1、2.1.1 合 情 推 理华罗庚爷爷讲的小故事：有位老师想考考他的两个学生.他采用如下的方法：事先准备好两顶白帽子，一顶黑帽子，让学生们看到，然后让他们闭上眼睛.老师给他们戴上帽子，并把剩下的那顶帽子藏起来.最后让学生睁开眼睛，看着对方的帽子，说出自己所戴帽子的颜色.两个学生互相望了望，犹豫了一小会儿，然后异口同声地说：“我们戴的是白帽子”.聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？聪明的各位，想想看，他们是怎么知道的？已知已知判断判断前提新的新的判断判断结论铜能导电铜能导电铝能导电铝能导电金能导电金能导电银能导电银能导电一切金属一切金属都能导电都能导电.三角形内角和三角形内角和为为凸四边形内角凸
2、四边形内角和为和为凸五边形内角凸五边形内角和为和为 180360540凸凸n边形边形内角和为内角和为.1802n甲、乙、丙、甲、乙、丙、丁四所高中学丁四所高中学生普遍认为数生普遍认为数学是严肃枯燥学是严肃枯燥的。的。全市高中全市高中生普遍认生普遍认为数学是为数学是枯燥的枯燥的.第一个数为第一个数为2第二个数为第二个数为4第三个数为第三个数为6第四个数为第四个数为8第第n个个数为数为2n.部分部分个别个别整整 体体一一 般般归纳推理归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).任何一个不小于
3、任何一个不小于6 6的偶数都等于两个的偶数都等于两个奇质数的和奇质数的和.观察下列等式观察下列等式 6=3+3 8=3+510=3+712=5+7归纳出一个规律：归纳出一个规律：偶数偶数=奇质数奇质数+奇质数奇质数 通过更多特例的检验通过更多特例的检验,从从6 6开始开始,没有出现反例没有出现反例.大胆猜想大胆猜想:16=5+1118=7+1120=7+1322=5+17哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)在陈景润之前，关于偶数可表示为在陈景润之前，关于偶数可表示为 s s个质数的乘积个质数的乘积 与与t t个质数的乘积之和个质数的乘积之和(简称简称“s+t s+
4、t”问题问题)之之进展情况进展情况如下如下:19201920年，挪威的布朗年，挪威的布朗(Brun)(Brun)证明了证明了 “9+9 9+9”。19241924年，德国的拉特马赫年，德国的拉特马赫(Rademacher)(Rademacher)证明了证明了“7+7 7+7”。19321932年，英国的埃斯特曼年，英国的埃斯特曼(Estermann)(Estermann)证明了证明了 “6+6 6+6”。19371937年，意大利的蕾西年，意大利的蕾西(Ricei)(Ricei)先後证明了先後证明了“5+7 5+7”,“4+9 4+9”,“3+15 3+15”和和“2+366 2+366”。1
5、9381938年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了“5+5 5+5”。19401940年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)证明了证明了 “4+4 4+4”。19481948年，匈牙利的瑞尼年，匈牙利的瑞尼(Renyi)(Renyi)证明了证明了“1+c 1+c”，其中，其中c c是一很大的自然数。是一很大的自然数。19561956年，中国的王元证明了年，中国的王元证明了 “3+4 3+4”。19571957年，中国的王元先後证明了年，中国的王元先後证明了 “3+3 3+3”和和 “2+3 2+3”。
6、19621962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)(BapoaH)证明了证明了 “1+5 1+5”，中国的，中国的王元证明了王元证明了“1+4 1+4”。19651965年，苏联的布赫年，苏联的布赫 夕太勃夕太勃(Byxwrao)(Byxwrao)和小维诺格拉多夫和小维诺格拉多夫(BHHopappB)(BHHopappB)，及意大，及意大利的朋比利利的朋比利(Bombieri)(Bombieri)证明了证明了“1+3 1+3”。19661966年，中国的陈景润证明了年，中国的陈景润证明了 “1+2 1+2”。最终会由谁攻克最终会由谁攻克 “1+1
7、1+1”这个难题呢？现在还没法预测。这个难题呢？现在还没法预测。半个世纪之后，欧拉发现：半个世纪之后，欧拉发现：42949672971252猜想：猜想：.122是质数n6700417641新新的的猜猜想想：形形如如221n（5n ）的的数数都都是是合合数数.12,12,12876222后来人们发现后来人们发现都是合数都是合数.,1712,5122122都是质数,6553712,257124322观察分析观察分析发现规律发现规律大胆猜想大胆猜想检验猜想检验猜想归纳推理的归纳推理的一般步骤一般步骤 每幅地图可以用四种颜色着色，使得有共同边界的相邻区域着上不同色.1852年，英国人弗南西斯格思里为地
8、图着色时，发现了四色猜想.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在两台计算机上，用了1200个小时，完成了四色猜想的证明.n 1883年法国的数学家年法国的数学家 Edouard Lucas 提出的河内塔问题提出的河内塔问题(Tower of Hanoi)。123(1)1f n=1时时,123(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f 123(3)7f n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(4)f 15n=4时时,n=3时时,(2)3f n=2时时,n=1时时,(1)1f(3)7f 归纳归纳:()21nf n 归纳推理是科学发现的重要途径!成语成语“一叶知秋一叶知秋”谚语
9、谚语“瑞雪兆丰年瑞雪兆丰年”物理学中物理学中牛顿发现万有引力牛顿发现万有引力化学中的化学中的门捷列夫元素周期表门捷列夫元素周期表天文学中天文学中开普勒行星运动定律开普勒行星运动定律 例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，（n=1,2,),(1)试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式;11nnnaaa可用可用证明证明这个猜想是正确的这个猜想是正确的.(2)(2)33332311111nnaaaaS 练习练习:数一数图中的凸多面体的面数数一数图中的凸多面体的面数F F、顶、顶点数点数V V和棱数和棱数E,E,然后用归纳法推理得出它们然后用归纳法推理得出它们之间的关系之间
10、的关系.多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 8多面体多面体面数面数(F)(F)顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 61010多面体多面体面数面数(F)(F)
11、顶点数顶点数(V)(V)棱数棱数(E)(E)三棱锥三棱锥四棱锥四棱锥三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体正八面体正八面体五棱柱五棱柱截角正方体截角正方体尖顶塔尖顶塔4 46 64 45 55 56 65 59 98 86 66 68 86 612128 812126 610107 77 79 916169 91010151510101515F+V-E=2F+V-E=2猜想猜想欧拉公式欧拉公式2.归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题一般
12、性命题(猜想猜想).（简称（简称）?部分整体部分整体个别个别 一般一般作作 业业1 1、完成、完成 活页活页2 2、在网络上查找如下猜想，选择其中两个加以研究、在网络上查找如下猜想，选择其中两个加以研究孪生素数猜想;叙拉古猜想;蜂窝猜想;费马最后定理;七桥问题;欧拉回路3.3.选做选做:如右图三角阵,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数为1的是第3行,第n次全行的数都为1的是第 行;第61行中1的个数是 .第1行 1 1 第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称从一个传说
13、说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子明了锯子.他的思路是这样的他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草是齿形的；茅草能割破手；茅草能割破手；我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？这个推理过程是归纳推理吗？可能存在生命可能存在生命像这样的推理还有：像这样的推理还有：2.2.科学家对火星进行研究科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许发现火星与地
14、球有许多类似的特征多类似的特征;1.1.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇发明了潜水艇.类比推理类比推理 这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比类比推理是由特殊到特殊的推理推理是由特殊到特殊的推理 总结：总结：1.进行进行类比推理类比推理的的步骤步骤：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；找出两类对象之间可以确切表述
15、的相似特征；(2)用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想检验这个猜想.2、类比推理的一般模式、类比推理的一般模式:所以所以B类事物可能具有性质类事物可能具有性质d.A类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,d,B类事物具有性质类事物具有性质a,b,c,(a,b,c与与a,b,c相似或相同）相似或相同）观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论类比推理举例类比推理举例探究：类比圆的特征，说说球的相关特征，并说探究：类比圆的特征，说说球的相关特征，并说明推理的过程。明推理的过程
16、。例例2试将平面上的圆与空间的球进行类比试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：球的定义：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0)为圆心为圆心
17、,r,r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y-y+(y-y0 0)2 2=r=r2 2圆心与弦圆心与弦(非直径非直径)中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面(圆面圆面)的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0)为球心为球心,r,r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0)2 2+(y
18、-+(y-y y0 0)2 2+(z-z+(z-z0 0)2 2=r=r2 2利用圆的性质类比得出求的性质利用圆的性质类比得出求的性质球的体积球的体积3 34 4V=RV=R3 3球的表面积球的表面积2 2S=4RS=4R圆的周长圆的周长 S=2RS=2R圆的面积圆的面积2 2S S=R R等差数列等差数列等比数列等比数列定义定义通项公式通项公式前前n项和项和12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaq n（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q等差数列等差数列等比数列等比数列中
19、项中项任意实数任意实数a、b都有等都有等差中项差中项，为，为2ba当且仅当当且仅当a、b同号时才同号时才有等比中项有等比中项，为，为ab232,mmmmmSSSSS成等差数列成等差数列232,mmmmmSSSSS成等比数列成等比数列直角三角形直角三角形C903个边个边的长度的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c3 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体AOBAOCBOC90 4个面的个面的面积面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面”S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面”S例例3 3类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出
20、空间中四面体性质的猜想空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cc2 2=a2 2+b2 2S S2 2ABC ABC=S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想:s s1 1s s2 2s s3 31234,A-BCD,R_.S SSSV 根根据据类类比比推推理理的的方方法法 若若一一个个四四面面体体四四个个面面的的面面积积分分别别为为体体积积为为，则则四四面面体体的的内内切切球球半半径径12343VSSSS ,S,2.ABCa b cSABCabc 练练习习：已已知知三三边边长长为为面面积积为为 则则内内切切圆圆半半径径r r=ABCDOO练习练习从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理的推理.合情推理合情推理归纳推理归纳推理类比推理类比推理课堂小结：课堂小结：
