1、章毓晋清华大学电子工程系 100084 北京图象工程章毓晋(TH-EE-IE)第第3 3章章 象素空间关系象素空间关系 3.1 象素间联系3.2 基本坐标变换 3.3 形态变换 3.4 几何失真校正 章毓晋(TH-EE-IE)3.1 象素间联系象素间联系空间排列规律3.1.1 象素的邻域3.1.2象素间的邻接，连接和连通 3.1.3象素间的距离 章毓晋(TH-EE-IE)3.1.1 象素的邻域象素的邻域象素的邻域4-邻域N4(p)：对角邻域ND(p)：8-邻域N8(p)：prrsssrsrprrrrpssss章毓晋(TH-EE-IE)3.1.2 象素间的邻接，连接和连通连接连接和连通和连通（a
2、djacency,邻接）vs.(connectivity,连接)邻接仅考虑象素间的空间关系 两个象素是否连接：(1)是否接触（邻接）(2)灰度值是否满足某个特定的相似准 则（同在一个灰度值集合中取值）章毓晋(TH-EE-IE)3.1.2 象素间的邻接，连接和连通3 3种连接种连接(1)4-连接：2个象素 p 和 r 在V 中取值且 r 在N4(p)中(2)8-连接：2个象素 p 和 r 在V 中取值且 r 在N8(p)中011100000011100000章毓晋(TH-EE-IE)3.1.2 象素间的邻接，连接和连通3 3种连接种连接(3)m-连接（混合连接）：2个象素 p 和 r 在V 中取
3、值且满足下列条件之一 r 在N4(p)中 r 在ND(p)中且集合N4(p)N4(r)是空集（这个集合是由 p 和 r 的在V中取值的4-连接象素组成的）图3.1.2章毓晋(TH-EE-IE)3.1.2 象素间的邻接，连接和连通3 3种连接种连接 混合连接的应用：消除8-连接可能产生的歧义性 原始图 8-连接 m-连接 章毓晋(TH-EE-IE)3.1.2 象素间的邻接，连接和连通连通连通连接是连通的一种特例通路通路由一系列依次连接的象素组成从具有坐标(x,y)的象素p到具有坐标(s,t)的象素q的一条通路由一系列具有坐标(x0,y0)，(x1,y1)，(xn,yn)的独立象素组成。这里(x0
4、,y0)=(x,y)，(xn,yn)=(s,t)，且(xi,yi)与(xi-1,yi-1)邻接，其中1 i n，n为通路长度 4-连通，8-连通 4-通路，8-通路 章毓晋(TH-EE-IE)3.1.2 象素间的邻接，连接和连通象素集合的邻接和连通象素集合的邻接和连通 对2个图象子集 S 和 T 来说，如果S中的一个或一些象素与 T 中的一个或一些象素邻接，则可以说2个图象子集S 和 T 是邻接的完全在一个图象子集中的象素组成的通路上的象素集合构成该图象子集中的一个连通组元如果 S 中只有1个连通组元，即 S 中所有象素都互相连通，则称 S 是一个连通集章毓晋(TH-EE-IE)3.1.3 象
5、素间的距离距离量度函数距离量度函数3个象素p，q，r，坐标(x,y)，(s,t)，(u,v)(1)两个象素之间的距离总是正的(2)距离与起终点的选择无关(3)最短距离是沿直线的)0),(qpqpD当且仅当),(),(pqDqpD),(),(),(rqDqpDrpD0),(qpD章毓晋(TH-EE-IE)3.1.3 象素间的距离距离量度函数距离量度函数(1)欧氏（Euclidean）距离(2)城区（city-block）距离(3)棋盘（chessboard）距离2/1 22E)()(),(tysxqpD ),(4tysxqpD),(max),(8tysxqpD章毓晋(TH-EE-IE)3.1.3
6、 象素间的距离距离量度函数距离量度函数等距离轮廓图案等距离轮廓图案 图3.1.4D4距离D8距离22122101221222222221112210122111222222章毓晋(TH-EE-IE)3.1.3 象素间的距离距离量度函数距离量度函数距离计算示例距离计算示例DE=5 D4=7 D8=4章毓晋(TH-EE-IE)3.1.3 象素间的距离范数和距离范数和距离 wwwdxxff/1)(wwwwtysxqpD/1),(章毓晋(TH-EE-IE)3.1.3 象素间的距离用距离定义邻域用距离定义邻域考虑在空间点(xp,yp)的象素 p4-邻域N4(p)8-邻域N8(p)1),()(44rpDr
7、pN1),()(88rpDrpN章毓晋(TH-EE-IE)3.2 基本坐标变换基本坐标变换3.2.1图象坐标变换 3.2.2坐标变换讨论章毓晋(TH-EE-IE)3.2.1 图象坐标变换坐标坐标变换示例：变换示例：平移变换 000 ZZZYYYXXX1 100010001000ZYXZYXZ Y X 1 10001000100011000ZYXZYXZYX章毓晋(TH-EE-IE)3.2.1 图象坐标变换平移变换的矩阵表达 Avv T1ZYXvT1 ZYXv1000100010001000ZYXT章毓晋(TH-EE-IE)3.2.1 图象坐标变换旋转变换（绕旋转变换（绕X轴，轴，Y轴，轴，Z轴
8、）轴）10000cossin00sincos00001R10000cos0sin00100sin0cosR1000010000cossin00sincosR章毓晋(TH-EE-IE)3.2.2 坐标变换讨论变换级连变换级连对一个坐标为 v 的点的平移、放缩、绕 Z 轴旋转变换可表示为：用单个变换矩阵的方法可对点矩阵v 变换 这些矩阵的运算次序一般不可互换AvTvSRv)(章毓晋(TH-EE-IE)3.2.2 坐标变换讨论变换变换的推广的推广3-点映射变换：将一个三角形映射为另一个三角形，而将一个矩形映射为一个平行四边形 拉伸（stretch）和剪切（shearing）变换 章毓晋(TH-EE-
9、IE)3.2.2 坐标变换讨论坐标坐标变换变换 反变换 1001001001yxT1000100011yxSSS1000)cos()sin(0)sin()cos(1R章毓晋(TH-EE-IE)3.3 形态变换形态变换3.3.1变换体系3.3.2一般仿射变换3.3.3特殊仿射变换3.3.4变换的层次3.3.5仿射变换的另一种描述方案章毓晋(TH-EE-IE)3.3.1 变换体系形态变换形态变换将平面区域映射到平面区域(1)将一个组合区域映射为另一个组合区域(2)将单个区域映射为一个组合区域(3)将一个组合区域映射为单个区域分层分类 图3.3.1 章毓晋(TH-EE-IE)3.3.1 变换体系投影
10、变换投影变换仿射（affine）变换常看作是一种特殊的投影（projective）变换q=Hp zyxzyxppphhhhhhhhhqqq333231232221131211章毓晋(TH-EE-IE)3.3.1 变换体系投影变换投影变换通用的非奇异齐次线性变换A是一个22的非奇异矩阵，t是一个21的矢量，而矢量v=v1,v2T 变换可用8个独立的参数表示一个投影变换共有8个自由度（degrees of freedom，dof），可根据4组点的对应性来计算 pvtApHquTP章毓晋(TH-EE-IE)3.3.2 一般仿射变换 仿射仿射变换变换一个非奇异线性变换接上一个平移变换一个平面上的仿射变
11、换有6个自由度 1100122211211yxyxyxpptaataaqqp0tApHq1TA章毓晋(TH-EE-IE)3.3.2 一般仿射变换 仿射仿射变换变换线性分量A可考虑成两个基本变换的组合：旋转和非各向同性放缩：)()()(DRRRA2100D章毓晋(TH-EE-IE)3.3.2 一般仿射变换 仿射仿射变换变换性质：(1)仿射变换将有限点映射为有限点(2)仿射变换将直线映射为直线(3)仿射变换将平行直线映射为平行直线(4)当区域P和Q是没有退化的三角形（即面积不为零），那么存在一个唯一的仿射变换A可将P映射为Q，即Q=A(P)章毓晋(TH-EE-IE)3.3.3 特殊仿射变换 1.相
12、似变换相似变换s(0)表示各向同性放缩，R是一个特殊的2 2正交矩阵（RTR=RRT=I），对应这里的旋转。典型特例为纯旋转（此时t=0）和纯平移（此时R=I）1100cossinsincos1yxyxyxpptsstssqqp0tRpHq1TSs章毓晋(TH-EE-IE)3.3.3 特殊仿射变换 1.相似变换相似变换保形性（保持形状）或保角性 相似变换可以保持两条曲线在交点处的角度 平面上的相似变换有4个自由度，所以可根据2组点的对应性来计算（没有非各向同性放缩）01234-1-2-3-4-55-5-4-3-2-1012345章毓晋(TH-EE-IE)3.3.3 特殊仿射变换 2.刚体变换刚
13、体变换刚体变换T能保持区域中两个点间的所有距离给定两个点p1,p2 P，距离d1,2=dist(p1,p2)，那么必有distT(p1),T(p2)=d1,2 相似变换中的 s=1 01234-1-2-3-4-55-5-4-3-2-1012345章毓晋(TH-EE-IE)3.3.3 特殊仿射变换 3.欧氏变换欧氏变换欧氏变换可表达刚体的运动（平移和旋转的组合）。一个欧氏运动是先旋转（可看作特殊的正交变换）后平移的组合所有区域都可以认为是全等的 01234-1-2-3-4-55-5-4-3-2-1012345章毓晋(TH-EE-IE)3.3.3 特殊仿射变换 4.等距变换等距变换刚体变换和欧氏变
14、换可集合在等距变换之下等距（isometry）指在2-D空间保持欧氏距离（iso表示相同，metric表示测度）e=1，那么等距还能保持朝向且是欧氏变换。e=1，将反转朝向，即变换矩阵相当于一个镜像与一个欧氏变换的组合 1100cossinsincos1yxteeteeyxyxp0tRpq1TIH章毓晋(TH-EE-IE)3.3.4 变换的层次 平行的直线变平行的直线变 成会聚的直线成会聚的直线 圆环变成椭圆圆环变成椭圆 平行或垂直的平行或垂直的 直线仍具有相直线仍具有相 同的相对朝向同的相对朝向 圆环和正方形圆环和正方形 都不变化形状都不变化形状 仿射变换相似变换章毓晋(TH-EE-IE)3
15、.4 几何失真校正几何失真校正 3.4.1空间变换对图象平面上的象素进行重新排列以恢复原空间关系 3.4.2灰度插值对空间变换后的象素赋予相应的灰度值以恢复原位置的灰度值 章毓晋(TH-EE-IE)模型模型图象f(x,y)受几何形变的影响变成失真图象 g(x,y)线性失真线性失真（非线性）二次失真（非线性）二次失真 3.4.1 空间变换),(yxsx),(yxty 321),(kykxkyxs654),(kykxkyxt26524321),(ykxykxkykxkkyxs21211210987),(ykxykxkykxkkyxt章毓晋(TH-EE-IE)约束对应点方法约束对应点方法在输入图（失
16、真图）和输出图（校正图）上找一些其位置确切知道的点，然后利用这些点建立两幅图间其它点空间位置的对应关系 选取四边形顶点四组对应点解八个系数 3.4.1 空间变换 4321kxykykxkx8765kxykykxkyg(x,y)章毓晋(TH-EE-IE)w用整数处的象素值来计算在非整数处的象素值w(x,y)总是整数，但(x,y)值可能不是整数 最近邻插值最近邻插值 也常称为零阶插值 将离(x,y)点最近的象素的灰度值作为(x,y)点的灰度值赋给原图(x,y)处象素 3.4.2 灰度插值 空间变换灰度赋值x,yx,yg最近邻()()()x,yx,y()f章毓晋(TH-EE-IE)前向映射前向映射
17、一个失真图的象素映射到不失真图的四个象素之间最后灰度是由许多失真图象素的贡献之和决定 3.4.2 灰度插值 前向映射x,yx,yg()()()x,yx,y()f(a)章毓晋(TH-EE-IE)后向映射后向映射 实际失真图中四个象素之间的位置对应不失真图的某个象素，则先根据插值算法计算出该位置的灰度，再将其映射给不失真图的对应象素 3.4.2 灰度插值 后向映射x,yx,yg()()()x,yx,y()f(b)章毓晋(TH-EE-IE)双线性插值双线性插值 利用(x,y)点的四个最近邻象素A、B、C、D，灰度值分别为g(A)、g(B)、g(C)、g(D)3.4.2 灰度插值 AECBDFXY(a)x,y()()()()()(AgAgBgixEg)()()()()(CgCgDgixFg)()()()(),(EgEgFgjyyxg章毓晋(TH-EE-IE)F 通信地址：北京清华大学电子工程系F 邮政编码：100084F 办公地址：清华大学东主楼，9区307室F 办公电话：(010)62781430F 传真号码：(010)62770317F 电子邮件：F 个人主页： 实验室网：联联 系系 信信 息息
