1、第七章 光学成像系统的分析第3章 光学成像系统的频率特性3.4-3.8相干传递系数（CTF）相干传递系数（OTF）3.7 有像差系统的传递系数3.8 相干成像和非相干成像的比较前言现代光学中引入了线性系统理论和傅立叶分析方法，对光 学成像过程采用了频域分析法，把光的传播看成是波动过程，把成像系统看成是线性低通滤波器。光学系统是线性系统，而且在一定条件下是线性空间不变系统。对于线性空间不变系统，既可在空域中，也可在频域中分析它的成像规律和特性，这两种描述完全等价。但是频域分析法可以给出评价成像系统像质的客观指标光学传递系数OTF，因此已成为研究成像系统特性的重要手段。传统几何光学的基本内容是在空
2、域中研究光学系统的成像规律，运用光线的概念，并通过光路追迹来研究系统的结构参数与系统特性及像质的关系。3.4.1透镜的点扩散函数3.4.2的点扩散 函数3.4.3相干照明下成像规律34 相干照明衍射受限系统的成像分析1/8/20233.4.1 透镜的振幅点扩散函数 目的是求出在什么条件下场分布Ui（xi，yi）可以叫做物分布U0（x0，y0）的像.由于波动传播的线性性质，场分布总可以表示成下述叠加积分。高质量成像系统要求Ui与U0相似,所以h 函数近似为函数。0000000(,)(,)(,;,)(7 10)iiiiiU x yUxy h xyx y dx dy 0000,;,MyiyMxixk
3、yxyxhii1/8/20231/8/20230202000002expexp,;,1dyyxxjkdjjkdyxyxdUyxyxdUfyxjkyxpyxyxdU,;,exp,;,0012200121.点光源产生的复振幅分布在透镜前平面：2.点光源产生的复振幅分布在透镜后平面：3.在透镜后平面复振幅传播到观察面：dydxdyyxxjkyxyxdUdjjkdyixiyxhiiiii2exp,;,exp,;,2200100合并，忽略常数位相因子得：1/8/2023dydxydydyxdxdxjkyxfddkjyxpdyxjkdyxjkddyixiyxhiiiiiiiii00002200202022
4、02001112221expexp,expexp,;,由于物像平面的共轭关系满足高斯公式，选择观察面满足该式。dydxydydyxdxdxjkyxpdyxjkdyxjkddyixiyxhiiiiiiii000002020220200221exp,expexp,;,3.313.32=00111iddf+=考虑以下条件可以忽略二次位相因子：1。如果是求像平面上的光强分布，可以忽略上式中关于 的二次相位因子。,iix y讨 论00,x y00,x y2。只有当透镜孔径足够大，物平面上每一点在像平面上形成的复振幅分布范围相当小，而这个范围又是以物点的共轭像点为中心时，才可近似认为在该范围内 不变，从而
5、略去式中关于 的二次位相因子。,iix y00,x y1/8/2023MyyMxxii00,22200202022Myxdkjdyxjkii3.333.34dydxydydyxdxdxjkyxpddyixiyxhiiiii00000200exp,1,;,0ddMi1/8/20233.35dydxyMyyxMxxdjyxpddyixiyxhiiii0002002exp,1,;,dxdyyyyxxxdjyxpddyyxxhiiiiii0002002exp,1,3.360000,MyyMxxiidyydxx,ydxdyyyxxxjydxdpMyyxxhiiiiii2exp,00003.371/8/2
6、023ydxdyyyxxxjydxdpMyyxxhiiiiii2exp,0000当孔径大小比d；大得多时,P-10,02exp,0000yiyxixMydxdyyyxxxdjMyyxxhiiiii这时物点成僳为一个像点，即理想成像。3.38这就是透镜振幅点扩散函数的表达式，是光瞳函数的傅立叶谱，即光瞳函数在像面上的夫琅和费衍射图样的复振幅分布。该式表明，在近轴条件下透镜成像系统是空间不变系统。0000,;,MyiyMxixkyxyxhii1/8/20233.4.2 衍射受限系统的的点扩散函数光学成像系统通常是由多个光学元件组成。假定光学成像系统最后将产生一个实像。在此系统的多个元件中，总存在一
7、个实际起限制光束通光孔径作用的孔径光阑，这是光学系统的特征元件之一。孔径光阑经它前面的光学元件所成的像就是系统的入瞳，经它后面的光学元件所成的像就是系统的出瞳。两者是一对等光程共轭面。因此，对于一个无相差的光学成像系统，由入瞳限制的物方光束必能通过系统，也恰是被出瞳所限制的像方光束。即-把系统的衍射效应归结于由入瞳引起的或由出瞳引起的，是完全等价的。一、光学成像系统的黑箱模型把任何一个复杂的光学成像系统的所有光学元件装入一个黑箱中，入瞳和出瞳是它的两个端面，如图所示。系统的成像性质可以完全用光在端面上的场分布来描述。即实际光学成像系统对光的衍射效应都可以归结于黑箱两端面上入瞳或出瞳的作用，这就
8、是一般光学成像系统的黑箱模型。衍射受限系统一个不存在任何几何相差的光学成像系统，其成像过程只受到有限大小的孔径衍射的影响物平面 上任一物点（x0,y0）发出的发散球面波投射在黑箱模型的入瞳上，光波在有限大小的入瞳处发生衍射，入瞳面上每一点都成为次级子波源，再传播到出瞳面，叠加后的光波最终在像面上形成以几何像点 为中心的夫琅和费衍射图样。由于入瞳和出瞳的几何共轭，其对光波的限制作用是等价的。描述其成像过程：0P00(,)A xy00(,)iiA xMxyMy 空间不变系统物点在物面上移动时，像面上对应的脉冲仅随之发生平移而分布形式不变的光学成像系统。一般实际成像系统通常不满足空间不变性。因为当物
9、点位置不同时，经系统后所产生的相差和衍射效应也不同。但是，可以把整个像面分割成若干等晕区，在每个等晕区内认为系统是空间不变的。对于等晕区，系统可以看成是衍射受限的。几何像点位置为00(,)xy00,ggxMxyMy=-=-,iixxdyyd22(,),exp2()()igigiiiigigh xxyykdPd xd yjxx xyyy dxdy（）这就是衍射受限系统点扩散函数的表达式，是光瞳函数的傅立叶谱，即光瞳函数在像面上的夫琅和费衍射图样的复振幅分布。物点做变量置换令书本上：3.40ggxyxx00,衍射受限系统点扩散函数当光瞳孔径比 大得多时在 坐标中，在无限大的区域内可认为 的值均为1
10、，id(,)x y,iiPdx d y（）00(,)exp2()()(,)(,)igigigigigigiih xxyyjxxxyyy dxdyxxyyxMx yMy 3.41和几何光学得出的结论一致ggxyxx00,书本00,ggxMxyMy=-=-几何像点位置为忽略系数 在相干光照明情况下，物面光场分布 经透镜后在像面上的光场分布为 000(,)Uxy0000000(,)(,)(,;,)(7 10)iiiiiU x yUxy h xyx y dx dy 000000001(,)(,)(,)1(,)(711)iigiiiixyUxyUxyxydx dyMMMxyUMMM 说明物体的几何像是物
11、体的准确再现，像与物是点点对应的关系。但是几何像不考虑透镜孔径衍射效应的影响，实际上透镜孔径大小总是有限的，因而必须研究实际像的表达式。对于几何像有二、正透镜的成像 在相干光照明情况下，物面光场分布 经系统后在像面上的光场分布为 000(,)Uxy0000002(,)(,)(,)1(,)(,)iiiigigggigigggUxyUxyh xxyyd x dyxyUh xxyyd x dyMMM 000000001(,)(,)(,)1(,)iigiiiixyUxyUxyxyd x dyMMMxyUMMM 对于几何像有3.423.433.4.3相干光照明下衍射受限系统的成像规律理想像Ug的分布形式
12、与物U。的分布形式是一样的，只是在x和y，方向放大M倍若用几何像的位置坐标代替物面坐标，则上式的积分运算可在像面上进行，即011(,)(,)(,)(,)(,)(,)1(,)(,)ggiiiigigggiiigiiiiiiiixyU x yUh xxyydx dyMM MMU x yUx yh x yh x yh x yM 或者其中3.45该式表明，考虑了衍射效应后，系统所成的实际像是几何像与脉冲响应在像面上卷积的结果。衍射效应愈强，振幅点扩散函数的分布愈宽，卷积的平滑作用愈强，系统的分辨率愈低，像质下降。可见，振幅点扩散函数确实能够反映系统的成像质量，表征系统的特性，可以用来评价系统的像质。1
13、/8/2023定标器线性不变系统hU0UgUi=Ug*h衍射受限成像系统仍可看成线性空间不变系统UghUi(,),exp2()(),igigiiigigiih xxyyPd xd yjxxxyyydxdyFT Pd xd y （）（）忽略积分分号前的系数3.47这就是衍射受限成像系统的点扩散函数与光瞳函数的关系。由于是空间不变的，可以用xg=0,yg=0的脉冲响应表示成像系统的特性，即 ydxdpFTydxdyyxxdjydxdpyxhiiiiiiiii,2exp,3.48前面的讨论都是在严格单色光照明条件下进行的二、成像系统的线性特性1.相干成像系统2.非相干成像系统结论：相干成像系统对于复
14、振幅是线性的。结论：非相干成像系统对于光强是线性的。2(,)(,)iiiiiiI x yU x y2(,)(,)(,)(720)iiigggggggggI x yAh xxyyIxydx dy(,)(,)(,)(,)(,)(719)iiiigiggggggiigiiU x yh xxyyUxydx dyh x yUx y 点扩散函数1/8/20233.5 衍射受限系统的相干传递系数（CTF）在相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空间不变的；线性空间不变系统的变换特性在频域中来描述更方便。频域中描述系统的成像特性的频谱函数Hc(fx，fy)称为衍 射受限系统的相干传递函数，记做CTF。
15、衍射受限的相干成像系统对于复振幅是线性的。(,)(,)(,)(721)icgGHG 相干成像系统在频域中的物像关系式：(,)(,)(,)(,)(,)(719)iiiigiggggggiigiiU x yh xxyyUxydx dyh x yUx y 一、CTF的概念及其与光瞳函数的关系3.45(,)(,)(,)exp2()(722)(,)(,)(,)exp2()(723)(,)(,)(,)exp2()(724)iiiiiiiiiiiggiigiiiiiiciiiiiiiiGU x yU x yjxydx dyGUx yUx yjxydx dyHh x yh x yjxydx dy FFFP式中
16、 的自变量所带的负号是因一个函数连续进行两次傅立叶变换所产生的，表示CTF正比于反射坐标中的光瞳函数。当把光瞳面上坐标反向时，这个负号便可略去。由于一般的光瞳函数都是对光轴呈中心对称的，这样处理不会对结果产生实质性影响。因此(,)(,)(,)(,)(725)ciiiiiiHh x yPd xd yPdd FFF3.52(,)(,)(726)ciiHPdd 3.533。光学系统的作用相当于一个低通滤波器。由于光学成像系统的光瞳大小是有限的，能通过系统的光波的空间频率也受到限制，把能通过系统的光波最大空间频率称为系统的截止频率，用 表示。空间频率低于截止频率的光波能无衰减地通过系统，而高于截止频率
17、的光波则完全不能通过系统，表明光学系统的作用相当于一个低通滤波器，通频带由光瞳的形状和尺寸决定。2。相干成像系统的CTF只有两个取值：1或0。因为成像系统的光瞳函数 只有两个取值：在光瞳内其值为1，在光瞳外其值为0。当由 决定的 的值在光瞳内时，表明这种频率的光波能无衰减地通过成像系统；当由 决定的 的值在光瞳外时，表明系统将完全不让这种频率的光波通过，即系统对这种频率是截止的。结论：1。相干成像系统的CTF等于光瞳函数，只要将光瞳函数 中的空间坐标变量 改换成频域变量 即可。(,)P x yxy、iidd 、(,)P x y、iixdyd 、(,)1cH(,)0cH、iixdyd 、00、二
18、、CTF计算举例1。圆形光瞳2。方形光瞳圆形光瞳当光学成像系统的出瞳为直径 等于的圆孔时，其光瞳函数为圆域函数l22(,)()(732)2xyP x ycircl22(,)()(733)2ciHcircld 222212(,)(734)02icildHld 即：(,)cH 02ild 的形状如图7-5所示。显然，其截止频率在所有方向上均为 CTF也为圆域函数1/8/202320100632.8H e-N e158/ilm mdm mnmcm m设 光 学 成 像 系 统 的 出 瞳 直 径像 距用 波 长 为的激 光 照 明则 计 算 得 到设相干成像系统的出射光瞳是边长为 的正方形，此时光瞳
19、函数为二维矩形函数(,)(,)()()(727)x yxyP x yrectrectrectlllll(,)(,)(,)()()(728)ciiiiiiHPddddrectrectrectllldld 122(,)(729)022iiciillddHlldd 和即：和方形光瞳于是，由式（7-26）得出系统的CTF也为二维矩形函数系统在 方向上的截止频率为和00(730)2ild45220004522(730)2ild其截止频率最大。方向上三、简要说明 结论：CTF表示光学成像系统对物分布中空间频率为 的平面谐波的传递能力是脉冲响应函数的傅立叶变换函数形式与光瞳函数相同(,)3.6 衍射受限系统
20、的非相干传递函数OTF一、OTF 的概念 当光学成像系统采用非相干光源照明时，物象上各点的光振动是彼此独立、与统计无关的，属于非相干成像情况。在一定条件下，非相干成像系统对光强分布是线性的，并且是空间不变的；而对物和像的复振幅分布则是高度非线性的。为了表征这种特征，引入OTF的概念。在非相干光照明情况下，光学成像系统对光强分布是线性的。应满足强度卷积方程2(,)(,)(,)iiiigiggggggI x yAh xxyyIxy dx dy(,)(,)(,)(736)iiiIiigiiI x yh x yIx y(,)Iiih x y2(,)(,)Iiiiih x yh x y式中，系统的强度脉
21、冲响应函数，或成为强度点扩散函数。或略去常数后写成3.573.58式（3.57）是空域中的物象强度关系式，对它进行傅立叶变换并运用卷积定理可得(,)(,)(,)(737)igIGGH (,)(,)(,)(,)(,)(,)iiiiggiiIIiiGI x yGIx yHh x y 式中，FFF(0,0)(0,0)(0,0)(738)igIGGH(,)(,)(,)(0,0)(0,0)(0,0)giIigIGGHGGH 用式（7-37）除以式（7-38），得必须用零频分量对它们归一化，得出归一化频谱一般来说，是一个复函数，可以写成如下形式:记为式中，光学传递函数（OTF）。显然022(,)(,)(,
22、)(0,0)(,)(,)exp2()(740)(,)IiiIIIiiiiiiiiiiiih x yHHh x yh x yjxydx dyh x ydx dy FHF(,)H(,)(,)(,)(739)ig GGH(,)H3.611/8/2023yxiyxyxffjffff,exp,iiAAyxyxyxffjffffH,exp,myxgyxyxffjffff,exp,ggAAyxgyxiyxffffff,yxgyxiyxyxffAffAHffHff,00m输出输入传递函数3.633.64 yxyxyxffffff,HAAgi3.621/8/2023fbmaIicos000000002yxyxg
23、yxyxiiiffffyfxfyfxfbmayxI,cos,00002yxggygxgggffyfxfbafxI,cos,3.65输入余玄函数：输出1.3.2 线性不变系统对余弦函数的响应当某线性系统脉冲响应h(x)是实函数,则实函数输入,得实函数输出.如非相干成像系统.其传递函数H()是厄米函数,来源-36页(,)cos2f x yxy 输入函数为输入函数为()()exp()HAj 复数形式余弦输入产生同频率的余弦输出,产生与频率有关的衰减和相移:振幅为A(),位相产生为移()*余弦函数是具有实值脉冲响应函数的线性不变系统的本征函数cos2(,)cos 2(,)xyAxy 输出函数为输出函数
24、为1.461/8/2023iminmaxminmaxIIIIVabIIIIVgminmaxminmaxfyfxmabIIIIVi,minmaxminmaxyxyxgyxiffffff,3.663.68gVfyfxmVi,3.67定义条纹对比度输入条纹对比度输出条纹对比度MTF-调制传递函数PTF-位相传递函数,二、OTF和CTF的关系220(,)(,)(,)(,)(,)ciiiiiiHh x yh x yh x y FFHF02(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(742)(,)cccccxycxyxycxyxyHHHHHHddHdd H应用自相关定理可得3.69 对于相干成像系统，相干
25、传递系数与光瞳函数之间的关系为(,)(,)ciiHPdd 2(,)(,)(,)(743)(,)xyxiyixyxyxyPPddddPdd H3.6.3 OTF与光瞳函数的关系3.70(,)(,)(,)(744)(,)xyxiyixyxyxyPPddddPdd H2(,)xyP(,)xyP(,)xyP(,)(,)xyxyPP 由于光瞳函数只有1和0两个取值，因而 可以换成 。当成像系统是不存在像差的衍射受限系统时，是实函数，因而 。于是3.700SffSffHyxyx,3.71 由 3.71式 可以得出结论：衍射受限系统的OTF在数值上等于归一化的两个错位光瞳的重叠面积。显然，对于不同的空间频率
26、 ，两个光瞳的错位量不同，归一化的重叠面积也不同，所以 有不同的值。另外还可看出，OTF恒为非负实数，但它不一定是频率的单调下降函数。式（3.70）的几何意义：分母表示光瞳的总面积A，而分子表示两个错开的光瞳函数乘积的积分，恰好是两个错开的光瞳重叠部分的面积S，如图7-7所示。其中一个光瞳的中心在原点，另一个光瞳的中心在图示处。于是有(,)H(,)(,)(745)SA H3.71 四、OTF的一般性质1.(0,0)12.(,)(,)3.(,)(0,0)1 HHHHH4.H是实的非负的函数.0SffSffHyxyx,由于1.起因于OTF的归一化方法，因为 是 的归一化值，而归一化时是以 为标准进
27、行的。由式（3.71）也可看出 ，因为当 时，两个光瞳的错位量等于0，重叠面积S等于光瞳面积A，因而 。这条性质表明，物体的零频成分通过成像系统后保持不变。应当指出，并不意味着像的均匀背景的绝对强度等于物体均匀背景的绝对强度。实际上，由于成像系统孔径的大小有限，像的绝对强度总会有所降低。(0,0)1H(,)IH(,)H(0,0)IH(0,0)1H0(0,0)1S AH(0,0)1H说明3.712.由式可知，其中 是实函数。由于实函数的傅立叶变换是厄米函数，自然也是厄米函数，即亦即这表明光学成像系统的MTF是频率的偶函数，其函数图形左右对称；而PTF是频率的奇函数，其函数图形相对于原点对称。MT
28、F和PTF的函数图形如图所示。2(,)(,)iih x y HF2(,)iihxy(,)H(,)exp(,)(,)exp(,)jj HH(,)(,)(,)(,)HH说明3.根据OTF的归一化方法，在数值上等于两个错位光瞳重叠面积S与光瞳总面积A之比值，而S总是小于或等于A。这个性质在表明，光学成像系统的作用确实相当于一个低通滤波器的作用。(,)H说明五、OTF计算举例1.方形光瞳方形光瞳设衍射受限系统的光瞳是边长为 的正方形，即光瞳函数l(,)()()xyP x yrectrectll2Al(,)iidd()(),(,)0iiiillldldddS 其余(1)(1,(,)(,)(746)0ii
29、iillSldldddA 故其余H00、002ild00(,)()()(747)22 或写成H式中，CTF沿方向的截止频率，即用几何方法可以求出两光瞳错位 后的重叠面积（参见图7-9）显然，光瞳总面积式所 表示的三角形函数如图7-10所示。由三角函数的定义可知，在 方向上的截止频率为(,)H、0022ild(,)H(,)cH 由此可见，OTF截止频率是CTF截止频率的2倍。在截止频率内，的值不像 一样是常数1，而是随空间频率的增大而减小。3.8 相干照明与非相干成像系统的比较3.8.1 截止频率 对同一个成像系统，OTF的截止频率是CTF的截止频率的两倍，但并不表明同一个成像系统用非相干照明比
30、用相干照明的成像效果更好。首先，CTF的截止频率确定的是项中包含的复振幅分布中的最高频率分量，而OTF的截止频率则是反映像的强度分布中的最高频率分量。两者描述的对象不是同一物理量，因而不能直接进行比较。无论是想干照明还是非相干照明，通常最终接收的是像的强度分布，因而首先必须将相干照明情况下对傅振幅的描述转换成对光强度的描述，然后通过强度分布来进行比较。其次，由于不同的成像系统用于不同的目的，对成像系统像质的要求自然也与应用场合有关。另外，作为最后观察者的人也会加进更为复杂的因素。因此，实际上很难提出一个普遍适用的质量判据来作为判断成像好坏的依据。结论与讨论 在相干照明时像的光强度在非相干照明时
31、像的光强度2igIhU22iIggIhIhU(7 66)(7 67)icgcgiccggIH GH GIHHGG相干照明时非相干照明时 FF对上述两式分别进行傅立叶变换，并应用卷积定理和相关定理，得到3.8.2像的强度频谱与衬度3.883.893.863.87结论假设物体是两个不同类型的一维光栅A和B，它们的振幅透射系数分别为同时假定其中，相干截止频率显然，物体A和B的强度透过率是相同的，均为为简单起见，假定成像系统的出瞳为正方形，并且只研究一维情况。000000:(,)cos2:(,)cos2aaAtxyxBtxyx00202000(,)cos 2xyx讨论002(7 66)(7 67)ic
32、gcgiccggIH GH GIHHGG相干照明时非相干照明时 FF根据瑞利分辨率准则，对两个非相干点光源，若一个点光源产生的爱里斑中心正好落在另一个点光源所产生的爱里斑的第一个暗环上，则认为成像系统对这两个点光源“刚刚能够分辨”，此时对应的分辨率称为成像系统的极限分辨率。02.441.22(768)idll0式中，出瞳直径；相干截止频率。因此，在几何像上的最小可分辨间隔为3.8.3两点间的分辨率3.91由圆孔的夫琅和费衍射理论可知，点像的相对光强度分布应满足式中，J1一阶第一类贝塞尔函数。21()()2(769)JxI xx2211(0.61)(0.61)()22(770)(0.61)(0.
33、61)JxJxI xxx图7-21给出了两个非相干光源的像强度分布的曲线。由分布曲线可知，其中心凹陷的大小约为最大强度的19%。设两个点光源对称放置在光轴的两边，当它们正处于极限分辨的情况时，对非相干光源而言，所成像的光强分布应为两光源像光强的非相干叠加，即3.90211(0.61)(0.61)()22(7 71)(0.61)(0.61)iJxJxI xexx0,23.92结论：相干照明时成像系统对两点的分辨率强烈地依赖于两点物的位相差。当两点源同相时，分辨率低于非相干照明；当位相差 时，分辨率与非相干照明时相同；当两点源反相时，分辨率又高于非相干照明。因此，不能脱离点物的位相分布单纯地比较相干成像和非相干成像的极限分辨率，而必须根据具体情况作具体分析。2
