1、新人教版七年级数学新人教版七年级数学 4.1多姿多彩的图形多姿多彩的图形一、多姿多彩的图形一、多姿多彩的图形 用形状、大小完全相同的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的成一片，就是平面图形的镶嵌镶嵌。天鹅的规则平面镶嵌 马的规则平面镶嵌 1、正三角形能否镶嵌？606060606060606060606060606060606060原因：每一个角60,60 6=360二、同一种正多边形镶嵌情况二、同一种正多边形镶嵌情况任意三角形能否镶嵌？情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌AB
2、CABCABCABCABCABCABC909090902.四边形能够镶嵌吗？90o原因：每一个角90,90 4=360任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？ABCDABCDABCDABCDABCD3.正六边形能否镶嵌？120120120120 120 120 120 120 120 原因：每一个角120,120 3=360正多边形镶嵌成一个平面的条件：正多边形镶嵌成一个平面的条件：一个顶点处的各角之和为一个顶点处的各角之和为360360度度.原因：每一个角108108 108 四个时108 4 3604、为什么正五边形不能镶嵌？三个时108 3 360若四个正五边形会重叠-不可以镶嵌.若三个正
3、五边形有缝隙-不可以镶嵌正三角形可以镶嵌正三角形可以镶嵌正方形可以镶嵌正方形可以镶嵌正六边形可以镶嵌正六边形可以镶嵌正五边形不可以镶嵌正五边形不可以镶嵌k n=360o设在一个点周围有 k 个正n 边形的角恰好覆盖平面则有:5、用同一种正多边形镶嵌有几种情况？k(n-2)2n(n-2)180o=k=(n-2)2n(n-2)4=2+(n-2)=2n-4+4 k、n 为正整数 n-2=1或2或4n=3或4或6由n=3或4或6这就得到：用同一种边长相等的正多边形镶嵌只有正三边形、正四边形、正六边形三种情况.1.两个正方形和三个正三角形镶嵌9090o o 2 2 +6060o o 3 3=36060三
4、、两种正多边形镶嵌情况三、两种正多边形镶嵌情况2.2个正三角形和2个正六边形镶嵌60 o2+120 o2=360120120120120606060603、4个正三角形和1个正六边形镶嵌60o 4 +120o 1=360120606060604、1个正三边形和二个正十二边形60o 1+150o 2=360（正十二边形每一个角150o）5、1个正方形形和2个正八边形镶嵌90o 1 +135o 2=3606.两个正五边形和一个正十边形108o 2+144o 1=360只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。7.两种正多边形进行镶嵌有多少种情况？(1)1个正三角形，2个正12边形；(2)2个正三角形
5、，2个正6边形；(3)3个正三角形，2个正4边形；(4)4个正三角形，1个正6边形；(5)1个正四边形，2个正8边形；(6)2个正五边形，1个正10边形.(1)1个正三角形、2个正方形和1个正六边形镶嵌四、四、三种正多边形镶嵌情况三种正多边形镶嵌情况(2)2个正三角形，1个正4边形，1个正12边形镶嵌6060o o 2 2+9090o o 1 1+150o o 1 1 =36060正24边形正8边形165o60o135o(3)1个正三角形，1个正8边形，1个正24边形镶嵌60o 1 +135o 1+165o 1=360160o60o140o(4)1个正三角形，1个正9边形，1个正18边形镶嵌6
6、0o 1 +140o 1+160o 1=360156o60o144o(5)1个正三角形，1个正10边形，1个正15边形镶嵌60o 1 +144o 1+156o 1=360162o90o108o(6)1个正四边形，1个正5边形，1个正20边形镶嵌90o 1 +108o 1+162o 1=360150o90o120o7、1个正四边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌150o 1 +90o 1+120o 1=3601个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果60o+5/7 180o+40/42 180o=360(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌只能在一个点镶嵌，而不能在整
7、个平面镶嵌。1717种可能镶嵌的正多边形如下：种可能镶嵌的正多边形如下：正多形正多形1正多形正多形2正多形正多形1正多形正多形2正多形正多形31 3,3,3,3,3,310 34,462 4,4,4,411 3,34123 6,6,612 37424 3,3,34,413 38245 3,3,3,3614 39186 3,36,615 310157 312,1216 45208 48,817 46129 5,5101、同一种正多边形镶嵌三种情况：3、3、3、3、3、3；4、4、4、4；6、6、6.2、两种正多边形镶嵌情况分析：.1个正三角形 60O+2150O=360O.2个正三角形 120O
8、+2120O=360O.3个正三角形 180O+290O=360O .4个正三角形 240O+1120O=360O.1个正方形 90O+2135O=360O .2个正五多边形 2108O+144O=360O 五、五、正多边形镶嵌情况分析正多边形镶嵌情况分析1312,122 3,36,633,3,34,443,3,3,36548,865,510两种正多边形镶嵌情况 （1）.假如三种正多边形中包含两个正3边形（三个是不可能的，因为三个正三边形角和是180o，其它正多边形的两个角是不可能为180o 那么：另外两个正多边形的两个内角和就是240o,这样的两个角只能是90o、150o了，就是正4边形正1
9、2边形。即3、3、4、12组合 （2）.假如三种正多边形中包含两个正4边形同样可以得到3、4、4、6组合3、三种正多边形镶嵌情况分析：（3）.假如三种正多边形中只有一个正3边形，另外两种正多边形的边数为n1，n2，(不妨设n1 n2）且每一个顶点处，一种正多边形只有一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有=360on1(n1-2)180on2(n2-2)180o3(3-2)180o=n11n2161=n2-6n1636显然：n2-6=36、18、12、9、4、3、2、1n2=42、24、18、15、10、9、8、7所以 n1=7、8、9、10、15、18、24、42得到组合:3、10、15；3、9
10、、18；(n1 n2）3、8、24；3、7、42。（4）.假如三种正多边形中最小的是一个正方形（两个是不可能的，因为两个正方形角和是180o，其它正多边形的两个角和大于180o）另外两种正多边形的边数为n1，n2，(不妨设n1 n2）且每一个顶点处，一种正多边形只有一个，那么根据平面镶嵌的条件，必须有=360on1(n1-2)180on2(n2-2)180o4(4-2)180o=n11n2141=n1-4n2416显然：n1-4=16、8、4、2、1n1=20、12、8、6、5所以 n2=5、6、8、12、20得到组合4、6、12和4、5、20=n11n21103这个方程没有正整数解（这里不再说明）（6）.n1 6时 三个角的和会大于360o因此，用三种正多边形镶嵌只有下面8种情况 （5）.假如三种正多边形中最小的是一个正五边形，同样可以得到:三种正多边形进行镶嵌情况？134,4623,34123374243824539186310157452084612
