1、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 1 - 武汉市部分重点中学武汉市部分重点中学 20192019- -20202020 学年度下学期高一期中测试学年度下学期高一期中测试 数学试卷数学试卷 全卷分第全卷分第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分卷（非选择题）两部分. .共共 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟. . 第第卷（选择题共卷（选择题共 8080 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四
2、个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. . 1.在数列 n a中， 1 1 4 a ， 1 1 1(1) n n an a ，则 2019 a的值为（ ） A. 4 5 B. 1 4 C. 5 D. 以上都不 对 【答案】A 【解析】 【分析】 列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得 2019 a的值. 【详解】依题意 2341 123 11411 15,1,1 54 aaaa aaa ，故数列是周期为3的 周期数列，故 20193 4 5 aa，故选 A. 【点睛】本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题. 2.向量(2, )at，( 1,3
3、)b ，若a，b的夹角为钝角，则t的范围是（ ） A. 2 3 t B. 2 3 t C. 2 3 t 且6t D. 6t 【答案】C 【解析】 【分析】 若a，b的夹角为钝角，则0ab 且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解. 【详解】若a，b的夹角为钝角，则0ab 且不反向共线， 230abt ，得 2 3 t . 向量2,at，1,3b 共线时，2 3t ，得6t .此时2ab . 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 2 - 所以 2 3 t 且6t . 故选 C. 【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为 0，容易忽视反 向共线时，属于
4、易错题. 3.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos(2)coscaBabA，则 ABC为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 余弦定理得 222222 cos,cos 22 cbacab AB bcac 代入原式得 222222222222222 2, 22222 cabcbacbacabcba a cbccacbc 解得 222 0abcab或 则形状为等腰或直角三角形,选 D. 点睛：判断三角形形状的方法 化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状 化角：通过三角恒等变形，得
5、出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用 ABC这个结论 4.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所 得与下三人等问各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两 人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各 得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，甲所得为（ ） A. 5 4 钱 B. 4 3 钱 C. 3 2 钱 D. 5 3 钱 【答案】B 【解析】 设 甲 、 乙 、 丙 、 丁 、 戊 所 得 钱 分 别 为2 , ,2ad ad a ad ad, 则 高考资源网（）
6、您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 3 - 22adadaadad,解得6ad,又 225,adadaadad 1a=,则 44 22 633 a adaa ,故选 B. 5.已知平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a(a+2b),则向量b在向量a方向上的投影为 ( ) A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据向量垂直得到a(a+2b),=0，化简得到a b=2，再根据投影的定义即可求出 【详解】平面向量a,b是非零向量,|a|=2,a(a+2b), a(a+2b),=0， 即 2 20aab 即a b=2 向量b在向量a方向上的投影为 2 2
7、 a b a =1， 故选 B 【点睛】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用解答关 键在于要求熟练应用公式 6.已知ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2cos2bCa c，若3b， 则ABC的外接圆面积为（ ） A. 48 B. 12 C. 12 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 4 - 先化简得 2 3 B ，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得ABC的外接圆面积. 【详解】由题得 222 22 2 abc bac ab ， 所以 2222 2abcaac， 所以 222 abcac ，
8、 所以 1 2cos,cosB 2 acBac , 所以 2 3 B . 由正弦定理得 3 =2 ,3 3 2 RR 所以ABC的外接圆面积为 2 3 =3 . 故选 D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水 平和分析推理能力. 7.已知数列an中，ann 2kn(nN N*)，且a n单调递增，则 k 的取值范围是( ) A. (，2 B. (，2) C. (，3 D. (，3) 【答案】D 【解析】 【分析】 根据函数的单调性可得 an+1an0 对于 nN *恒成立，建立关系式，解之即可求出 k 的取值范 围 【详解】数列an中 2* n an
9、kn nN ，且an单调递增 an+1an0 对于 nN *恒成立即（n+1）2k（n+1）（n2kn）=2n+1k0 对于 nN*恒 成立 k2n+1 对于 nN *恒成立，即 k3 故选 D 【点睛】本题主要考查了数列的性质，本题易错误地求导或把它当成二次函数来求解，注意 n 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 5 - 的取值是解题的关键，属于易错题 8.在ABC中， 已知,2,60ax bB， 如果ABC有两组解， 则x的取值范围是( ) A. 4 3 2 3 ， B. 4 3 2 3 ， C. 4 3 2 3 ， D. 4 3 2, 3 【答案】A 【解析】 【分
10、析】 已知, ,a b B，若ABC有两组解，则sinaBba，可解得x的取值范围. 【详解】由已知可得sinaBba，则sin602xx，解得 4 3 2 3 x.故选 A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC中，已知, ,a b B且B为锐角，若0sinbaB，则无解；若sinbaB或ba， 则有一解；若sinaBba，则有两解. 9.一艘海轮从A处出发，以每小时 60 海里的速度沿南偏东 15的方向直线航行，20 分钟后 到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察此灯塔，其方向是南偏东 60，在B处观察， 灯塔在其正东方向，那么B，C
11、两点间的距离是（ ） A. 10 2海里 B. 10 3海里 C. 20 2海里 D. 20 3海 里 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意画出图形，利用正弦定理即可直接得解. 【详解】如图所示，易知，在ABC中，20AB 海里，45CAB，30ACB， 根据正弦定理得 sin45sin30 BCAB ，解得 20 2BC （海里） 故选：C. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 6 - 【点睛】本题考查了正弦定理的实际应用，关键是转化出条件，属于基础题. 10.若|1OA ，|3OB ， 0OA OB ，点C在AB上，且30AOC ，设 OCmOA nOB ( ,)m
12、 nR ，则 m n 的值为（ ） A. 1 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量的数量积运算即可算出 【详解】解：30AOC 3 cos, 2 OC OA 3 2 OC OA OC OA 3 2 mOAnOBOA mOAnOB OA 2 22 22 3 2 2 m OAnOB OA m OAmnOA OBn OBOA 1OA ，3OB ， 0OA OB 22 3 2 3 m mn 22 9mn 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 7 - 又C在AB上 0m，0n 3 m n 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，
13、向量的基本定理的应用及向量共线定理等 知识的综合应用 11.若等差数列 n a的公差0d ，前n项和为 n S，若 * nN ，都有 10n SS，则（ ） A. 0d B. 910 0aa C. 217 SS D. 19 0S 【答案】D 【解析】 【分析】 由 * nN ，都有 10n SS，可得 1011 0,0,0daa，再根据等差数列的性质即可判断. 【详解】等差数列 n a的公差0d ， * nN ，都有 10n SS， 1011 0,0aa， 119 10 1910 1919 2 190 22 aaa Sa . 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题. 12.给定
14、两个单位向量OA，OB， 且 3 2 O A O B， 点C在以O为圆心的圆弧AB上运动， OCxOAyOB，则3xy的最小值为（ ） A. 3 B. 1 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 给定两个单位向量OA，OB，且 3 2 OA OB 则 5 6 AOB ， 建立如图所示的坐标系， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 8 - 则 A（1，0） ，B（cos150，sin150） ，即 3 1 , 22 B 设AOC= 5 , 0 6 ，则 cos ,sinOC因OCxOAyOB则 3 cos cos3sin 2 , 12sin sin 2 xy x y y
15、， 所以3xy=3 cos3sin2sin3cossin2sin 3 因为 5 0 6 ， 71 sin,131,2 33632 xy 所以 3xy有最小值-1. 故选 B 第第卷（非选择题共卷（非选择题共 7070 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. . 13.下列命题中正确的有_.(填序号) 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； 若 =ab，则a b ； 若AB DC ，则, ,A B C D四点构成平行四边形； 在ABCD中，一定有AB DC ； 若a b ，b c ，则ac； 若 /a b，
16、/b c，则 /a c； 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 9 - 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案. 【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点 和终点，故不正确； =ab,由于 a与b方向不确定，所以 a与b不一定相等，故不正确； ABDC ，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以不正确； 在ABCD中，,/ABCD AB CD,所以一定有AB DC ，所以正确；显然正确； 零向量与任一向量平行，故 /a b，/b c时，若0b ，则a与c不一定平行，故不正确 故答案为：. 【点睛】本
17、题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方 面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题. 14.ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若ABC的面积为 222 3 4 abc ，则 A _. 【答案】 2 3 （或120） 【解析】 【分析】 由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解 【详解】解：由余弦定理可得a 2b2c22bccosA， ABC的面积为 222 3 4 abc 3 cos 2 bcA， 又因为SABC 1 sin 2 bcA 3 cos 2 bcA， 所以 tanA3， 由A（0，）可得A 2 3
18、高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 10 - 故答案为： 2 3 . 【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题 15.设 n S是数列 n a的前n项和，且 1 1a ， 11nnn aS S ，则 2020 S_ 【答案】 1 2020 【解析】 【分析】 代入 11nnn aSS ,再证明 1 n S 为等差数列,继而求得 1 n S 的通项公式再计算 2020 S即可. 【详解】因为 11nnn aS S ,所以, 11nnnn SSS S , 即： 1 11 1 nn SS ,所以,数列 1 n S 是以 1 为首项,1 为公差的等
19、差数列, 所以, 1 n S 1（n1）1n,所以, 1 n S n ,所以, 2020 1 2020 S 故答案为： 1 2020 【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题. 16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 222 sinsinsinsinsinACBAC，若ABC的面积为 3 3 4 ，则当ac的值最小时 ABC的周长为_ 【答案】3 3 【解析】 由 222 sinsinsinsin sinACBAC及正弦定理可得 222 acbac， 所以由余弦定理的推论可得 222 1 cos 222 acbac B acac ，因为0B，所以 3
20、 B 因为ABC的面积为 3 3 4 ，所以 1133 3 sinsin 22344 acBacac ，即3ac ， 所以22 3acac，当且仅当3ac时取等号，所以ac的最小值为2 3， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 11 - 此时ac， 3 B ，所以ABC是等边三角形，故ac的值最小时ABC的周长为3 3 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 个小题，共个小题，共 7070 分分. .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. . 17.已知a，b，c在同一平面内，且1,2a r . （1）若| 2 5c ，且
21、/ /ca rr ，求c； （2）若 5 | 2 b ，且 22abab，求a与b的夹角. 【答案】 （1）(2,4)c 或( 2, 4)c （2）. 【解析】 【分析】 （1）设,cx y，根据/ /ca，得到 20 xy，再根据| 2 5c ，建立方程组求解. （2） 根据 22abab ， 得到(2 ) (2)0abab， 结合 2 |5a， 5 | 2 b ， 求得a b， 再求夹角. 【详解】 （1）设,cx y，/ /ca，(1,2)a ， 20 xy，2yx， | 2 5c ， 22 2 5xy， 22 20 xy，即 22 420 xx， 2 4 x y ，或 2 4 x y
22、(2,4)c 或( 2, 4)c . （2） 22abab ， (2 ) (2)0abab， 22 2320aa bb ， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 12 - 即 22 2|32|0aa bb 又 2 |5a， 22 55 |() 24 b， 5 2 5320 4 a b ， 5 2 a b ， |5a ， 5 | 2 b 5 2 cos1 | |5 5 2 a b ab 0,，. 【点睛】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18.在ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，且 cos cos2 Bb Cac （
23、1）求B的大小； （2）若13,4bac，求ABC的面积 【答案】 （1） 2 3 B （2） 13 sin3. 24 ABC SacB 【解析】 试题分析： （）先由正弦定理将三角形的边角关系转化为角角关系，再利用两角和的正弦公 式和诱导公式进行求解； （）先利用余弦定理求出3ac ，再利用三角形的面积公式进行求 解. 试题解析： （）由 cos cos2 Bb Cac cossin cos2sinsin BB CAC 2sin coscos sinsin cosABBCBC 2sin coscos sinsin cosABBCBC 2sin cossinABBC 2sin cossinAB
24、A 1 cos 2 B 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 13 - 又0B ，所以 2 3 B . （）由余弦定理有 2 222 2 2cos22cos 3 bacacBacacac ，解得 3ac ，所以 13 3 sin 24 ABC SacB 点睛：在利用余弦定理进行求解时，往往利用整体思想，可减少计算量，若本题中的 2 222 2 2cos22cos 3 bacacBacacac. 19.设 n S为等差数列 n a的前n项和， 3 10a ， 11 11S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）求 n S的最大值及此时n的值. 【答案】 （1）319 n
25、an ； （2）当6n时， n S有最大值为 6 51S 【解析】 【分析】 （1）根据已知条件列出关于 1, a d的方程组，求解出 1, a d即可求出通项公式； （2）利用0d 对应 n a为递减等差数列，根据 1 0 0 n n a a 确定出n的取值，从而 n S的最大 值以及取最大值时n的值都可求. 【详解】 （1）设 n a的公差为d，由 3 10a 可得 1 210ad，由 11 11S可得 1 115511ad， 所以 1 1 210 51 ad ad ，所以 1 16 3 a d ， 所以16(1) ( 3)319 n ann ； （2）由 1 3190 3160 n n
26、an an ，解得 1619 33 n， 所以当6n时， n S有最大值，此时最大值为 6 51S . 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及前n项和的综合应用，难度较易.其中第二问还可以 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 14 - 先将 n S的表达式求解出来， 然后根据二次函数的对称轴以及开口方向亦可确定出 n S的最大值 以及取最大值时n的值. 20.已知向量 33 cos,sin 22 xx a ，cos, sin 22 xx b 且0, 2 x . （1）求a b 及ab； （2）若 3sinf xa babx，求 f x的最大值和最小值. 【答案】 （1）2
27、,2cosa bcos x abx （2） min2f x ； max1f x 【解析】 试题分析： ()由平面向量数量积的坐标运算法则可得： cos2a bx ， 2cosabx. ()首先化简函数的解析式，然后结合三角函数的性质可得 min2f x ； max1f x. 试题解析： （1） 33 coscossinsincos2 2222 xxxx a bx 2 22cos24cosabxx 0, 2 x cos0 x 2cosabx （2）由（1）知： cos23 2cossinf xxxx cos23sin22cos 2 3 xxx 0, 2 x 4 2, 333 x 1 cos 21
28、, 32 x min22 33 xxf x当即时， max2=01 33 xxf x 当即时， 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 15 - 21.在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， sinsin tan coscos BC A BC . （1）求角A的大小； （2）若3a ，求 22 bc的取值范围. 【答案】(1) 3 A ； (2) (5,6. 【解析】 【分析】 （1）利用两角和差的正弦公式进行化简即可，求角 A 的大小； （2） 先求得 B+C= 2 3 ， 根据 B、 C 都是锐角求出 B 的范围， 由正弦定理得到 b=2sinB
29、， c=2sinC， 根据 b 2+c2=4+2sin（2B 6 ） 及 B 的范围，得 1 2 sin（2B 6 ）1，从而得到 b 2+c2的 范围 【详解】 （1）由 sinA cosA = sinBsinC cosBcosC 得 sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC， 即 sin（AB）=sin（CA） ， 则 AB = CA，即 2A=C+B， 即 A= 3 . （2）当 a=3时，B+C= 2 3 ，C= 2 3 B由题意得 2 2 0 32 B B ， 6 B 2 由 abc sinAsinBsinC =2，得 b=2sinB，c=2sinC，
30、b 2+c2=4 （sin2B+sin2C）=4+2sin（2B 6 ） 6 B 2 ， 1 2 sin（2B 6 ）1，12sin（2B 6 ）2 5b 2+c26 故 22 bc的取值范围是 5,6. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦定理的应用，其中判断 sin（2B 6 ）的取值范 围是本题的难点 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 16 - 22.已知数列 n a各项均为正数， n S为其前n项的和，且 2* , nnn a SanN成等差数列. （1）写出 1 a、 2 a、 3 a的值，并猜想数列 n a的通项公式 n a； （2）证明（1）中的猜想；
31、 （3）设102 nn ba， n T为数列| n b 的前n项和，求 n T. 【答案】（1） 1 1a ， 2 2a ， 3 3a ， 猜想 n an（2） 证明见解析 （3） 2 2 9 ,15 940,6 n nnn T nnn 【解析】 【分析】 （1）由 2 2 nn n aa S ，分别令 1,2,3nnn 求解，猜想 n an. （2）利用数列的通项与前n项和的关系证明，分2n和1n 两种情况讨论. （3）根据102 n bn，分15n和6n两种情况讨论求解. 详解】 （1）由已知 2 2 nn n aa S 所以 1 1a ， 2 2a ， 3 3a ， 猜想 n an. （
32、2）证明当2n时， 2 2 nn n aa S ， 2 11 1 2 nn n aa S 所以 22 11 1 22 nnnn nnn aaaa aSS 得 11 10 nnnn aaaa ， 因为 * 0 n anN ，所以 1 1 nn aa 数列 n a等差数列， 又由（1） 1 1a ， 2 2a 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 17 - 所以 * n an nN. （3）102 n bn， 当15n时， 12 12 8 102 .9 22 n nn n bbnn Tbbbnn 当6n时， 2 125612516 .2.940 nnn Tbbbbbbbbbbbnn 2 2 9 ,15 940,6 n nnn T nnn . 【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系以及等差数列的求和公式，还考查了运 算求解的能力，属于中档题. 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网 - 18 -
