1、9.13 提取公因式法 探究与交流225m 计算下列各式计算下列各式2(3)(2)xy(4)()()ab mn(2)(5)(5)mm(1)()m ab2244xxyyamanbmbnmamb你能把下列各式写成乘积的形式吗？你能把下列各式写成乘积的形式吗？2(2)25m 22(3)44xxyy(4)amanbmbn(1)mamb2(2)xy()()ab mn(5)(5)mm()m ab整式乘法整式乘法因式分解因式分解互互 逆逆 把一个多项式化成几个整式的积的形式把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式分解因式分解，也叫做把这个，也叫做把这个多项式多项式分解因式分解因
2、式。下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？不是？为什么？（1）3a(a+2)=3a2+6a (2)3a2+6a=3a(a+2)（3）x2-4=(x+2)(x-2)(4)x2-3x+1=x(x-3)+1（5）a2-2ab+b2=(a-b)2 (6)x2+3x-4=(x+4)(x-1)（7）2ab2 ab=2ab（b-0.5）不是不是是是是是不是不是是是是是是是 一个多项式中一个多项式中每一项每一项都含有的都含有的因式因式，叫做这，叫做这个多项式个多项式各项的公因式各项的公因式。公因式公因式mabm=m(a+b)把该公因式提取出来作为多项式的一个
3、因式，把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做式，这种分解因式的方法叫做提公因式法提公因式法。讨论讨论32612a bca b的公因式为多少？的公因式为多少？如何正确找到多项式的公因式呢如何正确找到多项式的公因式呢?1、各项系数的、各项系数的最大公因数最大公因数2、各项都含有的、各项都含有的相同字母相同字母3、相同字母的、相同字母的“最低次幂最低次幂”22266aca ba b观察分析观察分析 归纳小结归纳小结找找公因式的方法：公因式的方法：2.字母取字母取各项各项的的相同字母相同字母
4、，且，且相同字母相同字母的指的指数取数取最低次幂最低次幂。(如如:3x2y+6x3yz中相同字母中相同字母x应取应取x2)1.公因式的系数应取公因式的系数应取各项系数各项系数的的最大公约数最大公约数（当系数是整数时）（当系数是整数时）（如：（如：5ab2c+15abc2公因式的系数应取公因式的系数应取5）说出下列多项式各项的公因式：说出下列多项式各项的公因式：(1)24axay32(2)46aa23(3)412x yxy222(4)2793a bcab cabc2a22a3abc4xy 7x2-21x8 a 3 b2 12ab 3+ab m b2+n b7x 3y2 42x2y 3 a2 b
5、2a b2+abc 7(x 3)x(3 x)下列各式的公因式分别是什么？下列各式的公因式分别是什么？7x ab b 7x2y2 ab (x-3)例题例题12分解因式：6xy+9xy2y+3 3xy =(2y+3)3xy解：原式=3xy练一练：分解因式练一练：分解因式23(1)68aa3222(2)1015a bca b c找出公因式找出公因式提取公因式提取公因式整式乘法检验整式乘法检验例题：分解因式例题：分解因式2(1)153a bab(2)3612axabay_(5)11a解：原式=3ab 5a+3ab3ab23424bayby解：原式（3ax 6ab 12ay）=-(3a x-3a)=-3
6、a(x-+)-注意事项注意事项 1 1、第一项为负，先提取负号、第一项为负，先提取负号2 2、不遗漏、不遗漏“1 1”项项 例、例、分解因式把cabba323128分解因式、把例xxyx6322注意注意：多项式中，第三项是多项式中，第三项是x x，它的，它的系数是系数是1 1；它在因式分解时；它在因式分解时不能漏掉不能漏掉。注意注意：如果多项式的如果多项式的第一项的系数是负第一项的系数是负的，一般要的，一般要提出提出“-”号，使括号内的第号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出一项的系数是正的，在提出“-”号时，号时，多项式的多项式的各项都要变号各项都要变号。分解因式、把例mmm2616432
7、3练习练习:1、把把-4x2+8ax+2x 分解因式分解因式 2、把把-3ab+6abx-9aby分解因式分解因式例例4 把把2a(b+c)-3(b+c)分解因式分解因式例例5、把、把6(x-2)+x(2-x)分解因式。分解因式。(1)a(x-y)+b(y-x)(2)6(m-n)3-12(n-m)2练习练习:把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：(3)2(a-b)2-a+b(4)2(a-b)2-(b-a)3 例例6.把把下列各式下列各式分解因式分解因式 cabba323128)1(xxyx63)2(2mmm26164)3(23322)2(41)2(21)4(xaaaxa)2()2(6)6()
8、(3)(2)5(xxxcbcba222332)()()9()(10)(5)8()(12)(18)7(mnnnmmxyyxbabab)3)(5()3)(3)(11()()()()10(222xyyxyxyxbaacababaab例例7 利用因式分解计算：利用因式分解计算：1499.1999.191399.197299.1929)1(81133739)2(思维拓展训练思维拓展训练的值。求已知：xxxx148,3174)1(22的值。求若27261262723.1.,01)3(xxxxxxxxx的值。求已知：)()()(,02)2(acbcbacbcbaacba课堂延伸课堂延伸4.4.已知已知,x+
9、y=2,xy=-3,x+y=2,xy=-3,求求x x2 2y+xyy+xy2 2的值的值.5.5.已知代数式已知代数式x x2 2+3x+5+3x+5的值是的值是7,7,求求3x3x2 2+9x-2+9x-2的值的值.练习：练习：16a2b3c49a4b3c2 2.4yn12yn6yn1 3.x2(ab)x(ab)ab 练一练练一练322(1)26axa x(3)369ababcac222(2)2793a bcab cabc(4)5105aababc分解因式分解因式 把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式：（1 1）1212x x2 2y+18xyy+18xy2 2；（2 2）-x-x2
10、 2+xy-xz+xy-xz；（3 3）2x2x3 3+6x+6x2 2+2x+2x 现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：现有甲、乙、丙三位同学各做一题，他们的解法如下：你认为他们的解法正确吗？试说明理由。你认为他们的解法正确吗？试说明理由。甲同学：甲同学：解解:12:12x x2 2y+18xyy+18xy2 2 =3xy(4x+6y)=3xy(4x+6y)乙同学：乙同学：解解:-:-x x2 2+xy-xz+xy-xz =-x(x+y-z)=-x(x+y-z)丙同学：丙同学：解解:2:2x x3 3+6x+6x2 2+2x+2x =2x(x =2x(x2 2+3x)+3x)课堂
11、操练课堂操练一一、填空、填空(1)5x-5y+5z=（）(2)7x2-21x=（）(3)2m2n-6mn2=（）(4)24x3-12x2+28x=（）把下列各式分解因式把下列各式分解因式(1)-am2-an (2)x4y2-4x2y-xy(3)8a3b2-12ab3c+abc (4)a2b-2ab2+ab 思考思考 把下列各式分解因式把下列各式分解因式(1)x(x+y)-y(x+y)(2)am+an+bm+bn1、分解因式计算（、分解因式计算（-2）101+（-2）1002、某建筑工地需绕制半径分别为、某建筑工地需绕制半径分别为0.24米，米，0.37米，米，0.39米的三个钢筋环，问需钢筋多
12、米的三个钢筋环，问需钢筋多长？长？3、已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值.3 3、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一、丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高。丁丁和冬冬想知道哪一个体积较样高。丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到一根短大，但身边又没有尺子，只找到一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是绳，他们量得长方体底面的长正好是3 3个绳长，宽是个绳长，宽是2 2个绳长，圆柱体的底面个绳长，圆柱体的底面周长是周长是1010个绳长。你知道哪一个体积较个绳长。你知道哪一个体积较大吗？大多少？（提示：
13、可设绳长为大吗？大多少？（提示：可设绳长为a a厘米，长方体和圆柱体的高均为厘米，长方体和圆柱体的高均为h h厘米）厘米）如果给你一架天平，你有办法知道哪一如果给你一架天平，你有办法知道哪一个体积较大吗？个体积较大吗？2 2、确定公因式的方法：确定公因式的方法：小结与反思小结与反思3 3、提公因式法分解因式步骤：、提公因式法分解因式步骤：1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？4、提公因式法分解因式应注意的问题：、提公因式法分解因式应注意的问题：（1）公因式要）公因式要提尽提尽；（2）不遗漏不遗漏1项项（3）多项式的）多项式的首项取正号首项取正号第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公
14、因式第二步，提公因式第三步，整式乘法检验第三步，整式乘法检验1)1)定系数定系数 2)2)定字母定字母 3)3)定指数定指数 1.一般地，提取公因式后，应使多一般地，提取公因式后，应使多 项式余下的各项项式余下的各项不再含有公因式不再含有公因式.如如:3a2c-6a3c=3a2(c-2ac)特别提醒特别提醒2.注意注意不要漏项不要漏项.如如:2x2+3x3+x=x(2x+3x2)3.多项式多项式首项系数为负首项系数为负时时,通常应通常应提提取负因数取负因数，同时，同时剩下的各项都要改变剩下的各项都要改变符号符号.如如:-2s3+4s2+2s=-2s(s2+2s+1)添括号法则：添括号法则：括号
15、前面是括号前面是“+”号，括到括号里的各项号，括到括号里的各项都不都不变号变号；括号前面是；括号前面是“-”号，号，括到括号里的各项括到括号里的各项都变号都变号。观察分析观察分析 归纳总结归纳总结2023年1月6日13时13分(2)(3)(4)xx(1)(3)(4)xx(3)(3)(4)xx(4)(3)(4)xx1 1、计算、计算2 2、问题：你有什么快速计算类似的多项式、问题：你有什么快速计算类似的多项式 的方法吗？的方法吗？223256xxxx、思考：思考：能用学过的方法分解因式吗？能用学过的方法分解因式吗？2xpxq2()()()xaxbxab xab由观察：观察：反过来可得：反过来可得
16、：2()()()xab xabxaxb如果二次三项式如果二次三项式 中常数项中常数项q q能能分解成两个因数分解成两个因数a a、b b的积，而且一次项系数的积，而且一次项系数p p又又恰好是恰好是a+ba+b，那么，那么22()()()xpxqxxxabaaxbb256xx232xx分解因式分解因式定义：定义：利用利用十字交叉线十字交叉线来来分解系数分解系数，把，把二次三项式二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。分解因式的方法叫做十字相乘法。2(2)412xx2(1)712xx2(3)812aa2(4)1112yy例题例题1：分解因式：分解因式22(2)514xxyy22(1)32xxyy
17、22(3)524x yxy4224(4)812xx yy例题例题2：分解因式：分解因式通过这节课的学习，你有些什么收获？作业：作业：伴你成长伴你成长9.159.15（1 1）练习册练习册p32 1p32 1、2 2、3 3、4 422(2)6113xxyy2(1)321xx2(3)253xx2(4)572xx拓展：分解因式拓展：分解因式2(5)673xx22(6)14176x yxy9.14 公式法我们来试一试看谁算得快：我们来试一试看谁算得快：6782-3782 852-842你想知道怎么才能算得快吗？你想知道怎么才能算得快吗？活动一活动一 将边长为将边长为a的正方形一角减去的正方形一角减去
18、一个边长为一个边长为b的小正方形，观察你剪剩的小正方形，观察你剪剩下的部分。思考：怎样计算它的面积？下的部分。思考：怎样计算它的面积？a2b2=(ab)(ab)a -b=(a+b)(a-b)因式分解因式分解平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a -b整式乘法整式乘法（一）运用（一）运用平方差公式平方差公式分解因式分解因式例例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）16a-1 (2)4x-mn(3)x -y 925116(4)9x+4解：解：1）16a-1=(4a)-1 =(4a+1)(4a-1)解：解：2）4x-mn =(2x)-(mn)=（2x+mn)(2x-mn)例例2.把
19、下列各式因式分解把下列各式因式分解1)(x+z)-(y+z)2)4(a+b)-25(a-c)3）（）（x+y+z)-(x y z)解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z)=(x+y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a-c)=2(a+b)+5(a-c)2(a+b)-5(a-c)=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)例例3.把下列各式因式分解把下列各式因式分解 44)1yx 22222283)2()3)(45122)3)2yxyxmabba 分解彻底分解彻底先提取公因式先提取公因式整体整体aa 3=a(a2-1)=a（a+1）（）（a-1）巧
20、计妙算：巧计妙算：能被100整除吗？99993练习练习2122x 你能把分解因式吗？例例4.把下列各式因式分解把下列各式因式分解 babayyxx24183218)2()1(2222 四项及以上：四项及以上：先分组再分解先分组再分解巩固练习：巩固练习：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（）A.4x+y B.4 x-(-y)C.-4x-y D.-x+y2)-4a+1分解因式的结果应是分解因式的结果应是 （）A.-(4a+1)(4a-1)B.-(2a 1)(2a 1)C.-(2a +1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)2.把下列
21、各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2)x4 1 DD3.把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：yyxxbaaba442)224)12223 小结：小结：1.具有具有两式或两数平方差形式的多项式可运用平方可运用平方差公式分解因式。差公式分解因式。2.a-b=(a+b)(a-b)中的字母中的字母 a,b可以是可以是数，也可，也可以是以是单项式或多项式，要注意要注意“整体整体”思想思想。3.若多项式中有公因式，若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后然后再进一步分解因式。再进一步分解因式。4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简，直到
22、最简，直到不能再分解为止。为止。5.四项及以上的多项式可以先分组再分解四项及以上的多项式可以先分组再分解诊断分析：分解因式分解因式1）4x2y2=(4x+y)(4x-y)2）m5m3=m3(m21)3）4a4-a2 =a2（4 a2-1）=a2(2a+1)(2a-1)=a2（4 a2 1）=4a4-a22a b2a b222aab b222aab b（二）运用（二）运用完全平方公式完全平方公式因式分解因式分解2a b2a b222aab b222aab b我们可以通过以上公式把我们可以通过以上公式把多项式分解因式多项式分解因式我们称之为：我们称之为：运用完全平运用完全平方公式分解因式方公式分解
23、因式运用新知运用新知判断下列式子能否用完全平方公式进行因式分解1 1、(x+yx+y)2 2-4(-4(x+yx+y)+4)+42 2、16a16a2 2+8a(+8a(b+cb+c)+()+(b+cb+c)2 23 3、36(36(a+ba+b)2 2-m m2 2n n2 24 4、4(4(m+nm+n)2 2-4(-4(m+nm+n)()(x+yx+y)+(-x-y)+(-x-y)2 2(x+y)2-2(x+y)+22 即即(x+y-2)(x+y-2)2 2 (4a)2+2(4a)(b+c)+(b+c)2 即即(4a+b+c)(4a+b+c)2 2 这是一个平方差公式这是一个平方差公式
24、（6a+6b+mn6a+6b+mn）(6a+6b-mn)(6a+6b-mn)2(m+n)2-2 2(m+n)(x+y)+(x+y)2 即即(2m+2n-x-y)2()()()()完成下列填空完成下列填空22222222221.()_ 49(7)2.()8()16(_)113._()(_)6484.81()_ _ 2()xyxyxyxyxym na bxyyz 9()xy22(9922)(9112)xyyzxyz36()()29)2()x y y zx yy z（24()yz1()412()()8mn abmnabab414()2()7xyxy例例1：把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式6
25、3242222224914)441)344)29124)1nnmmxyyxyxyxyxyx 请运用完全平方公式分解因式：请运用完全平方公式分解因式：22222222144269344149615464129xxaaaamm nnxxaabb22x原式221a原式23mn原式212x原式223ab原式例例2：把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式1)2(6)2(9)2(4)(4)(1(22 yxyxabba例例3：把下列多项式分解因式：把下列多项式分解因式)(36)(12)()2(363)1(2222nmnmxynmyxayaxyax 先提公因式先提公因式例例4：把下列多项式分解因式：把下列
26、多项式分解因式14424)2(252)1(222 aammayxyx四项及以上：四项及以上：先分组再分解先分组再分解2222241)221)1yaaxxyxyx 练练 习习1 1、若有公因式，先提取公因式。、若有公因式，先提取公因式。2 2、若首项出现负号，先提取负号，注意括号里的、若首项出现负号，先提取负号，注意括号里的每项都要变号。或是若代数式中有符号为正的单每项都要变号。或是若代数式中有符号为正的单项式，将其移到首项。项式，将其移到首项。3 3、观察式子是否可以套用公式（平方差公式或完、观察式子是否可以套用公式（平方差公式或完全平方公式）全平方公式）4 4、因式分解后，观察括号内是否还有
27、公因式、是、因式分解后，观察括号内是否还有公因式、是否还有同类项可以合并，最后化到不能因式分解否还有同类项可以合并，最后化到不能因式分解为止。为止。思考题思考题:1 1、多项式、多项式:(x+yx+y)2 2-2(-2(x x2 2-y-y2 2)+()+(x-yx-y)2 2能用完全平方能用完全平方公式分解吗公式分解吗?2 2、在括号内补上一项，使多项式成为、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：完全平方式：x x4 4+4 4x x2 2+(+()2023年1月6日13时13分(2)(3)(4)xx(1)(3)(4)xx(3)(3)(4)xx(4)(3)(4)xx1 1、计算、计算2
28、2、问题：你有什么快速计算类似的多项式、问题：你有什么快速计算类似的多项式 的方法吗？的方法吗？223256xxxx、思考：思考：能用学过的方法分解因式吗？能用学过的方法分解因式吗？2xpxq2()()()xaxbxab xab由观察：观察：反过来可得：反过来可得：2()()()xab xabxaxb如果二次三项式如果二次三项式 中常数项中常数项q q能能分解成两个因数分解成两个因数a a、b b的积，而且一次项系数的积，而且一次项系数p p又又恰好是恰好是a+ba+b，那么，那么22()()()xpxqxxxabaaxbb256xx232xx分解因式分解因式定义：定义：利用利用十字交叉线十字
29、交叉线来来分解系数分解系数，把，把二次三项式二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。分解因式的方法叫做十字相乘法。2(2)412xx2(1)712xx2(3)812aa2(4)1112yy例题例题1：分解因式：分解因式22(2)514xxyy22(1)32xxyy22(3)524x yxy4224(4)812xx yy例题例题2：分解因式：分解因式通过这节课的学习，你有些什么收获？作业：作业：伴你成长伴你成长9.159.15（1 1）练习册练习册p32 1p32 1、2 2、3 3、4 422(2)6113xxyy2(1)321xx2(3)253xx2(4)572xx拓展：分解因式拓展：分解因式2(5)673xx22(6)14176x yxy
