1、栏目索引 课题课题8 8 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 一元二次方程的相关概念及解法 考点二 一元二次方程的解法 考点三 一元二次方程中根与系数的关系 考点四 一元二次方程的应用 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查一元二次方程的相关概念及解法 题型二 考查一元二次方程的根与系数的关系 题型三 考查一元二次方程的应用 栏目索引 总纲目录 易错一 识别一元二次方程时忽略了二次项 系数不能为0的条件 易错二 在利用根与系数的关系时忽略了一 元二次方程有实数根的条件 易错三 在利用根的判别式求范围时忽略一元 二次
2、方程中二次项系数不为0的条件 易混易错突破易混易错突破 易错四 忽略实际问题中检验所得解的合理 性 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 1.一元二次方程的解法 2018 26 11 以解答题的形式,以二次函数的知识为载体,考查一元 二次方程的解法 2017 19 4 以填空题的形式,以新定义的实数运算为问题情境,考 查一元二次方程的解法 2016 26 12 以解答题的形式,以二次函数的知识为载体,考查一元 二次方程的解法 2.一元二次方程的应用 近三年未直接考查 3.一元二次方程的根与系数 的关系 2016 14 2 以选择题的形式,考查一元二次方程的根与系数的关 系
3、备考策略:纵观我省近几年的中考,一元二次方程的知识是必考内容,但单独考查的题目较少,常以二次函数等知识为载体进行考查.一元二次方程 的根与系数的关系是新课标实施后的新增内容,预计今后 的中考中,对本知识点的考查将会逐渐加强. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 一元二次方程的相关概念及解法一元二次方程的相关概念及解法 形如 ax2+bx+c=0 (其中a、b、c为常数,a0)的方程为一元二次方程,满 足三个条件:(1)等号两边都是 整式 ;(2)只含有 一个 未知数;(3)未 知数的最高次数是 2 . 基础知识梳理 栏目索引 基础知识梳理 1.关于x的一元二次方程ax2+bx+
4、c=0(a0)的根的判别式为b2-4ac,通常把它记 作,即=b2-4ac. (1)b2-4ac0方程有 两个不相等 的实数根. (2)b2-4ac=0方程有 两个相等 的实数根. (3)b2-4ac0, x= = , 1 4 1 4 3 4 3 2 23 2 23 2 ( 8)48 2 4 23 2 x1= ,x2= . 23 2 23 2 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 配方法虽然在解题中应用较少,但它是公式法的基础,且配方法适 用于任意一个一元二次方程,因此必须掌握用配方法解一元二次方程. 变式训练变式训练1 (2017邢台模拟)用适当的方法解下列方程: (1)x2-3x=18
5、; (2)3y(y-1)=2-2y. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)解法一(配方法): 配方,得x2-3x+ =18+ ,即 = , 两边开平方,得x- = , x1=6,x2=-3. 解法二(公式法):将方程化为x2-3x-18=0. 这里a=1,b=-3,c=-18, b2-4ac=(-3)2-41(-18)=810, x= , x1=6,x2=-3. 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x 81 4 3 2 9 2 ( 3)81 2 栏目索引 中考题型突破 (2)解法一(因式分解法):原方程可化为3y(y-1)=-2(y-1). 分解因式,得(y-1)(3y+2)=0. 令y-
6、1=0,得y=1; 令3y+2=0,得y=- . y1=1,y2=- . 2 3 2 3 栏目索引 中考题型突破 解法二(公式法):原方程可化为3y2-y-2=0. 这里a=3,b=-1,c=-2, b2-4ac=(-1)2-43(-2)=250, y= , y1=1,y2=- . ( 1)25 2 3 2 3 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查一元二次方程的根与系数的关系考查一元二次方程的根与系数的关系 该题型主要考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与系数的关系,包括根 据方程的根求方程中某个字母参数的值,根据方程的根求与一元二次方程有 关的代数式的值,已知方程的一个根求
7、方程的另一个根等. 典例典例2 (2018孝感中考)已知关于x的一元二次方程(x-3)(x-2)=p(p+1). (1)试证明:无论p取何值,此方程总有两个实数根; (2)若原方程的两根x1,x2满足 + -x1x2=3p2+1,求p的值. 2 1 x 2 2 x 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0. 则=(-5)2-4(6-p2-p)=25-24+4p2+4p=4p2+4p+1=(2p+1)2. p为实数,(2p+1)20, 无论p取何值,此方程总有两个实数根. (2)原方程的两根为x1,x2, x1+x2=5,x1x2=6-p2-p.
8、又 + -x1x2=3p2+1, (x1+x2)2-3x1x2=3p2+1, 52-3(6-p2-p)=3p2+1, 2 1 x 2 2 x 解得p=-2. 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 在利用一元二次方程的根与系数的关系求某个字母参数的值或 取值范围时,需注意两点:因为一元二次方程的根与系数的关系存在的前提 是该方程有两个实数根,所以在利用根与系数的关系时,一定要考虑到根的判 别式为非负数;当有关两根的已知条件不能直接利用时,要先对其进行变 形,使其转化为两根之和或两根之积的形式,为利用根与系数的关系打好基 础. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 已知关于x的方程k2x
9、2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1,x2. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?如果存在,求出k的值;如果 不存在,请说明理由. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)根据题意,得 解得k 且k1 D.k 且k1 1 2 1 2 1 2 1 2 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是只注意到由方程有实数根得到0,而忽 略了一元二次方程中二次项系数不为0的前提条件,出现选B的错误. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 关于x的一元二次方程(k-1)x2+2x-2=0有实数根, 0且k1. =4-4(k-1)(-2)=8k-40, 解得k 且k
10、1. 1 2 答案答案 D 栏目索引 易混易错突破 典例典例4 (2017唐山滦南模拟)水果店张阿姨以每千克2元的价格购进某种水 果若干千克,然后以每千克4元的价格出售,每天可售出100千克.通过调查发 现,这种水果每千克的售价每降低0.1元,每天就可多售出20千克,为保证每天 至少售出260千克,张阿姨决定降价销售. (1)当每千克的售价降低0.7元时,计算每天的销售量和销售利润; (2)若将这种水果的售价每千克降低x元,则每天的销售量是 千克(用 含x的代数式表示); (3)若张阿姨销售这种水果要想每天获得300元的利润,则她应将每千克的售 价降低多少元? 易错四易错四 忽略实际问题中检验
11、所得解的合理性忽略实际问题中检验所得解的合理性 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题的易错点是不能根据实际问题的意义对解方程所得的解进 行正确的取舍,误认为方程的正数解一定符合题意,负数解一定不符合题意, 因此看到本题两个解都是正数,误认为都符合题意. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 (1)当每千克的售价降低0.7元时,每天的销售量为100+ 20=240(千 克),每天的销售利润为(4-0.7-2)240=312(元). (2)100+200x. (3)设张阿姨将每千克的售价降低x元. 根据题意,得(4-x-2)(100+200x)=300, 解这个方程,得x1=0.5,x2=1
12、. 当x=0.5时,销售量为100+2000.5=200(千克)260(千克),符合题意. 0.7 0.1 答:张阿姨销售这种水果要想每天获得300元的利润,她应将每千克的售价降 低1元. 栏目索引 随堂巩固检测 1.(2017浙江杭州月考)下列方程是一元二次方程的是 ( B ) A.x2-y=1 B.x2+2x-3=0 C.x2+ =3 D.x-5y=6 1 x 随堂巩固检测 2.(2018娄底中考)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情况是 ( A ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 栏目索引 随堂巩固检测 3.两个连续整数的乘
13、积是132,则这两个整数分别是 ( C ) A.11,12 B.-11,-12 C.11,12或-11,-12 D.11,-12 栏目索引 随堂巩固检测 4.已知a、b、c是ABC的三边长,且方程a(1+x2)+2bx-c(1-x2)=0的两根相等,则 ABC为 ( C ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.任意三角形 栏目索引 随堂巩固检测 5.把方程(1-2x)(1+2x)=2x2-1化为一元二次方程的一般形式为 3x2-1=0 . 6.一元二次方程(x-1)2=4的解是 x=3或x=-1 . 7.当a的取值范围为 a 时,关于x的方程(a2-5)x2+ax-7=0是一元
14、二次方 程. 5 8.(2018郴州中考)已知关于x的一元二次方程x2+kx-6=0有一个根为-3,则方程 的另一个根为 2 . 栏目索引 随堂巩固检测 10.解方程: (1)(y+2)2=(3y-1)2; (2)x2+4x+2=0(配方法); (3)(x-2)(x-3)=x-2; (4)5x2-3x=x+1. 9.在某次宴会中,参加宴会的人两两握手,一共握了45次,那么出席这次宴会的 有 10 人. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 (1)开平方,得y+2=(3y-1). 当y+2=3y-1时,解得y= ; 当y+2=-(3y-1)时,解得y=- . 原方程的解为y1= ,y2=- . (2
15、)原方程变形为x2+4x+4=2,得(x+2)2=2, 两边开平方,得x+2= , 原方程的解为x1=-2+ ,x2=-2- . 3 2 1 4 3 2 1 4 2 22 栏目索引 随堂巩固检测 (3)整理,得x2-6x+8=0, 这里a=1,b=-6,c=8, x= = , 原方程的解为x1=2,x2=4. (4)整理,得 5x2-4x-1=0, 因式分解,得(5x+1)(x-1)=0, 5x+1=0或x-1=0, 原方程的解为x1=- ,x2=1. 2 ( 6)( 6)4 1 8 2 1 62 2 1 5 栏目索引 随堂巩固检测 11.(2017山东邹城模拟)2014年,邹城市某楼盘以每平
16、方米6 500元的均价对外 销售,因为楼盘滞销,房地产开发商为了加快资金周转,决定进行降价促销,经 过连续两年下调后,2016年的均价为每平方米5 265元. (1)求平均每年下调的百分率; (2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,李老师准备购买一套100平方 米的住房,他持有现金20万元,可以在银行贷款30万元,李老师的愿望能否实 现(房价每平方米按照均价计算)? 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 (1)设平均每年下调的百分率为x. 根据题意,得6 500(1-x)2=5 265, 解这个方程,得x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去). 答:平均每年下调的百分率为10%. (2)假设2017年的均价仍然下调相同的百分率,则2017年的均价为5 265(1-1 0%)=4 738.5(元/平方米), 购买一套100平方米的住房的总房款为1004 738.5=473 850(元)=47.385 (万元). 20+30=5047.385, 李老师的愿望能实现.
