1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12 1 坐标系 基础送分 提速狂刷练 1 (2018 延庆县期末 )在极坐标方程中，与圆 4sin 相切的一条直线的方程是( ) A sin 2 B cos 2 C cos 4 D cos 4 答案 B 解析 4sin 的普通方程为 x2 (y 2)2 4， 选项 B： cos 2 的普通方程为 x 2. 圆 x2 (y 2)2 4 与直线 x 2 显然相切故选 B. 2 (2017 渭滨区月考 )在极坐标系中， A? ?5， 2 ， B? ? 8， 116 ， C? ?3， 76 ，则 ABC的形状为 ( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D钝
2、角三角形 答案 C 解析 B? ?8， 56 ， OA 5， OB 8， OC 3， AOB 56 2 3 ， BOC 76 56 3 ， AOC 76 2 23 ， 在 AOB 中，由余弦定理可得 AB 25 64 258 12 7， 同理可得， BC 64 9 283 12 7， =【 ;精品教育资源文库 】 = AC 25 9 253 ? ? 12 7， AB BC AC， ABC 是等边三角形故选 C. 3牛顿在 1736 年出版的流数术和无穷级数中，第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点，牛顿在书中验证了极坐标和其他九种坐标系的转换关系在极坐标系下，已知圆 O： cos sin
3、和直线 l： sin? ? 4 22 . (1)求 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 (0， ) 时，求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标 解 (1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin ， 故圆 O 的直角坐标方程为 x2 y2 x y 0， 直线 l： sin? ? 4 22 ，即 sin cos 1， 则直线 l 的直角坐标方程为 x y 1 0. (2)由 (1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程， 将两方程联立得? x2 y2 x y 0，x y 1 0， 解得 ? x 0，y 1， 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为 (0,1)， 将 (0,
4、1)转化为极坐标为 ? ?1， 2 . 4 (2018 郑州模拟 )在极坐标系中，曲线 C1， C2 的极坐标方程分别为 2cos ， cos? ? 3 1. (1)求曲线 C1和 C2的公共点的个数； (2)过极点作动直线与曲线 C2相交于 点 Q，在 OQ 上取一点 P，使 |OP| OQ| 2，求点 P的轨迹，并指出轨迹是什么图形 解 (1)C1的直角坐标方程为 (x 1)2 y2 1，它表示圆心为 ( 1,0)，半径为 1 的圆， C2的直角坐标方程为 x 3y 2 0，所以曲线 C2为直线，由于圆心到直线的距离为 d 321，所以直线与圆相离，即曲线 C1和 C2没有公共点 (2)设
5、 Q( 0， 0)， P( ， )，则? 0 2， 0， 即 ? 0 2 ， 0 . 因为点 Q( 0， 0)在曲线 C2上， 所以 0cos? ? 03 1， 将 代入 ，得 2 cos? ? 3 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 2cos? ? 3 为点 P 的轨迹方程，化为直角坐标方 程为 ? ?x 12 2 ? ?y 32 2 1，因此点 P 的轨迹是以 ? ?12， 32 为圆心， 1 为半径的圆 5 (2017 湖北模拟 )在极坐标系中，曲线 C： 2acos (a0)， l： cos? ? 3 32， C 与 l 有且仅有一个公共点 (1)求 a； (2)O 为极点，
6、A， B 为曲线 C 上的两点，且 AOB 3 ，求 |OA| |OB|的最大值 解 (1)曲线 C： 2acos (a0)，变形 2 2a cos ， 化为 x2 y2 2ax，即 (x a)2 y2 a2. 曲线 C 是以 (a,0)为圆心， a 为半径的圆 由 l： cos? ? 3 32，展开为 12 cos 32 sin 32， l 的直角坐标方程为 x 3y 3 0. 由题可知直线 l 与圆 C 相切，即 |a 3|2 a，解得 a 1. (2)不妨设 A 的极角为 ， B 的极角为 3 ， 则 |OA| |OB| 2cos 2cos? ? 3 3cos 3sin 2 3cos?
7、? 6 ， 当 6 时， |OA| |OB|取得最大值 2 3. 6 (2018 沈阳模拟 )在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系已知圆 C 的极坐标方程为 2 4 2 cos? ? 4 6 0. (1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点 P(x， y)在圆 C 上， 求 x y 的最大值和最小值 解 (1)由 2 4 2 cos? ? 4 6 0，得 2 4 2 ? ?cos cos 4 sin sin 4 6 0， 即 2 4 2 ? ?22 cos 22 sin 6 0， 2 4 cos 4 sin 6 0， 即 x2 y2 4x 4y 6 0 为所求圆的普通方程， 整理为圆的标准方程 (x 2)2 (y 2)2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 令 x 2 2cos ， y 2 2sin . 得圆的参数方程为 ? x 2 2cos ，y 2 2sin( 为参数 ) (2)由 (1)得， x y 4 2(cos sin ) 4 2sin? ? 4 ， 当 sin? ? 4 1 时， x y 的最大值为 6， 当 sin? ? 4 1 时， x y 的最小值为 2. 故 x y 的最大值和最小值分别是 6 和 2.
