1、 学校_ 班级_ 姓名_密 封 线 内 不 能 答 题房山区 20222023学年度第一学期诊断性评价九 年 级 数 学本试卷共8页，共100分，考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1如图，在中，DEBC，如果，那么的值为（A）4（B）6（C）8（D）2如图，在中，如果，那么cos的值为（A）（B）（C）（D） 3. 把二次函数变形为的形式，下列变形正确的是（A）（B）（C）（D）4. 如图，A，B，C是O上的三个点，如果BAC
2、= 25，那么BOC的度数是（A）35 （B）45 （C）50 （D）605河堤的横断面如图所示，堤高BC为5 m，迎水坡AB的长是13 m，那么斜坡AB的坡度i是（A）13（B）12.6（C）12.4（D）126点()，()是反比例函数的图象上的两点，如果，那么，的大小关系是（A）（B）（C）（D）7道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料. 图中的管道中心线 的长为（单位：m）（A） （B） （C） （D）8如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动，设
3、运动时间为t秒，以AB为直径作圆，圆心为点P . 在运动的过程中有如下5个结论：ABO的大小始终不变；P始终经过原点O；半径AP的长是时间t的一次函数；圆心P的运动轨迹是一条抛物线；AB始终平行于直线. 其中正确的有（A） （B） （C） （D）二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9二次函数图象的顶点坐标为 .10如图，平面直角坐标系中，若反比例函数（k 0）的图象过点A和点B，则a的值为 . （第10题图） （第11题图）11在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则sinABC为 12平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴只有一个交点，则的值为 . （第13题图） （第14题图）
4、13丽丽的圆形镜子摔碎了，她想买一个同样大小的镜子为了测算圆形镜子的半径，如图，她将直角三角尺的直角顶点C放在破损的圆形镜子的圆框上，两直角边分别与圆框交于A，B两点，测得CA为8 cm，CB为6 cm，则该圆形镜子的半径是 cm .14如图，在矩形ABCD中，若AB = 2，BC = 4，且，则EF的长为 15九章算术是中国传统数学重要的著作之一，其中卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步.16在平面直角坐
5、标系xOy中，以点P ( t，0 )为圆心，单位长1为半径的圆与直线相切于点M，直线与y轴交于点N，当MN取得最小值时，k的值为 .三、解答题（本题共12道小题，共68分17，18，20，21每题5分；其余每题6分） 17计算： .18抛物线过点（0，3）和（2，1）.（1）求b，c的值；（2）直接写出当x取何值时，函数y随x的增大而增大19如图，ABC中，AB = AC = 5，sinABC =.（1）求BC的长.（2）BE是AC边上的高，请你补全图形，并求BE的长.20下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程.已知：如图，O及O外一点P.求作：过点P的O的切线PD（
6、D为切点）.作法：连接PO与O交于点A，延长PO与O交于点B； 以点O为圆心，AB长为半径作弧；以点P为圆心，PO长为半径作弧，在PO上方两弧交于点C； 连接OC，PC，OC与O交于点D； 作直线PD.则直线PD即为所求作的O的切线.请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成以下证明过程：证明：由作图可知，OC = AB，PC = PO， 点 为线段CO中点， PDOC（ ）（填写推理依据） 又点D在O上， PD是O切线（ ）（填写推理依据）21如图，割线PB与O交于点A，B，割线PC过圆心O，且CPB =30若PC =13，O的半径OA
7、= 5，求弦AB的长22 中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底 一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度如图，在点C处用高1.5 m的测角仪CD测得塔尖A的仰角为37，向塔的方向前进128 m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45，请你求出中央电视塔AB的高度（结果精确到1 m）（参考数据：）23在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生. 如图23-1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文
8、物原貌口径的尺寸. 如图23-2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形. 碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8 cm，弧中点到弦的距离为2 cm设弧AB所在圆的圆心为O，半径OCAB于D，连接OB求这个盏口半径OB的长（精确到0.1cm） 图 23-1 图 23-2 24如图，平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点A（1，4），一次函数y=x + 2的图象与反比例函数的图象交于点B.（1）求m的值；（2）点是图象上任意一点，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，过点C作x轴的垂线交直线y=x + 2于点E. 当2时，判断CD与CE的数量关系，并说明理由； 当CEC
9、D时，直接写出的取值范围.25如图，AB是O的直径，直线MC与O相切于点C. 过点B作BDMC于D，线段BD与O相交于点E.（1）求证：BC 是ABD的平分线；（2）若AB = 10，BE = 6，求BC的长. 26在平面直角坐标系中，已知抛物线. （1）求抛物线的对称轴； （2）抛物线上存在两点A（2t，)，B（22t，)，若，请判断此时抛物线有最高点还是最低点，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线上有三点（1，m)，（2，n)，（5，p)，当mnp0时，求a的取值范围.27已知ABC为等腰直角三角形，BAC = 90，AB = 2点D为平面上一点，使得BDA = 90点P为BC中点，
10、连接DP （1）如图，点D为ABC内一点猜想BDP的大小；写出线段AD，BD，PD之间的数量关系，并证明；（2）直接写出线段CD的最大值28在平面直角坐标系xOy中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以AB为直径作M. 取线段AB下方的抛物线部分和线段AB上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段AB叫做“横径”，线段AB的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”.（1）已知抛物线.若点A横坐标为2，则得到的“抛物圆”的“横径”长为
11、 ，“纵径”长为 ；若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；（2）已知抛物线，若点A在直线上，求“抛物圆”的“扁度”不超过3时a的取值范围.房山区2022-2023学年度第一学期诊断性评价九年级数学参考答案一、 选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）二、12345678BADCCBBD二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 910111213141516（-1，-2）156三、解答题（本题共68分17，18，20，21每题5分；其余每题6分） 17. 解：原式= 2 + 3分= 4分= 1 5分18. 解：（1） c=-3-4+
12、2b+c=1 2分 解得c=-3b=4 3分 （2） 时，函数y随x的增大而增大 5分19 . 解： （1）过点A作ADBC于D 1分 sin AD=AB sinABC =5= 2 2分 BD =AB = AC BC = 2BD = 2 3分 （2）补全图形 4分AB = AC ACB=ABC 5分sinACB=sinABC=BEAC于EsinBE =BC sinECB = 2=6分注：其它解法参照给分20（1）补全图形 2分（2）点 D 为线段CO中点， 3分PDOC，（ 等腰三角形底边高与底边中线互相重合）4分又点D在O上， PD是O切线（ 经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切
13、线） 5分21解：过点O作ODAB于D 1分AB = 2AD 2分PC =13，O的半径OC =OA = 5 PO = 135= 8 CPB =30OD = 8 = 4 3分 4分AB = 2 3 = 6 5分22解：由题意得，BG = CD = 1.5 m，DE = CF = 128 m 1分RtAGE中，AEG =EAG = 45 2分设在RtAGD中， 3分则AG=DG tanADG = DG tan37 4分解得： 5分则（m） 答：中央电视塔AB的高度为386 m . 6分注：其它解法参照给分23解：O中，半径OCAB于D 12.8 = 6.4， 2分弧中点到弦的距离为2 cmCD
14、= 2 cm 3分设O半径为R，则OD = OCCD =R2 在RtOBD中，由勾股定理得：即R2 = 6.42 + (R2)2 5分 解得：R = 11.24 即OB =11.2411.2（cm）答：盏口半径OB的长为11.2 cm. 6分24（1）将A（1，4）代入中，m = -14 = -4即m值为 -4 1分（2）猜想：CD =CE 2分证明：反比例函数为 点C（-2，2） 得D（0，2） CD = 2 3分 将x = -2代入y=+2中得y = 4， 点E（-2，4） CE = 2 4分 CD=CE xC-2 或 -1 xC0 6分25.（1）证明：连接OC直线MC与O相切于点COC
15、MD 1分BDMCOCBDOCB =CBD 2分OC = OBOCB =OBCCBD =OBC BC是ABD的平分线 3分（2）连接AE，与OC交于点F 4分AB是O的直径，点E在O上AEB=90 AB =10，BE =6在RtABE中，由勾股定理得AE =8 5分OCBD，AEB=90OCAEFE= ，OF为ABE的中位线OF= ，CF=OC-OF = 5-3 =2BDMD，OCMD，AEB=90可得四边形CDEF是矩形 CD =FE =4，DE =CF =2 BD = 6+2 =8在RtCDB中，由勾股定理可得CB = 6分注：其它解法参照给分26.（1）此抛物线对称轴为： 1分（2）判断
16、：此抛物线有最高点. 2分理由如下：由y1y2可知，t0.点A（2-t，)到对称轴x=2的距离为，点 B（22t，)到对称轴x=2的距离为， 点A到对称轴的距离比点B近 3分 此抛物线开口向下 4分 此抛物线有最高点. （3） 在（2）的前提下，a 0 5分 由表达式可知点（0，3）在抛物线上点（5，p）关于对称轴的对称点为（-1，p）（-1，p），（0，3），（1，m），（2，n) 这四个点都在抛物线左半支上-1 0 1 2，y随x的增大而增大所以p 3 m n，根据mnp0，得到p0把x = -1代入表达式，得a+4a+30，解得a- a 0 a的取值范围为- a 0 . 6分 注：其它解
17、法参照给分27.（1）猜想：BDP=45 1分 数量关系：BD =AD +PD 2分 证明：如图，连接AP交BD于点E. 3分 ABC为等腰直角三角形，点P为BC中点，APBC，AP=BP=BC，BAP=45BDA = 90又BEP=AEDBEPAED，又BEA=PEDABEDPE，BDP =BAP = 45 过点P作PFPD交BD于点FPF =PD，1 +2 =90，FD =DPAPBC，2 +3=903=1BFPADP， 4分 BF =ADBD=BF+FDBD=AD+PD 5分注：其它解法参照给分（2）CD的最大值为 6分28.（1）“横径”长为4, “纵径”长为6 2分抛物线，点A横坐标为t 点A（t，），点B（-t，）（t0）此时横径长为-2t，纵径长为-t， 3分 扁度为2 得 t = -3 4分（2）点A既在抛物线上，又在直线上解得点A坐标为（-a，4a2+a） 5分又抛物线的顶点为（a，a），点A在对称轴左侧-aa 得a0由点A坐标得点B坐标为（3a，4a2+a）横径为4a ，纵径为 4a2 + 2a 得 “抛物圆”的“扁度”不超过3 3, 解得a a0 0a 6分九年级数学试卷第13页（共16页） 九年级数学试卷第14页（共16页）
