1、第一章 特殊平行四边形北师大版九年级上册数学第一章整章课件第一章 特殊平行四边形第1课时 菱形的定义与性质第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的性质：边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.活动:观察下列图片，找出你所熟悉的图形.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 平行四边形平行四边形 邻边相等邻边相等菱形菱形 在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察
2、和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？如果改变了边的长度长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？菱形定义的几何表示 ABCD中，中，AB=BC，四边形ABCD是菱形.菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题:菱形与平行四边形有什么关系？归纳平行四边形菱形集合平行四边形集合 （2）菱形中有哪些相等的线段？由于平行四边形的由于平行四边形的对边相等对边相等，故菱，故菱形的形的对边相等，由于菱形的菱形的邻边相邻边相等等，故菱形的菱形的四条边都相等。故：故：菱形的性质菱形的性质2：菱形的菱形的两条对角两条对角线互相垂直平分，并且每一
3、条线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。对角线平分一组对角。菱形是特殊的平行四边形，具有平行四菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质边形的所有性质.BDAC菱形的性质菱形的性质1：菱形的：菱形的四条边都相等。四条边都相等。证明：（1）四边形ABCD是菱形，AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又AB=AD，AB=BC=CD=AD。已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）ACBD且ACAC平分平分BADBAD和和BCDBCD，BD BD平分平分ABCABC和和ADCADC.（2）AB=AD，ABD是等
4、腰三角形.又四边形ABCD是菱形，OB=OD（菱形的对角线互相平分）.在等腰三角形ABD中，OB=OD，AOBD，即ACBD.ACAC平分平分BAD.BAD.同理：同理：ACAC平分平分BCDBCD，BD BD平分平分ABCABC和和ADC.ADC.菱形的两条对角线互相平分菱形的两条对角线互相平分菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角数学语言数学语言菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直菱形的两条对角线互相垂直平分平分，并且每一条对角线平分一组对角。并且每一条对角线平分一组对
5、角。在菱形在菱形ABCD中中 =ADBCABCD=AB=BC=CD=DAADCBO ACBD DAC=BAC DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD OA=OC;OB=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC=180 ABCDO如图，在菱形如图，在菱形ABCDABCD中，对角线中，对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O.（2 2）有哪些特殊的三角形？那些全等三角形？）有哪些特殊的三角形？那些全等三角形？（1 1）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相）图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？等的？相等的线段：相等的线段：相等的角：相等的角：等腰三角形：等腰三角形：直角三
6、角形：直角三角形：全等三角形：全等三角形：已知四边形已知四边形ABCD是菱形是菱形AB=CD=AD=BC OA=OC OB=ODDAB=BCD ABC=CDA AOB=DOC=AOD=BOC=901=2=3=4 5=6=7=8ABC DBC ACD ABDRtAOB RtBOC RtCOD RtDOARtAOB RtCOB RtCOD RtOABD CBD ABC ADCABCDO12345678例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)，OB=OD=BD=6=3
7、(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB=BD=6.2121ABCOD在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA=AC=2OA=（菱形的对角线相互平分）.22OBAB2236.3336ABCOD 若菱形有一个内角为60，那么60角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30角的直角三角形.归纳1.边长为3cm的菱形的周长是（）A6cmB9cmC12cm D15cm2如图，已知菱形ABCD的边长为2，DAB=60，则对角线BD的长是（）A1 B C2 D2CC3.如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线
8、EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，若CDF=24，则DAB等于（）【A100 B104C105 D110B1.四条边都相等2.对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角.有一组邻边相等的平行四边形是菱形.1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （）A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是 （）A.40 B.32 C.24 D.20CD3.在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，E、F分别为BC，CD的中点，那么EAF的度数是 （）A.75 B.60 C.45 D.30BFECABD6.已知菱形的一条
9、对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_.4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_.5.菱形ABCD中，ABC120，则BAC_.ABCOD3cm3060、60、120、1207.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.ABCOD解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的两条对角线互相垂直).AOB=90.BO=3(cm).BD=2BO=23=6(cm).22AOAB 8.已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD，CA平分BCDBCE=DC
10、E又 CE=CE，BCE（SAS）CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD，AFD=FDC.AFD=CBEADCBFE第一章 特殊平行四边形第2课时 菱形的判定第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定1.理解并掌握菱形的两个判定方法.（重点）2.会用菱形的判定方法进行有关的证明和 计算.（难点）菱形的定义是什么？性质有哪些？一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形平行四边形菱形菱形的性质两组对边平行四条边相等两组对角分别相等 邻角互补两条对角线互相垂直平分每一条对角线平分一组对角边角对角线一、有一组邻边相等的平行四边形是菱形可以根据菱形的定义判定：我们如何来判定一个四边形是菱形呢？有
11、一组邻边相等的平行四边形是菱形.几何语言：AB=BC，四边形ABCD为平行四边形,四边形ABCD为菱形.除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先回忆一下菱形的性质，再与同伴交流。平行四边形菱形二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形有同学猜想，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。这个结论正确吗？我们试一试试一试证明：证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC.又 ACBD，BD是线段AC的垂直平分线，BA=BC.四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,ACBD.求证：ABCD是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ACBD几
12、何语言：在ABCD中，ACBD,ABCD是菱形.ABCD菱形ABCDABCDABCD菱形的判定定理：判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（）（3）对角线互相平分的平行四边形是菱形。（）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。（）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（）如图,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形 ABCDEFO12证明证明:四边形ABCD是平行四边形,AEFC，1=2.EF垂直平分AC，AO=OC.又AOE=COF，AOE COF，EO=FO.四边形AFCE是平行四边
13、形.又EFAC,四边形AFCE是菱形.已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？CABD三、四边相等的四边形是菱形根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？四条边相等的四边形是菱形.证明：证明：AB=BC=CD=AD,AB=CD,BC=AD.四边形ABCD是平行四边形.又AB=BC,四边形ABCD是菱形.ABCD已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证：四边形ABCD是菱形.证明猜想四条边都相等的四边形是菱形AB=BC=CD=AD几何语言：在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，四边形 ABCD是菱形.ABCD菱形ABCD
14、菱形的判定定理：四边形ABCDABCD怎样才能判断是不是菱形呢四边形四边相等菱形平行四边形对角线互相垂直一组邻边相等有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.定理1：对角线互相垂直的平行四边形 是菱形.定理2：四边相等的四边形是菱形.菱形的判定定义定理1.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A.ACBD,AC与BD互相平分B.AB=BC=CD=DAC.AB=BC,AD=CD,AC BDD.AB=CD,AD=BC,AC BDABCODC2.如图所示：在ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：.添加方式2：.ABCODAB=BCACBDABCDOE3.如图，已知平行四边形ABCD的对
15、角线相交于点O，且AC=BD,DEAC,CE BD.求证：四边形OCED是菱形.证明：DEAC，CEBD，四边形OCED是平行四边形，四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,OC=OD，四边形OCED是菱形 4.如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CEAB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形.BCADOEMN证明：MN是AC的垂直平分线，AE=CE，AD=CD，OA=OC，AOD=EOC=90.CEAB，DAO=ECO，ADOCEO（ASA）AD=CE，OD=OE，OD=OE，OA=OC，四边形ADCE是平行四边形又AOD=90，四边形ADCE是
16、菱形 第一章 特殊平行四边形第3课时 菱形的性质与判定第一章 特殊平行四边形1 菱形的性质与判定1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一 些相关问题,并掌握菱形面积的求法。(重点)2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程,体会 数形结合、转化等思想方法。（难点）1平行四边形的对边 ，对角 ，对角线 2菱形具有 的一切性质3菱形是 图形也是 图形4菱形的四条边都 5菱形的两条对角线互相 平行且相等平行且相等相等相等互相平分互相平分平行四边形平行四边形 轴对称轴对称 中心对称中心对称 相等相等 垂直垂直 且平分且平分6.菱形的判定：（1）_（2）_（3）_一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线
17、互相垂直的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形.7.平行四边形的面积=_.ABCDF底高8.菱形是特殊的平行四边形，如图,菱形ABCD的面积 =_.BCDF思考：思考：你能用菱形的对角线表示菱形的面积吗？ABCOD思考：菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间思考：菱形被它的一条对角线分成两个什么三角形？它们之间有什么关系？有什么关系？菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关菱形被它的两条对角线分成四个什么三角形？它们有什么关系？系？菱形的周长菱形的周长=4边长边长【菱形的周长公式】菱形的周长和面积【菱形的面积公式】菱形是特殊的平行四边形,那么能利用平行四边形的面积公式
18、计算菱形的面积吗?菱形ABCDOES菱形=BC AE想一想:已知菱形的两条对角线的长，能求出它的面积吗?21 =SABD+SBCD =ACBD.S菱形ABCD菱形的面积=底高=对角线乘积的一半.例例1 1：已知：已知:如图如图,四边形四边形ABCD是边长为是边长为13cm13cm的菱形的菱形,其中对其中对角线角线BD长长10cm.10cm.求求:(1):(1)对角线对角线AC的长度的长度;(2)(2)菱形菱形ABCDABCD的面积的面积.解:(1)四边形ABCD是菱形,AC和BD相交于点E，AED=90=900 0AC=2=2AE=2=212=24(cm).12=24(cm).DBCAE（菱形
19、对角线互相垂直）（菱形对角线互相垂直）.（菱形对角线互相平分）（菱形对角线互相平分）.（菱形对角线互相平分）（菱形对角线互相平分）.=2=2ABD的面积的面积(2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积DBCAE例2 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，ABC ，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.O60BAOCD解：花坛ABCD是菱形，116030.22ACBDABOABC，11Rt2010 m22OABAOAB在中，2222201010 3 mBOABAO，220m220 334.64 m.ACAOBDBO
20、，214200 3346.4 m.2OABABCDSSAC BD菱形例例3 如图所示，在菱形如图所示，在菱形ABCD中，点中，点O为对角线为对角线AC与与BD的交点，且在的交点，且在AOB中，中，AB13，OA5，OB12.求菱形求菱形ABCD两对边的距离两对边的距离h.解析：先利用菱形的面积公式等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两
21、条对角线长度乘积的一半解：在RtAOB中，AB13，OA5，OB12，所以，S菱形ABCD4SAOB430120.又因为菱形两组对边的距离相等，所以，S菱形ABCDABh13h，即13h120，解得,301252121OBOASAOB.13120h1、如图两张不等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分是什么图形？做一做平行四边形2、如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是什么图形？为什么？菱形A有一组邻边相等的平行四边形是菱形例4.如图所示，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE2DE，延长DE到点F，使得EFBE，连接CF.(1)求证：四边形BCFE是菱形；(2)若CE4，
22、BCF120，求菱形BCFE的面积(1)证明：D、E分别是AB、AC的中点，DEBC且2DEBC.又BE2DE，EFBE，EFBC，EFBC，四边形BCFE是平行四边形又EFBE，四边形BCFE是菱形.(2)解：BCF120，EBC60，EBC是等边三角形，菱形的边长为4，高为 ，菱形的面积为 .2 34 2 38 3方法总结：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以尝试证出这个四边形是平行四边形，然后用定义法或判定定理1来证明菱形菱形的性质与判定的综合性问题菱形的周长与面积有关计算周长=4边长面积=底
23、高=两条对角线乘积的一半1.已知菱形的周长是24cm，那么它的边长是_.2.如图，菱形ABCD中，BA120，则BAC_.ODCBA6cm603.如图，菱形的两条对角线长分别为10cm和24cm，则菱形的边长是（）CA.10cm B.24cm C.13cm D.17cmABCDO4.变式题（1）菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为 ，面积为 。（2）菱形ABCD的面积为96，对角线AC长为16，此菱形的边长为 。（3）菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍52410C5.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则
24、这个菱形的面积是 cm166.如图,四边形ABCD是边长为13cm的菱形,其中对角线BD长10cm.求：（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.ABCDE解:(1)四边形ABCD是菱形,AC与BD相交 于点E.AED=90(菱形的对角线互相垂直),DE=BD=10=5(cm).(菱形的对角线互相平分)2121ABCDEAC=2AE=2 12=24(cm)（菱形的对角 线互相平分）.(2)如图，菱形ABCD的面积 =BD AC =120(cm2).222213512.AEADDEcm217.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BAD=60，BD=6，求菱形的边长AB和对
25、角线AC的长.解：四边形ABCD是菱形，ACBD(菱形的对角线互相垂直)，OB=OD=BD=6=3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABC中，BAD=60，ABD是等边三角形.AB=BD=6.ABCOD1212在RtAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，OA=AC=2OA=（菱形的对角线相互平分）.ABCOD22ABOB22633 3.6 3第一章 特殊平行四边形第一课时第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定矩形的定义与性质矩形的定义与性质1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.（重点）2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题.（重点、难点）3.
26、掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点）有两组对边分别平行的四边形.边边特殊化特殊化角角特殊化特殊化四条边都相等四条边都相等四个角都相等四个角都相等有一个角是直角 平行四边形矩形即：A=90ABCDABCD是矩形.矩形定义两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角四边形四边形平行四边形平行四边形矩矩 形形矩形与四边形、平行四边形的关系矩形有什么性质？矩形有什么性质？有平行四边形有平行四边形的所有性质的所有性质还有其它特还有其它特殊的性质殊的性质有一个角是直角 平行四边形矩形ABCDO矩形的对边平行且相等矩形的对边平行且相等.矩形的对角相等矩形的对角相等.矩形的对角线
27、互相平分矩形的对角线互相平分.边：边：角：角：对角线：对角线：矩形的一般性质角：角：对角线：对角线：边：边：矩形的特殊性质矩形的四个角都是直角证明：证明：四边形ABCD是平行四边形，C=90,A=C=90 B+C=180,B=180C=90,D=B=90,即A=B=C=D=90.几何语言：四边形ABCD是矩形,A=B=C=D=90.已知：四边形已知：四边形ABCD是矩形，是矩形，求证：求证：A=B=C=D=90.矩形的对角线相等已知：四边形已知：四边形ABCD是矩形是矩形,求证：求证：AC=BD.ABCD证明：证明：在矩形ABCD中,ABC=DCB=90,又AB=DC，BC=CB,ABC DC
28、B（SAS）,AC=BD.几何语言：四边形ABCD是矩形,AC=BD.矩形的性质矩形的性质矩形的对边平行且相等矩形的对边平行且相等.矩形的对角线相等矩形的对角线相等.矩形的对角线互相平分矩形的对角线互相平分.矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角.矩形的对角相等矩形的对角相等.角角对角线对角线边边对称性对称性矩形是轴对称图形，也是中心对称图形矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.如图：矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，那么BO是RtABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系呢？由此你能得到怎样的结论呢？提示：大家可以通过测量初步猜测直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜
29、边上的中线等于斜边的一半.直角三角形斜边上的中线的性质定理证明证明证明:延长BO至D，使OD=BO,连结AD、DC.AO=OC,BO=OD，四边形ABCD是平行四边形.ABC=90，ABCD是矩形，AC=BD,BO=BD=AC.1212几何语言：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.ABC为直角三角形，BO为AC的中线,相等的角：相等的角：在矩形在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角中，找出相等的线段与相等的角.ADCB O相等的线段：相等的线段：AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD=AC=BD2121DAB=ABC=BCD=CDA
30、=90 AOB=DOC AOD=BOCOAB=OBA=ODC=OCD OAD=ODA=OBC=OCB等腰三角形：等腰三角形：OAB OBC OCD OAD直角三角形：直角三角形：RtABC RtBCD RtCDA RtDAB全等三角形：全等三角形：RtABC RtBCD RtCDA RtDABOAB OCD OAD OCB在矩形在矩形ABCD中，找出所有等腰、直角、全等三角形中，找出所有等腰、直角、全等三角形.ADCB O例例1 如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点中，两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=2.5，求这个矩形对角线的长，求这个矩形对角线的长.()11,2
31、2().1201(180120)=30.290222.55.ABCDACBDOAOCAC OBODBDOAODAODODAOADDABBDAB 四边形是矩形，矩形的对角线相等，矩形的对角线互相平分，又（矩形的四个角都是直角），解：例例2 矩形矩形 ABCD，AD长长8 cm，对角线比，对角线比AB边长边长4 cm。求求AB的长及点的长及点A到到BD的距离的距离AE的长的长.解：解：设AB=xcm，则对角线长（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：AB2+AD2=BD2 ,解得x=6，则 AB=6cm.AEDB=ADAB,解得 AE=4.8cm.22248xx“直角三角形斜边上的高”是一个基
32、本图形，利用面积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式：AEDB=ADAB.例例3 已知：矩形已知：矩形ABCD中，中，E是是BC上一点，上一点，DFAE于于F，若，若AE=BC.求证：求证：CEEF.证明：证明：四边形ABCD是矩形,B=90，且ADBC,1=2.DFAE,AFD=90B=AFD.在ABE和DFA中,1=2,B=AFD,AD=AE,ABE DFA（AAS）,AF=BE,EF=EC.矩形的问题常可以转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.1.填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是_，二是_.（2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30，则矩形两条对角线相交所
33、得的四个角的度数分别为_、_、_、_。有一个角是直角平行四边形6060120120（3）已知矩形的一条对角线长为10 cm，两条对角线的一个交角为120，则矩形的边长分别为_ cm，_ cm，_ cm，_ cm.555 35 32.下列说法错误的是（下列说法错误的是（）A.矩形的对角线互相平分。矩形的对角线互相平分。B.矩形的对角线相等。矩形的对角线相等。C.有一个角是直角的四边形是矩形。有一个角是直角的四边形是矩形。D.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。C3.用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面,则每块长方形地砖的长和宽分别是()A.48 cm,12
34、cm B.48 cm,16 cm;C.44 cm,16 cm D.45 cm,15 cm.60cmD4.四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？OABCD答案答案公平，因为公平，因为OA=OC=OB=OD5.5.如图，已知如图，已知BD，CE是是ABC不同边上的高，点不同边上的高，点G，F分别是分别是BC，DE的中点，试说明的中点，试说明GFDE.解：连接EG，DG.BD，CE是ABC的高，BDCBEC90.点G是BC的中点，EG2(1)BC，DG2(1)BC.EGDG.又点F是DE的中点，GFDE.分析：本题的已知
35、条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理矩形的定义：矩形的定义：矩形的性质：矩形的性质：直角三角形的一个性质：直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.第一章 特殊平行四边形第二课时第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定矩形的判定1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点)定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性质角角边边对角线对角线对称性对称性推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半A
36、CBD矩形四个角都四个角都是直角是直角对边平行对边平行且相等且相等互相平分互相平分且相等且相等是轴对称是轴对称图形图形ACB=90AD=BD,12CDAB用上、下一样长,左、右一样长的四根木条,长对长,短对短,首尾相接,做成一个木条框一定是矩形吗?还要满足什么条件?平行四边形一个角是直角矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.几何语言：在 ABCD中,B=90,四边形ABCD是矩形.AB CD有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.下图所示的是一个平行四边形的木条框下图所示的是一个平行四边形的木条框,拉动一对不拉动一对不相邻的顶点相邻的顶点,平行四边形的形状会发生变化平
37、行四边形的形状会发生变化.(2)(2)当两条对角线的长度相等时当两条对角线的长度相等时,平行四边形平行四边形有什么特征有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想由此你能得到一个怎样的猜想?(1)(1)随着随着的变化的变化,两条对角线的长度将两条对角线的长度将发生怎样的变化发生怎样的变化?已知：在ABCD中,AC,DB是它的两条对角线，AC=BD.求证：四边形ABCD是矩形.证明：AB=DC,BC=CB,AC=DB,ABCDCB,ABC=DCB.ABCD,ABC+DCB=180,ABC=90,ABCD是矩形（矩形的定义）.ABDC几何语言：几何语言：在在 ABCDABCD中中,AC=BD,AC=BD
38、,ABCDABCD是矩形是矩形.0有一个角是直角有一个角是直角有两个角是直角有两个角是直角 的四边形是矩形吗？的四边形是矩形吗？有三个角是直角有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 。你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，A=B=C=90A=B=C=90求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形是矩形.A AB BC CD D证明：证明：A=B=90A=B=90,A+B=180A+B=180,ADBC.ADBC.同理可
39、证：同理可证：ABCD,ABCD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形.又又A=90A=90,四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形.例 如图，在如图，在ABCDABCD中中，对角线，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，ABOABO是等边三角形，是等边三角形，AB=4cmAB=4cm，求这个，求这个ABCDABCD的面积的面积.ABC=90.（矩形的四个角是直角）证明：四边形ABCD是平行四边形，OA=OC，OB=OD.又ABO是等边三角形，OA=OB=AB=4，BAC=60.OA=OB=OC=OD=4，AC=BD=2OA=24=8.ABCD是矩形.（对角线相等
40、的平行四边形是矩形）在RtABC中，222ABBCAC2222844 3BCACAB4 4 316 3ABCDSAB BC1.下列说法正确的是()(1)对角线相等的四边形是矩形;(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(3)有一个角是直角的四边形是矩形;(4)有三个角是直角的四边形是矩形;(5)四个角都相等的四边形是矩形;(6)对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形;(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形.A.(1)(2)(3)B.(2)(4)(5)C.(4)(5)(6)D.(3)(4)(7)B2.如图所示,工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行:(1)先截出两对符合规格的铝合金窗框,如
41、图所示,即AB=CD,EF=GH;(2)这时窗框的形状是 ,根据的数学道理是 .平行四边形平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形(3)将直角尺靠紧窗框的一个角将直角尺靠紧窗框的一个角(如图如图)调整窗框的边框，当直角调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图如图)，说明窗框合格。，说明窗框合格。这时窗框是这时窗框是 ，根据的数学，根据的数学道理是道理是 .矩形有一个角是直角的的平行四边形是矩形四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是矩形.3.如图所示,在ABCD中,AB=6,BC=8,AC=10,求证四边
42、形ABCD是矩形.证明:在ABC中，AB=6,BC=8,AC=10,AC2=AB2+BC2,ABC=90.4.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ONOB，再延长OC至M，使CMAN.求证：四边形NDMB为矩形证明：四边形ABCD为平行四边形，AOOC，ODOB.ANCM，ONOB，ONOMODOB，四边形NDMB为平行四边形，MNBD，平行四边形NDMB为矩形5.如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，AE是BAC的外角平分线，DEAB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形证明：ABAC，ADBC，BACB，BDDC.AE是BAC的外角平分线，FA
43、EEAC.BACBFAEEAC，BACBFAEEAC，AECD.又DEAB，四边形AEDB是平行四边形，AE平行且相等BD.又BDDC，AE平行且等于DC，故四边形ADCE是平行四边形.又ADC90，平行四边形ADCE是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定定义定理矩形的判定思路四边形有三个角是直角平行四边形矩形对角线相等一个角是直角矩形第一章 特殊平行四边形第三课时第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定矩形的判定与性质的应用1回顾矩形的性质及判定方法2矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.(
44、难点)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的特殊性质1.矩形的定义（）矩形的四个角都是直角（）矩形的四个角都是直角.（）矩形的对角线相等（）矩形的对角线相等.3.矩形的判定(A)有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.(B)对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形.(C)有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形.4、直角三角形的性质及判定方法角：直角三角形两锐角互余。线段：边角关系：（1）勾股定理：两直角边的平方和等于斜边 的平方。（2）斜边中线的性质：直角三角形斜边中线等于斜边的一半。（1）直
45、角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形中，若直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。ABCD如图，在矩形如图，在矩形ABCD中，中，AD=6，对角线，对角线AC与与BD相相交于点交于点O，AEBD，垂足为，垂足为E，ED=3BE，求，求AE的长的长.分析：由在矩形ABCD中，AEBD于E，BE：ED=1：3，易证得OAB是等边三角形，继而求得BAE的度数，由OAB是等边三角形，求出ADE的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.矩形的性质与判定综合运用矩形的性质与判定综合运用【点评】【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含此题考查了矩形的性
46、质、等边三角形的判定与性质以及含30角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用角的直角三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC，AD是是ABC的一条角平分线，的一条角平分线，AN是是ABC外角外角CAM的平分线，的平分线，CEAN，垂足为点，垂足为点E（1）求证：四边形）求证：四边形ADCE为矩形；为矩形；（2）连接）连接DE，交，交AC于点于点F，请判断，请判断 四边形四边形ABDE的形状，并证明；的形状，并证明；（3）线段）线段DF与与AB有怎样的关系？请直接写出你的有怎样的关系？请直接写出你的结论结论.（
47、1）证明：）证明：在在ABC中，中，AB=AC，AD是是BC边的中线，边的中线，ADBC，BAD=CAD，ADC=90.AN为为ABC的外角的外角CAM的平分线，的平分线，MAN=CAN，DAE=90.CEAN，AEC=90，四边形四边形ADCE为矩形为矩形.（1）求证：四边形）求证：四边形ADCE为矩形；为矩形；分析：分析：由在由在ABC中，中，AB=AC，AD是是BC边的中线，可得边的中线，可得ADBC，BAD=CAD，又由，又由AN为为ABC的外角的外角CAM的平分线，可得的平分线，可得DAE=90，又由，又由CEAN，即可，即可证得四边形证得四边形ADCE为矩形为矩形.解：四边形ABD
48、E是平行四边形，理由如下：由（1）知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD，AC=DE又AB=AC，BD=CD，AB=DE，AE=BD，四边形ABDE是平行四边形.（2）连接）连接DE，交，交AC于点于点F，请判断四边形，请判断四边形ABDE的形状，并证明；的形状，并证明；分析：分析：利用（利用（1）中矩形的对角线相等推知：）中矩形的对角线相等推知：AC=DE；结合；结合已知条件可以推知已知条件可以推知ABDE，又，又AE=BD，则易判定四边形，则易判定四边形ABDE是平行四边形是平行四边形.解：解：DFAB，DF=AB理由如下：理由如下：四边形四边形ADCE为矩形，为矩形，AF=CF.BD=C
49、D，DF是是ABC的中位线，的中位线，DFAB，DF=AB.（3）线段）线段DF与与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论有怎样的关系？请直接写出你的结论.分析：分析：由四边形由四边形ADCE为矩形，可得为矩形，可得AF=CF，又由，又由AD是是BC边的中线，即可得边的中线，即可得DF是是ABC的中位线，则可得的中位线，则可得DFAB，DF=AB.212121【点评】【点评】此题此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用中位线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.如图，在ABC中,AB=A
50、C,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC.（1）求证：ADCECD;（2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形.证明：（1）ABC是等腰三角形,B=ACB.又四边形ABDE是平行四边形,B=EDC,AB=DE,ACB=EDC,ADCECD.ADCEB(2)(2)AB=AC,BD=CD,ADBC,ADC=90.四边形四边形ABDE是平行四边形是平行四边形,AE平行且等于平行且等于BD,即即AE平行且等于平行且等于DC,四边形四边形ADCE是平行四边形是平行四边形,而而ADC=90,四边形四边形ADCE是矩形是矩形.ADCEB例例4：如图所示，在如图所示，在A
