1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 11.5 数学归纳法 知识梳理 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 1 (归纳奠基 )证明当 n 取第一个值 n0(n0 N*)时命题成立； 2 (归纳递推 )假设 n k(k n0， k N*)时命题成立，证明当 n k 1 时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立，上述证明方法叫做数学归纳法 诊断自测 1概念思辨 (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当 n 1 时结论成立 ( ) (2)不论是等式还是不等式，用 数学归纳法证明时，由 n k 到 n k 1 时，
2、项数都增加了一项 ( ) (3)用数学归纳法证明等式： 1 2 3 ? n2 n4 n22 (n N*)时，从 n k 到 n k 1左边应添加的项为 (k 1)2.( ) (4)用数学归纳法证明等式 “1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1” ，验证 n 1 时，左边式子应为 1 2 22 23.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2教材衍化 (1)(选修 A2 2P99B 组 T1)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 12n(n 3)条时，第一步检验 n 等于 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验 n 3.故
3、选 C. (2)(选修 A2 2P96T1)用数学归纳法证明不等式 1 12 14 ? 12n 112764(n N*)成立时，其初始值至少应取 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 7 B 8 C 9 D 10 答案 B 解析 左边 1 12 14 ? 12n 11 12n1 12 2 12n 1，代入验证可知 n 的最小值是 8.故选B. 3小题热身 (1)已知 f(n) 1n 1n 1 1n 2 ? 1n2，则 ( ) A f(n)中共有 n 项，当 n 2 时， f(2) 12 13 B f(n)中共有 n 1 项，当 n 2 时， f(2) 12 13 14 C f(n)中共
4、有 n2 n 项，当 n 2 时， f(2) 12 13 D f(n)中共有 n2 n 1 项，当 n 2 时， f(2) 12 13 14 答案 D 解析 分母为首项为 n，公差为 1 的等差数列，故 f(n)共有 n2 n 1 项，当 n 2 时，1n12，1n214，故 f(2)121314.故选 D. (2)用数学归纳法证明 “ 当 n 为正奇数时， xn yn能被 x y 整除 ” ，当第二步假设 n2k 1(k N*)命题为真时，进而需证 n _时，命题亦真 答案 2k 1 解析 由于步长为 2，所以 2k 1 后一个奇数应为 2k 1. 题型 1 用数学归纳法证明恒等式 典例 求
5、证： 1 12 13 14 ? 12n 1 12n 1n 1 1n 2 ? 12n(n N*) 证明 (1)当 n 1 时，左边 1 12 12，右边 11 1 12.左边右边 (2)假设 n k 时等号成立，即 1 12 13 14 ? 12k 1 12k 1k 1 1k 2 ? 12k， 则当 n k 1 时， 1 12 13 14 ? 12k 1 12k ? ?12k 1 12k 2 1k 1 1k 2 ? 12k =【 ;精品教育资源文库 】 = ?12k 112k 2 1k 2 1k 3 ? 12k 1 12k 2. 即当 n k 1 时，等式也成立 综合 (1)(2)可知，对一切
6、n N*，等式成立 方法技巧 数学归纳法证明等式的思路和注意点 1思路：用数学归纳法证明等式问题，要 “ 先看项 ” ，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值 n0是多少 2注意点：由 n k 时等式成立，推出 n k 1 时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异 )，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合 理变形，正确写出证明过程 提醒：归纳假设就是证明 n k 1 时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法 冲关针对训练 用数学归纳法证明： 124 146 168 ? 12n?2n 2? n4?n 1?(其中 n N*) 证明 (1)当 n 1 时，等式左边 124
7、18， 等式右边 14?1 1? 18， 等式成立 (2)假设 n k(k1 ， k N*)时等式成立 即 124 146 ? 12k?2k 2? k4?k 1?成立，那么当 n k 1 时， 124 146 168 ? 12k?2k 2? 12?k 1?2?k 1? 2 k4?k 1? 14?k 1?k 2? k?k 2? 14?k 1?k 2? ?k 1?24?k 1?k 2? k 14?k 1? 1， 即 n k 1 时等式成立 由 (1)(2)可知，对任意 n N*等式均成立 题型 2 用数学归纳法证明不等式 典例 已知数列 an，当 n2 时， ana2. (2)假设当 n k(k
8、N*)时， ak 10. 又 ak 2 ak 1 11124(n N*)的过程中，由 n k 递推到 n k 1 时，下列说法正确的是 ( ) A增加了一项 12?k 1? B增加了两项 12k 1和 12?k 1? C增加了 B 中两项，但又少了一项 1k 1 D增加了 A 中一项，但又少了一项 1k 1 答 案 C 解析 当 n k 时，左端 1k 1 1k 2 ? 12k， =【 ;精品教育资源文库 】 = 那么当 n k 1 时，左端 1k 2 ? 12k 12k 1 12?k 1?， 故第二步由 k 到 k 1 时不等式左端的变化是增加了两项，同时减少了 1k 1这一项故选 C. 2
9、 (2017 珠海期末 )庄子 天下篇中记述了一个著名命题： “ 一尺之锤，日取其半，万世不竭 ” ，反映这个命题本质的式子 是 ( ) A 1 12 122 ? 12n 2 12n B.12 122 ? 12n1 答案 B 解析 根据已知可得每次截取的长度构造一个以 12为首项，以 12为公比的等比数列， 12 122 ? 12n 1 12na(n N*)恒成立，则a 的取值范围为 _ 答案 ? ? ， 12 解析 设 f(n) 1n 1 1n 2 1n 3 ? 12n， 则 f(n 1) 1n 2 1n 3 ? 12n 12n 1 12?n 1?， 则 f(n 1) f(n) 12n 1
10、12?n 1? 1n 1 12n 1 12n 20， 数列 f(n)是关于 n(n N*)的递增数列， f(n) f(1) 12， 不等式 1n 1 1n 2 1n 3 ? 12na(n N*)恒成立， an2(n5 ， n N*)，第一步应验证 ( ) A n 4 B n 5 C n 6 D n 7 答案 B 解析 根据数学归纳法的步骤，首先要验证 n 取第一个值时命题成立，又 n5 ，故第一步验证 n 5.故选 B. 2用数学归纳法证明 12 22 ? (n 1)2 n2 (n 1)2 ? 22 12 n?2n2 1?3 时，由n k 的假设到证明 n k 1 时，等式左边应添加的式子是
11、( ) A (k 1)2 2k2 B (k 1)2 k2 C (k 1)2 D.13(k 1)2(k 1)2 1 答案 B 解析 由 n k 到 n k 1 时，左边增加 (k 1)2 k2.故选 B. 3 (2018 沈阳调研 )用数学归纳法证明 “ n3 (n 1)3 (n 2)3(n N*)能被 9 整除 ” ，利用归纳法假设证明 n k 1 时，只需展开 ( ) A (k 3)3 B (k 2)3 C (k 1)3 D (k 1)3 (k 2)3 答案 A 解析 假设 n k 时，原式 k3 (k 1)3 (k 2)3能被 9 整除，当 n k 1 时， (k 1)3 (k 2)3 (
12、k 3)3 为了能用上面的归纳假设，只须将 (k 3)3 展开，让其出现 k3 即可故选 A. 4已知 f(n) (2n 7)3 n 9，存在自然数 m，使得对任意 n N*，都能使 m 整除 f(n)，=【 ;精品教育资源文库 】 = 则最大的 m 的值为 ( ) A 30 B 26 C 36 D 6 答案 C 解析 f(1) 36， f(2) 108 336 ， f(3) 360 1036 ， f(1)， f(2)， f(3)都能被 36 整除，猜想 f(n)能被 36 整除证明如下：当 n 1,2 时，由以上得证假设当 nk(k2) 时， f(k) (2k 7)3 k 9 能 被 36
13、整除，则当 n k 1 时， f(k 1) f(k) (2k 9)3 k 1 (2k 7)3 k (6k 27)3 k (2k 7)3 k (4k 20)3 k 36(k 5)3 k2(k2) ， f(k 1)能被 36 整除 f(1)不能被大于 36 的数整除， 所求最大的 m 的值为36. 5 (2017 泉州模拟 )用数学归纳法证明 n (n 1) (n 2) ? (3n 2) (2n1)2(n N*)时，若记 f(n) n (n 1) (n 2) ? (3n 2)，则 f(k 1) f(k)等于 ( ) A 3k 1 B 3k 1 C 8k D 9k 答案 C 解析 因为 f(k) k
14、 (k 1) (k 2) ? (3k 2)， f(k 1) (k 1) (k 2) ? (3k 2) (3k 1) (3k) (3k 1)，则 f(k 1) f(k) 3k 1 3k 3k 1 k 8k.故选 C. 6 (2018 太原质检 )平面内有 n 条直线，最多可将平面分成 f(n)个区域，则 f(n)的表达式为 ( ) A n 1 B 2n C.n2 n 22 D n2 n 1 答案 C 解析 1 条直线将平 面分成 1 1 个区域； 2 条直线最多可将平面分成 1 (1 2) 4 个区域； 3 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3) 7 个区域； ? ； n 条直线最多可将平面
15、分成 1 (1 2 3 ? n) 1 n?n 1?2 n2 n 22 个区域故选 C. 7古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10，第 n个三角形数为 n?n 1?2 12n2 12n.记第 n 个 k 边形数为 N(n， k)(k3) ，以下列 出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 三角形数 N(n,3) 12n2 12n； 正方形数 N(n,4) n2； 五边形数 N(n,5) 32n2 12n； 六边形数 N(n,6) 2n2 n. 可以推测 N(n， k)的表达式，由此计算 N(10,24) ( ) A 500 B 1000 C 1500 D 2000 答案 B =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由已知得， N(n,3) 12n2 12n 3 22 n2 4 32 n， N(n,4) n2 4 22 n2 4 42 n， N(n,5) 32n2 12n
