216.(2019北京朝阳二模,27)已知MON=45,点P在射线OM上,点A,B在射线ON上(点B与点O在点A的两侧),且AB=1,以点P为旋转中心,将线段AB逆时针旋转90,得到线段CD(点C与点A对应,点D与点B对应).(1)如图,若OA=1,OP=,依题意补全图形;(2)若OP=,当线段AB在射线ON上运
21、动时,线段CD与射线OM有公共点,求OA的取值范围;(3)一条线段上所有的点都在一个圆的圆内或圆上,称这个圆为这条线段的覆盖圆.若OA=1,当点P在射线OM上运动时,以射线OM上一点Q为圆心作线段CD的覆盖圆,直接写出当线段CD的覆盖圆的直径取得最小值时OP和OQ的长度.22解析解析(1)补全图形,如图1所示.图1(2分)(2)如图2,作PEOM交ON于点E,作EFON交OM于点F.由题意可知,当线段AB在射线ON上从左向右平移时,线段CD在射线EF上从下向上平移,且OA=EC.(3分)如图1,当点D与点F重合时,OA取得最小值,为1.(4分)如图3,当点C与点F重合时,OA取得最大值,为2.
22、图2图3综上所述,OA的取值范围是1OA2.(5分)(3)OP=,OQ=.(7分)提示:当CD中点与Q重合时CD的覆盖圆的直径取得最小值,此时Q到ON的距离为1.5,所以OQ=,OP=.342322322342思路分析思路分析本题需要借助画图观察发现CD移动的规律.解题关键解题关键解决本题的关键是发现图形的旋转使得线段CD平移运动,其中(2)是上下平移运动,(3)是水平平移运动.17.(2019北京海淀二模,27)已知C为线段AB中点,ACM=.Q为线段BC上一动点(不与点B重合),点P在射线CM上,连接PA,PQ,记BQ=kCP.(1)若=60,k=1,如图1,当Q为BC中点时,求PAC的度
23、数;直接写出PA、PQ的数量关系;(2)如图2,当=45时.探究是否存在常数k,使得中的结论仍成立?若存在,写出k的值并证明;若不存在,请说明理由.图1图2解析解析(1)在CM上取点D,使得CD=CA,连接AD.ACM=60,ADC为等边三角形.DAC=60.C为AB的中点,Q为BC的中点,AC=BC=2BQ.BQ=CP,AC=BC=CD=2CP.AP平分DAC.PAC=PAD=30.PA=PQ.(2)存在k=,使得中的结论成立.证明:过点P作PC的垂线交AC于点D.ACM=45,2PDC=PCD=45.PC=PD,PDA=PCQ=135.CD=PC,BQ=PC,CD=BQ.AC=BC,AD=
24、CQ.PAD PQC.PA=PQ.2218.(2018北京东城一模,27)已知在ABC中,AD是BAC的平分线,且AD=AB,过点C作AD的垂线,交 AD的延长线于点H.(1)如图1,若BAC=60,直接写出B和ACB的度数;若AB=2,求AC和AH的长;(2)如图2,用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系,并证明.解析解析(1)B=75,ACB=45.作DEAC交AC于点E.RtADE中,由DAC=30,AD=AB=2可得DE=1,AE=.RtCDE中,由ACD=45,DE=1,可得EC=1.AC=+1.RtACH中,由DAC=30,可得AH=.(2)线段AH与AB+AC之间的数量关系
25、为2AH=AB+AC.33332证明:延长AB和CH,交于点F,取BF的中点G,连接GH.易证ACH AFH.AC=AF,HC=HF.GHBC.AB=AD,ABD=ADB,AGH=AHG,AG=AH.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.解题关键解题关键解决本题的关键是要通过构造三角形,借助中位线定理寻找边与边之间的数量关系.19.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的边长为2.将射线AB绕点A顺时针旋转,所得射线与线段BD交于点M,作CEAM于点E,点N与点M关于直线CE对称,连接CN.(1)如图1,当045时,依题意补全图形;用等式表示NCE与BA
26、M之间的数量关系:;(2)当4590时,探究NCE与BAM之间的数量关系,并加以证明;(3)当090时,若边AD的中点为F,直接写出线段EF的最大值.解析解析(1)补全的图形如图1所示.图1NCE=2BAM.(2)当4590时,NCE=180-2BAM.证明:如图2,连接CM,设射线AM与CD的交点为H.图2四边形ABCD为正方形,BAD=ADC=BCD=90,直线BD为正方形ABCD的对称轴,且点A与点C关于直线BD对称.射线AM与线段BD交于点M,BAM=BCM=,1=2=90-.CEAM,CEH=90,3+5=90.又1+4=90,4=5,1=3,3=2=90-.点N与点M关于直线CE对
27、称,NCE=MCE=2+3=180-2BAM.(3)+1.提示:CEA=90,点E在以AC为直径的圆上,线段EF的最大值为1+.2220.(2018北京海淀一模,27)如图,已知AOB=60,点P为射线OA上的一个动点,过点P作PEOB,交OB于点E,点D在AOB内,且满足DPA=OPE,DP+PE=6.(1)当DP=PE时,求DE的长;(2)在点P的运动过程中,请判断是否存在一个定点M,使得的值不变,并证明你的判断.DMME解析解析(1)作PFDE交DE于F.PEBO,AOB=60,OPE=30,DPA=OPE=30,EPD=120.DP=PE,DP+PE=6,PDE=30,DP=PE=3.
28、DF=PDcos 30=,DE=2DF=3.(2)存在.当点M在射线OA上且满足MO=2时,的值不变,始终为1.理由如下:当点P与点M不重合时,延长EP到K,使得PK=PD,连接MK.DPA=OPE,OPE=KPA,3 3233DMMEKPA=DPA.KPM=DPM.PK=PD,PM是公共边,KPM DPM.MK=MD.作MLOE于L,MNEK于N.MO=2,MOL=60,ML=MOsin 60=3,PEBO,MLOE,MNEK,四边形MNEL为矩形,EN=ML=3.EK=PE+PK=PE+PD=6,EN=NK.3MNEK,MK=ME.ME=MK=MD,即=1.当点P与点M重合时,OP=OM=
29、2,易求得PD=PE=3,=1.综上,存在定点M,点M在射线OA上且满足MO=2时,的值不变,始终为1.DMME3DMMEPDPE3DMME解题关键解题关键解决本题第二问的关键是要能够借助对称性和解直角三角形的相关知识发现线段之间的数量关系.21.(2018北京朝阳一模,27)如图,在菱形ABCD中,DAB=60,点E为AB边上的动点(与点A,B不重合),连接CE,将ACE的两边所在射线CE,CA以点C为中心顺时针旋转120,分别交射线AD于点F,G.(1)依题意补全图形;(2)若ACE=,求AFC 的大小(用含的式子表示);(3)用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系,并证明.解析解析
30、(1)补全的图形如图所示.(2)由题意可知,ECF=ACG=120.FCG=ACE=.四边形ABCD是菱形,DAB=60,DAC=BAC=30.AGC=30.AFC=+30.(3)线段AE、AF与CG之间的数量关系为AE+AF=CG.证明:作CHAG于点H.由(2)可知BAC=DAC=AGC=30,CA=CG.HG=AG.ACE=GCF,CAE=CGF,ACE GCF,AE=FG.在RtHCG中,HG=CGcosCGH=CG,AG=CG.即AF+AE=CG.3123233解题关键解题关键解决本题的关键是要根据120角构造含30角的直角三角形,进而通过全等三角形、解直角三角形相关知识来解决.22
31、.(2018北京通州一模,27)如图,直线l是线段MN的垂直平分线,交线段MN于点O,在MN下方的直线l上取一点P,连接PN,以线段PN为边,在PN的上方作正方形NPAB.射线MA交直线l于点C,连接BC.(1)设ONP=,求AMN的度数;(2)写出线段AM与BC之间的等量关系,并证明.解析解析(1)连接PM,如图1所示.l是线段MN的垂直平分线,PM=PN,ONP=OMP=.四边形APNB是正方形,图图1PA=PN,APN=90.PM=PA,AMP=MAP.APC+CPN=90,CPN+ONP=90,APC=ONP=.MPA=90-=90-2.AMP=PAM=(180-MPA)=45+.AM
32、N=AMP-PMN=45.(2)AM=BC.证明如下:作AEMN,交直线MN于点E,作AGl,交直线l于点G,连接EP,如图2所示.122图2在AGP与PON中,AGP PON(AAS),PO=AG.又易知AG=EO,GPAONPAGPPONPNAP EP=OE=AG=AC.又APG=BAG,45-APG=45-BAG,即EPA=CAB.在ACB与EPA中,ACB PEA(AAS),BC=AE.又AM=AE,AM=BC.22,EPCAEPACABAPBA 2223.(2018北京东城二模,27)如图所示,点P位于等边ABC的内部,且ACP=CBP.(1)BPC的度数为 ;(2)延长BP至点D,
33、使得PD=PC,连接AD,CD,依题意补全图形;证明:AD+CD=BD;(3)在(2)的条件下,若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.解析解析(1)120.(2)如图1所示.在等边ABC中,ACB=60,ACP+BCP=60.ACP=CBP,CBP+BCP=60,BPC=180-(CBP+BCP)=120,图1CPD=180-BPC=60,PD=PC,CPD为等边三角形.ACD+ACP=ACP+BCP=60,ACD=BCP.在ACD和BCP中,ACD BCP(SAS).AD=BP,AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图2,作BMAD于点M,BNDC延长线于点N.,ACBCACDBPCCDC
34、P 图2ADB=ADC-PDC=60,ADB=CDB=60,BM=BN=BD=.又由(2)得,AD+CD=BD=2,S四边形ABCD=SABD+SBCD=ADBM+CDBN=(AD+CD)=2=.32312123232324.(2018北京海淀二模,27)如图,在等边ABC中,D,E分别是边AC,BC上的点,且CD=CE,DBC30,点C与点F关于直线BD对称,连接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G.(1)DE,DF之间的数量关系是 ;(2)若DBC=,求FEC的大小;(用含的式子表示)(3)用等式表示线段BG,GF和FA之间的数量关系,并证明.解析解析(1)DE=DF.(2)ABC是等边
35、三角形,C=60.DBC=,BDC=120-.点C与点F关于直线BD对称,BDF=BDC=120-,DF=DC.FDC=120+2.由(1)知DE=DF,F,E,C在以D为圆心,DC为半径的圆上.FEC=FDC=60+.(3)BG=GF+FA.12证明:连接BF,延长AF,BD,交于点H,ABC是等边三角形,ABC=BAC=60,AB=BC=CA.点C与点F关于直线BD对称,BF=BC,FBD=CBD.BF=BA,BAF=BFA.设CBD=,则ABF=60-2,BAF=60+,FAD=,FAD=DBC.由(2)知FEC=60+.BGE=FEC-DBC=60.FGB=120,FGD=60.四边形
36、AFGB中,AFE=360-FAB-ABG-FGB=120,HFG=60,FGH是等边三角形,FH=FG,H=60.CD=CE,DA=EB.在AHD与BGE中,AHD BGE.BG=AH.AH=HF+FA=GF+FA,BG=GF+FA.,AHDBGEHADGBEADBE 25.(2018北京西城二模,27)如图,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺时针旋转,使得点A对应的点E落在射线BC上,连接BQ,设DAQ=(060且30).(1)当030时,在图中依题意画出图形,并求BQE(用含的式子表示);探究线段CE,AC,CQ之间的数量关系,并加以证明;(2)当
37、3060时,直接写出线段CE,AC,CQ之间的数量关系.解析解析(1)画出的图形如图1所示.图1ABC为等边三角形,ABC=60.CD为等边三角形的中线,Q为线段CD上的点,由等边三角形的对称性得QA=QB.DAQ=,ABQ=DAQ=,QBE=60-.线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,QE=QA,QB=QE,可得BQE=180-2QBE=180-2(60-)=60+2.CE+AC=CQ.证明:如图2,延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QHAC于点H.图23BQE=60+2,点E在BC上,QEC=BQE+QBE=(60+2)+(60-)=120+.点F在CA的延长线上,DAQ=,
38、QAF=BAF+DAQ=120+.QAF=QEC.又AF=EC,QA=QE,QAF QEC,QF=QC.QHAC于点H,FH=CH,CF=2CH.在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在CD上,ACQ=ACB=30,12即QCF为底角为30的等腰三角形.CH=CQcosHCQ=CQcos 30=CQ.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=CQ,即CE+AC=CQ.(2)当300),ACABCMBDAB CMBD12kAHHC2142k AB=AD=2ka,AP=a,由题易知ABPCBA,=,AC=2ka.AB=AD,BAP=BAD.BAE=DAC,BAE+EAD=DAC+EAD,BAD=EAC
39、,22ABBP241k APACBPBA2aka12k241k 12AF平分EAC,FAC=EAC,FAC=BAD=BAP.BGAF,BGA=90,ABG+BAG=FAC+BAG=90,ABG=FAC=BAP,又APB=BAH=90,ABPBHA,=,AH=,=.1212BPAHAPAB2412kaka2412kk2241kak AHHCAHACAH2142k 4.(2019贵州贵阳,25,12分)(1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,求AB,BE,AF之间的数量关系;(2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过
40、点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB=BE+AF,求ADB的度数;(3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系.解析解析(1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点,AF=FC=CE=EB=DE=FD,在RtAFD和RtBED中,AD=AF,BD=BE,AB=AD+BD=(AF+BE).(2)四边形DECF是正方形,DF=DE,将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图,AD=AD,AF=AE,且ADA=90.AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB.在ABD和ABD中,222,A
41、DA DABA BBDBDABD ABD,ADB=ADB,ADB=135.(3)由(2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线,MAD=FAD,NBD=EBD,由题意得EMCA,FNCB,MDA=FAD,NDB=EBD,MDA=MAD,NDB=NBD,3602ADA360902AM=MD,ND=BN.在RtMDN中,MN2=MD2+ND2,MN2=AM2+BN2.思路分析思路分析(1)根据题意得出ADF和BDE均为等腰直角三角形,AD=AF,BD=BE,进而得出结果;(2)将ADF绕点D逆时针旋转90,旋转到ADE的位置,进一步证明ABD与ABD全等,得出ADB=ADB,进而求出ADB的度
42、数;(3)由(2)问易得AD平分BAC,BD平分ABC,结合EMAC,FNBC,得出AM=DM,DN=BN,最后根据勾股定理得出结论.22难点突破难点突破对于(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰BDN,把所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解.5.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=.点P为AB延长线上一点,过点A作O切CP于点P,设BP=x.(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求C
43、AP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小;(3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围.图143PQ图2解析解析(1)O切CP于点P,OPPC,即CPB=90.由四边形ABCD是平行四边形得ADBC,tanCBP=tanDAB=,设PC=4k,BP=3k,则BC=5k,5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9.(2分)PE与BC垂直.(3分)(2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H,同(1)得CK=12,BK=9.AK=AB+BK=12,CK=AK.4322PCBPCAP=ACK=45.(4分)BP=4,AP=7,HP=AP=.又PK=BK-
44、BP=5,PC=13.HOP=90-OPH=CPK,RtHOPRtKPC.=,即=,OP=.(6分)POQ=2PAQ=90,l=.(8分)1272OPPCPHCK13OP72129124PQ9148l.(9分)(3)x18.(10分)详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图,当O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA,DAP=CBP=CPA,9148PQBC=PC.作CKAP于K,则BK=PK.由(1)知,BP=2BK=18,即x=18.当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范
45、围是x18.难点突破难点突破本题是以圆心O在AP的上下方不断变化为背景的探究题,此类问题在图形发生变化时,要善于从动态位置中寻找与x相关的等量关系.利用切线的性质求出x的值是解决问题的关键.思路分析思路分析(1)根据切线的性质有OPPC,由ADBC可得tanCBP=tanDAB=,设PC=4k,BP=3k,根据勾股定理可得BC=5k=15,解得k=3,即可求出x的值,根据圆的直径所对的圆周角AEP为直角及ADBC可得PE与BC垂直;(2)同(1)的方法可得CK=12,BK=9,进而得出CK=AK,CAP=45,POQ=90,根据切线的性质有OPPC,易得RtHOPRtKPC,可得=,进而求得O
46、P的长,利用弧长公式求出劣弧的长度与弦AP的长度比较即可;(3)由上面两问可知满足此问的点O在AP的下方,显然当O与AD相切于点A时,两者只有一个公共点A,此时DAP=CBP=CPA,BP=2BK=18,从而推出x的取值范围为x18.43OPPCPHCKPQ6.(2019河南,22,10分)在ABC中,CA=CB,ACB=.点P是平面内不与点A、C重合的任意一点,连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP,连接AD,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当=60时,的值是 ,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 .(2)类比探究如图2,当=90时,请写出的值及直线BD与直线CP相交所成
47、的较小角的度数,并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当=90时,若点E、F分别是CA、CB的中点,点P在直线EF上,请直接写出点C,P,D在同一直线上时的值.BDCPBDCPADCP解析解析(1)1;60.(注:若填为60,不扣分)(2分)如图,延长CP交BD的延长线于E,设AB交EC于点O.由题意得PAD=CAB=60,CAP=BAD,CA=BA,PA=DA,CAP BAD(SAS),PC=BD,ACP=ABD,AOC=BOE,BEO=CAO=60,=1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60.(2),直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数为45.(注:若没写出,但后续证明正确,
48、不扣分)(4分)理由如下:ACB=90,CA=CB,CAB=45,=.同理可得:PAD=45,=.=,CAB=PAD.CAB+DAC=PAD+DAC,即DAB=PAC.DABPAC.(6分)=,DBA=PCA.BDPC2ABAC2ADAP2ABACADAPBDCPABAC2设BD交CP于点G,BD交CA于点H.BHA=CHG,CGH=BAH=45.(8分)(3)的值为2+或2-.(10分)提示:分两种情况.如图,可设CP=a,则BD=a.设CD与AB交于点Q,则PQ=CP=a.可证DQB=DBQ=67.5,则DQ=BD=a,易得AD=PD=2a+a,所以=2+.ADCP222:22,21注 若
49、把写为不扣分2222ADCP2如图,可设AP=DP=b,则AD=b.由EFAB,得PEA=CAB=45,可证ECD=EAD=22.5,CD=AD=b,CP=b+b,所以=2-.图222ADCP2图思路分析思路分析(1)当=60时,可得ABC、APD为等边三角形,由旋转证得APC ADB,可得结论;(2)当=90时,在RtPAD,RtCAB中,=,DAB=PAC,可证DABPAC,可得结论;(3)以AC为直径作圆交直线EF于点P,则点P即为所求作的点,分情况画出图形,可求出答案.ADAPABAC27.(2019江西,22,9分)在图1,2,3中,已知 ABCD,ABC=120,点E为线段BC上的
50、动点,连接AE,以AE为边向上作菱形AEFG,且EAG=120.(1)如图1,当点E与点B重合时,CEF=;(2)如图2,连接AF,填空:FAD EAB(填“”“AB时,过点F作FNBC于点N,FMBA,交BA的延长线于点M.图1在四边形FMBN中,FMB=FNB=90,B=120,MFN=60.又四边形AEFG是菱形,EAG=120,AF平分EAG,AE=EF.FAE=60,AEF是等边三角形.AFE=60.MFN-AFN=AFE-AFN.即MFA=NFE.在FMA和FNE中,FMA FNE.FM=FN.点F在ABC的平分线上.如图2,当BE=AB时,ABC=120,EAB=AEB=30.四
