1、20202020 年长春市中考综合学习评价与检测数学试卷（一）年长春市中考综合学习评价与检测数学试卷（一）（解析版）（解析版） 一、一、选择题选择题（本（本大题共大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，共分，共 2424 分）分） 1.下列整数中，与37.4最接近的整数是 （A）5. (B)6. （C）7. （D）8. 【答案】B. 【解析】366，497，3637.449， 637.47，但37.4更接近 6.选 B. 【结语】考查无理数与有理数的比较大小，进而考查无理数的整数部分和小数部分. 2.剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形
2、的是 (A) (B) (C) （D） 【答案】D. 【解析】考查轴对称图形和中心对称图形的定义.如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这 个图形就是轴对称图形。 把一个图形绕着某一点旋转 180，如果它能与自身重合，那么就说这个图形是中心对称图形，这个点叫做对称 中心，这个图形的对应点叫做关于中心的对称点。满足定义的图形只有 D.选 D. 3. 4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地 球卫星“东方红一号“成功 发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点 439 000 米.将 439 000 用科学记数法表 示应为
3、 （A） 6 0.439 10. （B） 6 4.39 10. (C) 5 4.39 10. (D) 3 439 10. 【答案】C. 【解析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n为整数确定 n的值时，要看把原数变 成 a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10时，n是正数；当 原数的绝对值1时，n 是负数439000= 5 4.39 10， 选 C. 3. 4 月 24 日是中国航天日，1970 年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地 球卫星“东方红一号“成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道, 距地球最近点 43
4、9 000 米.将 439 000 用科学记数法表示应为 （A）0. 439X106. （B）4. 39X106.(04. 39X105. 4. 一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的解集是 (A) -2x1. (B) -2x1. (C) -2x1. （D）-2x1. 【答案】B. 【解析】通过数轴上表示的解集的公共部分，注意空心圈和实心点的区别.不等式组的解集为-2x1.在数轴上 表示不等式组的解集为 B. 选 B 【结语】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，加强数形结合思想和方法的考查，关键是能正确在数轴上 看出不等式组的解集，确定时注意空心圈和实心点的区
5、别. 5.如图，在ABC 中，点 D 在边 BA 的延长线上，ABC 的平分线和DAC 的平分线相交于点 M.若BAC=80， C=60，则M 的大小为 （A）20. (B) 25. (C)30. (D) 35. 【答案】C. 【解析】BAC=80，C=60，ABC=40，DAC=100. 又 BM 平分ABC，AM 平分DAC， ABM=20， CAM=50.M=180-20-130=30.选 C. 【结语】考查三角形内角和 180及其推论（外角），角的平分线定义，做求角度的计算. 6.下列运算一定正确的是 (A) 2 222aaa. (B) 2 a 36 aa. (C) 2 36 (2)6
6、aa. (D) 22 ()()ab abab . 【答案】D. 【解析】考查整式的加减乘除运算及其公式的用法. (A)224aaa，属合并同类项的知识. A 错； (B) 2 a 35 aa，属同底数幂相乘，底数不变，指数相加. B 错； (C) 2 36 (2)8aa，属积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.C 错； (D) 22 ()()ab abab，考查乘法公式中的平方差公式 .选 D. 7. 如图，有一热气球到达 A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部 B 的仰角是，与楼 的水平距离 AC 为 12 米. 为了安全飞越高楼，气球应至少再上升的高度为 (A)12 tan
7、米. (B) 12 tan 米. (C) 12 sin米. (D) 12 sin 米. 【答案】A. 【解析】在 RtABC 中，ACB=90，BAC=，AC=12 米.tan BC AC ，tan 12 BC ，12 tanBC. 选 A. 【结语】一是锐角三角函数要在直角三角形中计算；二是考查锐角三角函数的正弦、余弦和正切的定义是解决 问题的关键. 8.如图，一块含有 30角的直角三角板的直角顶点与坐标原点 0 重合，30的顶点 A 在反比例函数 k y x 的图象 上，顶点 B 在反比例函数 3 y x 的图象上，则k的值为 (A)- 6. (B)6. (C)-9. (D)9. 【答案】
8、C. 【解析】作 BCx轴于点 C ，作 ADx轴于点 D. ADO=BCO=90. A=30，AOB=90.OB:OA=1: 3，AOD=OBC，AODOBC.:3:1 AODOBC SS . 又顶点 B 在反比例函数 3 y x 的图象上，1.5 OBC S. 1.5 34.5 AOD S .9k .选 C. 【结语】反比例函数求 k 包括三种类型.一是待定系数法求 k；二是借助矩形、直角三角形面积求 k；三是建立 k 的方程求 k.注意点 A 在第二象限，k 是负值. 二、填空题二、填空题(本大题共本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分分) 9. 计算：123
9、 . 【答案】3. 【解析】122 3，2 333. 【结语】 考查最简二次根式、 同类二次根式和合并同类二次根式的定义.根号内的被开方数必须是整数或者 整式，被开方数不含有能够开的尽方的因数或者因式；几个二次根式化简为最简二次根式后，如果被开方 数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式；合并同类二次根式，等于把根号前面的系数相加减，根 号和根号内的被开方数保持不变. 10.举例说明命题：“如果a、b都是无理数，那么ab也是无理数”是假命题，a、b的值可以为2a 、 b . 【答案】2 2（答案不唯一）. 【解析】ab2 224，4 是有理数，不是无理数， “如果a、b都是无理数，那么ab也
10、是无理数” 是假命题. 【结语】判断一个命题是假命题，在数学范围内会举反例即可. 11.多项式 322 69aa bab分解因式的结果是 . 【答案】 2 (3 )a ab. 【解析】 322 69aa bab 222 (69)(3 )a aabba ab. 【结语】考查因式分解的定义及其方法的应用.把一个多项式写成几个整式乘积的形式叫做把一个多项式因式分 解.方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本题具有小综合性，属一提二式类型. 12.九章算术是中国传统数学最重要的著作之一.书中记载：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足 十六.问人数几何?”意思是：“有若干人共同出钱
11、买鸡，如果 每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱， 那么少了十六钱.问：共有几个 人?”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为 . 【答案】911616xx. 【解析】结合答案给的方程来理解，做到多退少补. 【结语】应用题注重恰当的设未知数带来的等量关系的建立，同时了解中国传统的数学文献带来的无限魅力. 13.将一个圆放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个圆 如何运动，它还是在这两 条平行线内，并且始终与这两条平行线相切，我们将圆的 这种性质称为定宽性除了圆之外，还有一些几何图 形也具有定宽性，如勒洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以
12、边长为半径，在另两个顶点间 画 一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形.如图是定宽的圆和勒洛三角形，若圆的半径 2，则图中的勒洛三角形 的周长为 . 【答案】4. 【解析】一段弧的长为 6044 1803 l ， 勒洛三角形周长为 4 34 3 . 【结语】掌握扇形求弧长和面积公式是解决问题的关键. 14.如图，抛物线 2 21yxx与y轴交于点 A，过点 A 作y轴的垂线交抛物线于另一点 B.点 C 为抛物线上的 点，过点 C 作y轴的垂线交抛物线的对称轴于点 D.当四边形 ABCD 为平行四边形时，四边形 ABCD 的面积是 . 【答案】6. 【解析】当x=0 时，1y ， A（0，-1）.
13、22 21(1)2yxxx ， 对称轴是直线1x ，抛物线是轴对称图形， B（2，-1），即有 AB=2. 在ABCD 中，DC=2，点 C 的横坐标是 3，纵坐标是 2 32 3 12y . SABCD=23. 【结语】二次函数与平行四边形相结合综合题.考查二次函数的性质和平行四边形的性质，同时与方程相结合解 决问题. 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15. （6 分）先化简，再求值： 22 411 () 422xxxx ， 其中2x . 【答案】2. 【解析】原式= 42 (2) (2)(2)(2)(2) x x x xxxx = 2 (2
14、) (2)(2) x x xx xx . 当2x 时，原式=2. 【结语】考查分式的基本性质带来的分式的混合运算.把握好运算顺序和分式的通分、约分是解决好分式的化简 求值的关键. 16. （6 分）一个不透明的袋子里有三个小球，上面分别标有数字 3, -4, 5,每个小球 除所标数字不同外其余均相 同.小文先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字.请用画 树状图（或列表）的方法，求小文两次摸出小球上的数字都是正数的概率. 【答案】 4 9 . 【解析】画树状图 P（小文两次摸出小球上的数字是正数）= 4 9 . 【结语】用画树状图或者列表法表示出随机
15、事件的所有等可能性是解决问题的重点. 17.（6 分）一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 1 3 路段为普通公路，其余路段为高速公路. 已知汽车在普通公路上行 驶的平均速度为 60km/h，在高速公路上行驶的平均速度 为 100km/h，汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h.求普 通公路和高速公路的长. 【答案】60 ，120 . 【解析】设普通公路长为xkm，则高速公路长为2xkm.依题意，得 2 2.2 60100 xx . 解得60x. 经检验，60x是原方程的解，且符合题意. 2120x .答：普通公路和高速公路的长分别为 60 ，120 .【结 语】列一元一次方程解应用题.恰
16、当设未知数，注重等量关系的建立是解决问题的关键. 18.（7 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB/DC，AB = AD，对角线 AC、BD 交于点 O，AC 平分BAD，过点 C 作 CE 丄 AB 交 AB 的延长线于点 E，连结 OE. （1）求证：四边形 ABCD 是菱形. （2）若 AB=5， BD=2，求 OE 的长. 【答案】（1）略. （2）2. 【解析】 （1） 证明：ABCD ， OAB=DCA. AC 平分BAD， OAB=DAC. DCA=DAC. CD=AD. AB=AD， CD=AB. 又ABCD， 四边形 ABCD 是平行四边 形. 又AD=AB， 四边形 AB
17、CD 是菱形. （2）四边形 ABCD 是菱形， OC=OA，BDAC . CEAB， OE=OA=OC. BD=2， OB= 1 2 BD=1. 在 RtAOB 中，AB=5，OB=1. OA= 22 2ABOB. OE=OA=2. 【结语】考查平行四边形及其特殊的平行四边形的性质与判定方法；直角三角形斜边中线等于斜 边的一半；勾股定理等知识，加强演绎推理与合情推理. 19.（7 分）图、图、图均是 55 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点 A、B、C 均在格点上. 在图、图、图给定的网格中按要求画图. （1）在图中，画ABC 的高线 AD. （2）在图中，画ABC 的中线 CE.
18、 （3）在图中，画ABC 的角平分线 BF. 要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法. 【答案】见解析. 【解析】（1）作出垂线段 AD，标记出垂直符号和垂足 D. （2）AB 在 34 网格的对角线上，AB 与横向网格线交点标上点 E，连结 CE. （3）将 BC 向右延长 1 个单位长度到 D，有 AB=BD=5，ABD 是等腰三角形，AD 在 24 网格的对角线上，AD 与横向网格线交点为 N，连结 BN 与 AC 交于点 F，三角形内画实线段，三角形外画虚线段. 【结语】借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法，但必要的数学原理还是要讲的，要注重的，不可随 意确定点的位置.
19、 20.(7分)国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前40的国家 的有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给 出了部分信息： a.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成 7 组：30x40，40x50，50x60， 60x70， 70x80，80x90，90x100)； b.国家创新指数得分在 60x70 这一组的是： 61.7 62.4 63. 6 65. 9 66.4 68. 5 69. 1 69.3 69. 5 C.40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图: d.中国的国家创新指数得分为 69. 5. (以上数据来源于国
20、家创新指数报告(2018) 根据以上信息；回答下列问题： (1)中国的国家创新指数得分排名世界第 . (2)在 40 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应 的点位于虚线 1 l的上方.请在图中用“O”圈出代表中国的点. (3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为 万美元.(结果保留一位小数) (4)下列推断合理的是 . 相比于点 A、 B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距， 中国提出“加快建设创新型国家”的 战略任务，进一步提高国家综合创新能力. 相比于点 B、C 所代表的国家，中国的人均国内生产总
21、值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会” 的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值. 【答案】（1）17. （2）如图. （3）2.8（近似值，但不要误差太大）. （4） 【解析】（1）结合条形统计图由大到小排列数据，中国的国家创新指数得分排名世界第 17 位. （2）如图. （3）2.8（在这个值左右有些误差页可以） （4）同 A、B 相比加快建设创新型国家对的；同 B、 C 相比决胜全面建成小康社会 对的. 【结语】要学会或者说做到站在不同的角度定义事物是否合理是重点. 21. （8 分）某汽车租赁公司对某款汽车的租赁方式按时段计费，该公司要求租赁方必须在 9 天内（包括 9 天）
22、将所租汽车归还.租赁费用y（元）随时间x（天）的变化 图象为折线 0A-AB-BC，如图所示. （1）当租赁时间不超过 3 天时，求每日租金. （2）当 6x9 时，求y（元）与x（天）的函数关系式. （3）甲、乙两人租赁该款汽车各一辆，两人租赁的时间共为 9 天，甲租的天数少于 3 天，乙比甲多支付费用 720 元.请问乙租这款汽车多长时间？ 【答案】（1）150 元/天. （2）210450yx. （3）7 天. 【解析】（1）450 3=150 元/天. 每日租金为 150 元/天. （2）当 6x9 时，设y（元）与x（天）之间的函数关系式为ykxb. 图象经过（6，810）（9，14
23、40）， 6810 91440 kb kb ，210k ，450b. 210450yx. （3） 设乙租这款车m天， 则甲租(9)m天. 210450 150(9)720mm.解得7m.经检验，7m是 方程的解，且符合题意. 答：乙租这款车 7 天. 【结语】一次函数图象信息题，注意从图象和从应用题的角度获得解题信息与数据是本题的重点. 22. (9 分)综合与实践. 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形， 同时折纸的过程还蕴含着 丰富的数学知识. 折一折：把边长为 2 的正方形纸片 ABCD 对折，使边 AB 与 CD 重合，展开后得 到折痕 EF.如图：点
24、M为 CF 上一点，将正方形纸片 ABCD 沿直线 DM 折叠，使点 C 落在 EF 上的点 N 处,展开后连接 DN、MN、AN，如图 ()填一填，做一做： (1)图中，CMD= ，线段 NF= ； (2)图中，试判断AND 的形状，并给岀证明. 剪一剪、折一折：将图中的 AND 剪下来，将其沿直线 GH 折叠，使点 A 落 在点 A处，分别得到图、 图. (二)填一填 (3)图中阴影部分的周长为 . (4)图中，若AGN = 80，则AHD= . (5)图中，相似的三角形(包括全等三角形)共有 对. (6)如图，点 A落在边 ND 上，若 AN = 2AD,则 AG AH = . 【答案】
25、（1）75，23. （2）略. （3）6. （4）40. （5）4 . （6） 5 4 . 【解析】（6）承接（5）我们有AGNHAD. A GGNA N HAA DHD ，设 AG=x. 4 2 3 2 3 xx HAHD ， 2 3(2) x HA x ， 8 9(2) HD x . 2 3(2) x x + 8 9(2)x =2， 7 6 x . 5 4 AG AH . 【结语】在培养学生的动手操作能力方面这题给人耳目一新的感觉，做好深层次的推理与计算是解决问题的难 点. 以图形的翻折为背景，加强了学生的动手操作能力，注重了图形的变换.此题取材于 2019 年齐齐哈尔市中考 题，又有创新
26、，值得探究学习. 23. (10 分)对于平面直角坐标系中的动点 P 和图形 G，给出如下定义：如果 Q 为图形 G 上一个动点，P、Q 两点 间距离的最大值为 max d，P、Q 两点间距离的最小值为 min d， 我们把 max d min d的值叫做点 P 和图形 G 之 间的“极差距“，记作 d(P，图形 G). 如图，正方形 ABCD 的中心为点 O，A(2, 2). （1）点 O 到线段 AB 的“极差距”d(O，AB) = . （2）设该正方形与y轴交于点 E 和 F，点 P 在线段 EF 上，d(P，正方形 ABCD) = 3， 求点 P 的坐标. 【答案】（1）2 22. （
27、2）（0， 17 14 ）或（0， 17 14 ）. 【解析】（1）点 P 落在坐标原点上， 点 Q 落在点 E 处有最小值 2， 点 Q 落在点 A 或 B 处有最大值2 22. d(O，AB) =2 22. （2）当点 P 在线段 OE 上时，设 P（0，m）. 点 Q 落在点 E 处有最小值 2m， 点Q落在点C或D处有最大值PC=3+2m=5m. 在 RtPCF 中，PF=2m. 222 2(2)(5)mm， 17 14 m . P（0，17 14 ）； 同理，当点 P 在线段 OF 上时，有 P（0， 17 14 ）. 综 上所述，P（0，17 14 ）或（0， 17 14 ）. 【
28、结语】理解文字的定义部分很重要，以不变应万变，加强数形结合和分类讨论的数学思想和方法的学习，从 位置关系决定数量关系的角度计算解决问题. 24. （12 分） 【2019年北京及其改编】在平面直角坐标系xoy中，抛物线 2 1 yaxbx a 与y轴交于点 A，将 点 A 向右平移 2个单位长度，得到点 B，点 B在抛物线上. （1）求点 B的坐标（用含a的式子表示） ； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点 P（ 1 2 ， 1 a ） 、Q（2，2）.若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范 围. （4改编）设抛物线的顶点为 M，若 45MAB60，结合函数图象，
29、直接写出a的取值范围. 【答案】 （1） （2， 1 a ） ； （2）对称轴是直线x=1； （3）a 1 2 ； （4）1a3或3a1. 【解析】 （1）当0x时， 1 A y a ， A（0， 1 a ）. 又点 A向右平移 2 个单位长度得到点 B B（2， 1 a ）. （2）A（0， 1 a ） ，B（2， 1 a ） ，抛物线是轴对称图形. 抛物线的对称轴是直线 02 1 2 x . （3）抛物线的对称轴是直线1 2 b x a ，2ba. 当a0 时，如图，x=2， 11 44yaa aa 2，抛物线开口向上不成立； 当a0 时，如图，x=2， 11 44yaa aa =2， 1
30、 2 a ，且a越大，开口越小 ，有交点， a 1 2 . 综上所述，a 1 2 . （4改编）1a3或3a1. 作 MNAB于 N，PQ=2 ， 22 11 2(1)yaxaxa xa aa ， MN= 11 ()aa aa . 当a0 时，如图 1和 2，MAB =45 ，MAB是等腰直角三角形，有a=1； MAB60，MAB 是等边三角形，MN=3，有a=3. 1a3. 图 1MAB =45 图 2MAB =60 图 3MAB =45 图 4MAB =60 当a0 时，如图 3和 4，MAB =45 ，MAB是等腰直角三角形，有a=1，1a； MAB60，MAB 是等边三角形，MN=3，有a=3，3a . 3a1.
