1、一元函数的导数及其应用考点突破素养提升素养一数学运算素养一数学运算角度角度1 1导数的计算导数的计算【典例【典例1 1】(1)(2020(1)(2020天津高二检测天津高二检测)已知函数已知函数f(x)=,f(x)f(x)=,f(x)为为f(x)f(x)的导函的导函数数,则则f(x)=f(x)=()A.A.B.B.C.C.D.D.【解析】【解析】选选D.D.根据题意根据题意,函数函数f(x)=,f(x)=,其导函数其导函数f(x)=f(x)=2ln xx3ln xx31x31 ln xx312ln xx2ln xx22443ln xxln x xx2x ln x12ln x.xxx（）（）(2
2、)(2020(2)(2020沙坪坝高二检测沙坪坝高二检测)设设f(x)f(x)是函数是函数f(x)f(x)的导函数的导函数,若若f(x)=xln f(x)=xln(2x-1),(2x-1),则则f(1)=_.f(1)=_.【解析】【解析】因为因为f(x)=xf(x)=xln(2x-1),ln(2x-1),所以所以f(x)=ln(2x-1)+f(x)=ln(2x-1)+(2x-(2x-1)=ln(2x-1)+1)=ln(2x-1)+则则f(1)=2.f(1)=2.答案答案:2 2x2x12x2x1，【类题【类题通】通】复合函数求导的关注点复合函数求导的关注点复合函数求导运算的关键是分清求导层次复
3、合函数求导运算的关键是分清求导层次,逐层求导逐层求导,一般对于一般对于y=f(ax+b)y=f(ax+b)的复的复合函数合函数,只有两层复合关系只有两层复合关系,求导时不要忘了对内层函数求导即可求导时不要忘了对内层函数求导即可.角度角度2 2曲线的切线曲线的切线【典例【典例2 2】(1)(2020(1)(2020和平高二检测和平高二检测)已知函数已知函数f(x)=ln x+2xf(x)=ln x+2x2 2-4x,-4x,则函数则函数f(x)f(x)的图象在的图象在x=1x=1处的切线方程为处的切线方程为()A.x-y+3=0A.x-y+3=0B.x+y-3=0B.x+y-3=0C.x-y-3
4、=0C.x-y-3=0D.x+y+3=0D.x+y+3=0【解析】【解析】选选C.C.由由f(x)=ln x+2xf(x)=ln x+2x2 2-4x,-4x,得得f(x)=+4x-4,f(x)=+4x-4,所以所以f(1)=1.f(1)=1.又又f(1)=-2.f(1)=-2.所以函数所以函数f(x)f(x)的图象在的图象在x=1x=1处的切线方程为处的切线方程为y+2=1y+2=1(x-1),(x-1),即即x-y-3=0.x-y-3=0.1x(2)(2020(2)(2020沙坪坝高二检测沙坪坝高二检测)已知曲线已知曲线f(x)=aln x+xf(x)=aln x+x2 2在点在点(1,1
5、)(1,1)处的切线与直处的切线与直线线x+y=0 x+y=0平行平行,则实数则实数a a的值为的值为()A.-3A.-3B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析】【解析】选选A.f(x)=aln x+xA.f(x)=aln x+x2 2的导数为的导数为f(x)=+2x,f(x)=+2x,可得曲线在点可得曲线在点(1,1)(1,1)处的处的切线斜率为切线斜率为k=a+2,k=a+2,由切线与直线由切线与直线x+y=0 x+y=0平行平行,可得可得k=-1,k=-1,即即a+2=-1,a+2=-1,解得解得a=-3.a=-3.ax【类题【类题通】通】曲线的切线的斜率是切点处的导数曲线的切线的斜
6、率是切点处的导数,再结合其他条件可处理与切线相关的问题再结合其他条件可处理与切线相关的问题.素养二逻辑推理素养二逻辑推理角度角度1 1函数的单调性与导数函数的单调性与导数【典例【典例3 3】(2017(2017全国卷全国卷)已知函数已知函数f(x)=ln x+axf(x)=ln x+ax2 2+(2a+1)x.+(2a+1)x.(1)(1)讨论讨论f(x)f(x)的单调性的单调性.(2)(2)当当a0a0),=(x0),当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0,则则f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增,当当a0a0时时,则则f(x)f(x)在在 上单调递增上单调递增,在
7、在 上单调递减上单调递减.22ax2a1x1x（）2ax1x1x（）（）1(0,)2a1(,)2a(2)(2)由由(1)(1)知知,当当a0a0),+x-ln x(x0),f(x)=2x+1-=f(x)=2x+1-=(x0).(x0).令令f(x)0,f(x)0,则则x ;x ;令令f(x)0,f(x)0,则则0 x ,0 x0),(2)f(x)=2x+a-=(x0),由函数由函数f(x)f(x)在在1,21,2上是减函数上是减函数,得得 0,0,即即2x2x2 2+ax-10+ax-10在在1,21,2上恒成立上恒成立.令令h(x)=2xh(x)=2x2 2+ax-1,+ax-1,则则 即即
8、 解得解得a-,a-,所以实数所以实数a a的取值范围为的取值范围为 1x22xax1x22xax1xh10h20,（），（）22a102 22a10 ，727.2，角度角度2 2函数的极值、最值与导数函数的极值、最值与导数【典例【典例4 4】(1)(1)设函数设函数f(x)=+ln x,f(x)=+ln x,则则()A.x=A.x=为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点B.x=B.x=为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点C.x=2C.x=2为为f(x)f(x)的极大值点的极大值点D.x=2D.x=2为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点2x1212(2)(2)设设f(x)=ln x,
9、g(x)=f(x)+f(x).f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).求求g(x)g(x)的单调区间和最小值的单调区间和最小值.讨论讨论g(x)g(x)与与g g 的大小关系的大小关系.1()x【解析】【解析】(1)(1)选选D.D.因为因为f(x)=+ln x,x0,f(x)=+ln x,x0,所以所以f(x)=-+,f(x)=-+,令令f(x)=0,f(x)=0,即即-+=0,-+=0,解得解得x=2.x=2.当当0 x20 x2时时,f(x)0;,f(x)2x2时时,f(x)0,f(x)0,所以所以x=2x=2为为f(x)f(x)的极小值点的极小值点.2x22x1x22x1x2
10、x2x(2)(2)由题设知由题设知g(x)=ln x+,x0,g(x)=ln x+,x0,所以所以g(x)=g(x)=令令g(x)=0,g(x)=0,得得x=1.x=1.当当x(0,1)x(0,1)时时,g(x)0,g(x)0,g(x)0,故故(1,+)(1,+)是是g(x)g(x)的单调递增区间的单调递增区间,因此因此,x=1,x=1是是g(x)g(x)的唯一极值点的唯一极值点,且为极小值点且为极小值点,从而是最小值点从而是最小值点,所以最小值为所以最小值为g(1)=1.g(1)=1.1x2x1.xg =-ln x+x.g =-ln x+x.设设h(x)=g(x)-g h(x)=g(x)-g
11、 =2ln x-x+,=2ln x-x+,则则h(x)=-h(x)=-当当x=1x=1时时,h(1)=0,h(1)=0,即即g(x)=g .g(x)=g .当当x(0,1)(1,+)x(0,1)(1,+)时时,h(x)0,h(1)=0.,h(x)0,h(1)=0.因此因此,h(x),h(x)在在(0,+)(0,+)内单调递减内单调递减.当当0 x10 xh(1)=0,h(x)h(1)=0,即即g(x)g .g(x)g .当当x1x1时时,h(x)h(1)=0,h(x)h(1)=0,即即g(x)g .g(x)0).-2(a+1)x+2aln x(a0).(1)(1)当当a=1a=1时时,求曲线求
12、曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程.(2)(2)求求f(x)f(x)的单调区间的单调区间.(3)(3)若若f(x)0f(x)0在区间在区间1,e1,e上恒成立上恒成立,求实数求实数a a的取值范围的取值范围.【解析】【解析】(1)(1)因为因为a=1,a=1,所以所以f(x)=xf(x)=x2 2-4x+2ln x,-4x+2ln x,所以所以f(x)=f(x)=(x0),f(1)=-3,f(1)=0,(x0),f(1)=-3,f(1)=0,所以切线方程为所以切线方程为y=-3.y=-3.22x4x2x(2)f(x)=(2)f(x)=(x0
13、),=(x0),令令f(x)=0f(x)=0得得x x1 1=a,x=a,x2 2=1,=1,若若0a1,0a0,f(x)0,当当x(a,1)x(a,1)时时,f(x)0,f(x)1,a1,则当则当x(0,1)x(0,1)或或(a,+)(a,+)时时,f(x)0,f(x)0,当当x(1,a)x(1,a)时时,f(x)0,f(x)-a,f(x)-a,求求a a的取值范围的取值范围.【解析】【解析】(1)f(x)=-2ax+=(1)f(x)=-2ax+=当当a0a0时时,f(x)0,f(x)0,所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上递增上递增,当当a0a0时时,令令f(x)=0,f(x
14、)=0,得得x=,x=,令令f(x)0,f(x)0,得得x ;x ;令令f(x)0,f(x)-a,f(x)-a,得得a(xa(x2 2-1)-ln x0,-1)-ln x0,因为因为x(1,+),x(1,+),所以所以-ln x0,x-ln x0,-10,当当a0a0时时,a(x,a(x2 2-1)-ln x0-1)-ln x1),-1)-ln x(x1),g(x)=0,g(x)=0,所以所以g(x)g(x)在在(1,+)(1,+)上递增上递增,所以所以g(x)g(1)=0,g(x)g(1)=0,不合题意不合题意,1222ax1x当当0a 0a0,g(x)0,得得x ,x ,令令g(x)0,g
15、(x)0,得得x x 所以所以g(x)g(x)minmin=g g(1)=0,=g g(1)=0,则存在则存在x(1+),x(1+),使使g(x)0,g(x)0,f(x)=-+.x0,f(x)=-+.设切点为设切点为(x(x0 0,y,y0 0),),则则f(xf(x0 0)=-1,)=-1,即即 +=-1+=-1a=+xa=+x0 0.所以所以y y0 0=f(x=f(x0 0)=+ln x)=+ln x0 0=x=x0 0+1+ln x+1+ln x0 0,又又y y0 0=-x=-x0 0+3.+3.所以所以ln xln x0 0=-2x=-2x0 0+2,+2,解得解得x x0 0=1
16、,=1,故故a=2.a=2.由由f(x)=f(x)=得得x=2.x=2.因此当因此当0 x20 x2时时,f(x)0,f(x),f(x)2x2时时,f(x)0,f(x),f(x)0,f(x)单调递增单调递增.所以所以f(x)f(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0,2),(0,2),单调递增区间是单调递增区间是(2,+).(2,+).(2)(2)由题意得由题意得g(x)=f(x)=-+=(x0),g(x)=f(x)=-+=(x0),当当a0a0时时,g(x)0,g(x),g(x)0,g(x)在在 上单调递增上单调递增,因此不可能有两个零点因此不可能有两个零点;当当a0a0时时,易得易得g(x)g(x)的单调递减区间是的单调递减区间是(0,a),(0,a),单调递增区间是单调递增区间是(a,+).(a,+).g(x)=f(x)-1=0g(x)=f(x)-1=0在在 上有两解上有两解 解得实数解得实数a a的取值范围是的取值范围是2e2e-1-1a1.a1.2ax1x2xax1e,e1e,e11eae,geea20,galn a0,age0,e（）（）（）
