1、第第2323讲讲 图形的相似图形的相似 考点考点 成比例线段成比例线段 1 1成比例线段：成比例线段：在同一单位下，四条线段长度为a，b，c，d， 如果有 ，那么a，b，c，d这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段 2 2平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所 得 成比例 3 3平行线分线段成比例定理的推论：平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线 截其他两边(或两边的延长线)所得 成比例 对应线段对应线段 对应线段对应线段 考点考点 相似多边形相似多边形 6 6年年1 1考考 概念概念 如果两多边形的 相等， 成比例，那么这两个多边形叫做相
2、似多边形 性质性质 (1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似多边形周长的比等于 ，相似多边形面积的比等 于 . 对应角对应角 对应角对应角 相似比相似比 相似比的平方相似比的平方 考点考点 相似三角形相似三角形 6 6年年2 2考考 概念概念 相等、 成比例的两个三角形叫做相似三角 形全等三角形是特殊的相似三角形，其相似比为 . 性质性质 (1)相似三角形的对应角 ，对应边的比 ； (2)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的 比都等于 ； (3)相似三角形周长的比等于 ；面积的比等于 的 平方 判定判定 (1)基本定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所
3、构成 的三角形与原三角形相似； (2)判定定理1： 成比例的两个三角形相似； (3)判定定理2：两边成比例且 相等的两个三角形相似； (4)判定定理3： 分别相等的两个三角形相似 对应角对应角 对应边对应边 1 1 相等相等 相等相等 相似比相似比 相似比相似比 相似比相似比 三边三边 夹角夹角 两角两角 点拨(1)斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 (2)射影定理：如图，RtABC中，ACB90，CD是斜边AB上 的高，则有如下的结论：CD2ADDB；BC2BDBA； AC2ADAB；ACBCABCD(可用面积来证明) (3)常见的相似图形： 考点考点 位似位似 定义 如果两个图
4、形不仅是 图形，且对应点连线相交于一点， 对应线段相互 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，位 似图形对应点连线的交点是 . 性质 位似图形的任意一对对应点与位似中心在 ，它们 到 的距离之比等于位似比 位似 与 坐标 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，画一个与原图形位似 的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y) 对应的位似图形上的点的坐标为 . 相似相似 平行平行 位似中心位似中心 同一直线上同一直线上 位似中心位似中心 ( (kx，ky) )或或( (kx，ky) ) 考情分析单独考查图形的相似的几率很小，如有也是考查相似三角形的性质的基础 题目，一般的考查方式是综
5、合在四边形或圆、函数的综合运用中进行命题 预测以解答题的命题形式，综合在反比例函数、圆的切线的性质和判定以及二次函 数的综合运用中 命题点命题点 相似多边形相似多边形 12015德州，T17，4分如图1，四边形ABCD中，ABCD， ADDCCBa，A60.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取 A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1，如图2； 同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3；，如此进行下去，则 四边形AnBCnDn的面积为 命题点命题点 相似三角形相似三角形 22017德州，T20，8分关联考题见第20讲“过真题”T4. 32015德州，T23，1
6、0分(1)问题： 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPCAB 90.求证：ADBCAPBP. (2)探究： 如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPCA B时，上述结论是否依然成立？说明理由 (3)应用： 请利用(1)(2)获得的经验解决问题： 如图3，在ABD中，AB6，ADBD5.点P以每秒1个单位长 度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足DPCA. 设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以DC为半径的 圆与AB相切时，求t的值 类型类型 相似三角形的判定相似三角形的判定 12018兰州如图，在ABC中，过点C作CD/AB，E是AC的 中点，连接DE
7、并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G.连接AD ，CF. (1)求证：四边形AFCD是平行四边形； (2)若GB3，BC6，BF ，求AB的长 2 3 解题要领：证明两个三角形相似，最常用的方法：一是利用平行线构造相似 三角形，二是两个角对应相等证明两三角形相似；探求两个三角形相似的条 件时，根据确定的已知条件，不拘泥于现成的图形，充分考虑三角形相似的情 形 22018江西如图，在ABC中，AB8，BC 4，CA6，CDAB，BD是ABC的平分线，BD交 AC于点E.求AE的长 类型类型 相似三角形的性质相似三角形的性质 32018乌鲁木齐如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB的中点
8、，EC 交BD 于点F ，则 BEF与DCB的面积比为( ) 解题要领：相似三角形对应线段的比等于相似比，其中只要说明两线段是对应 线段，就可以直接运用性质定理；利用相似三角形的性质求面积时，不要忽视 “相似比的平方” 42018随州如图，平行于BC的直线DE把 ABC分成面积相等的两部分，则 的值为( ) AD BD C C D D 类型类型 位似变换位似变换 52018宜宾如图，将ABC沿BC边上的中 线AD平移到ABC的位置，已知ABC的面积 为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA1，则 AD等于( ) A A 62019市中区调研如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD与正方形B
9、EFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似 比为13，点A，B，E在x轴上 (1)若点F的坐标为(4.5，3)，直接写出点C和点A的坐标； (2)若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标 解题要领：利用点的坐标表示位似变换时，一般地是以原点为位似中心，但是， 要注意位似中心不是原点的情况；求位似图形相应点的坐标时，要注意是缩小还 是扩大，是一种还是两种情形 类型类型 相似三角形的综合运用相似三角形的综合运用 72018连云港如图，E，F，G，H分别为矩形 ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，连接AC，HE， EC，GA，GF.已知AGGF，AC ，则AB的长 为 6 2 2 82018贵港已知：A，B两点在直线l的同一侧，线段AO， BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO2BM，将BM沿 直线l向右平移，在平移过程中，始终保持ABP90不变，BP 边与直线l相交于点P. (1)当P与O重合时(如图2所示)，设点C是AO的中点，连接BC.求 证：四边形OCBM是正方形； (3)若AO2 ，且当MO2PO时，请直接写出AB和PB的长 6 20192019考向过预测考向过预测
