1、第三章第三章生命表基础生命表基础 参数模型的问题 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。前至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。前面四个常用模型的拟合效果未令人满意。面四个常用模型的拟合效果未令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差的误差.还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具还好，精算师可以依赖另一种描述寿命分布的工具,即生命表即生命表.生命表起源生命表起源生命表的定义生命表的定义根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表成的由每个年龄
2、死亡率所组成的汇总表.生命表的发展历史生命表的发展历史1662年年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。生命表的最早起源。1693年，年，Edmund Halley,根据根据Breslau城出生与城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。称为生命表的创始人。生命表的特点
3、与原理生命表的特点与原理生命表的特点生命表的特点 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）不依赖总体分布假定（非参数方法）原理原理在大数定律的基础上，用观察数据计算各年在大数定律的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）龄人群的生存概率。（用频数估计频率）生命表的种类生命表的种类 生命表一般分为生命表一般分为1.国民生命表（国民生命表（national life table）2.经验生命表（经验生命表（experience life table）国民生命表是以全体国民或特定地区的人口生国民生命表是以全体国
4、民或特定地区的人口生存状况统计资料编制成的存状况统计资料编制成的 经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保经验表是人寿保险公司依据过去其承保的被保险人实际的生存状况统计资料编制的。险人实际的生存状况统计资料编制的。在同一时期内，在同一时期内，国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。国民生命的死亡率一般要高于经验表的死亡率。1.完全生命表（完全生命表（complete life table）2.简易生命表（简易生命表（abridged life table）完全生命表是根据准确的人口普查资料，依完全生命表是根据准确的人口普查资料，依年龄分别计算死亡率、生存率、平均余命等年龄分别计算死亡率、生存
5、率、平均余命等生命函数而编制的。生命函数而编制的。简易生命表则采取每年的人口生存状况动态简易生命表则采取每年的人口生存状况动态统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段统计资料和人口抽样调查的资料，按年龄段（如（如5岁或岁或10岁为一段）计算的死亡率、生岁为一段）计算的死亡率、生存率、平均余命等生命函数。存率、平均余命等生命函数。国民生命表国民生命表经验生命表可分为经验生命表可分为 终极表（终极表（ultimate table）选择表（选择表（select table）总合表（总合表（aggregate table）等。）等。终极表是指剔除了被保险人投保后终极表是指剔除了被保险人投保后5至至15年
6、年的经验数据，根据被保险人最终的死亡率编的经验数据，根据被保险人最终的死亡率编制的生命表，也就是按照承保选择的影响消制的生命表，也就是按照承保选择的影响消失后的死亡率来编制生命表。失后的死亡率来编制生命表。1958年美国保年美国保险监督官标准普通生命表是一种终极生命表。险监督官标准普通生命表是一种终极生命表。经验生命表经验生命表 选择表是一种不同与终极表的生命表。在人寿选择表是一种不同与终极表的生命表。在人寿保险的承保过程中，经过体检等选择的被保险保险的承保过程中，经过体检等选择的被保险人的死亡率等风险低于一般人口的风险，而且人的死亡率等风险低于一般人口的风险，而且最近几年选择的被保险人的死亡
7、率风险低于前最近几年选择的被保险人的死亡率风险低于前些年选择的被保险人的死亡率风险，考虑到这些年选择的被保险人的死亡率风险，考虑到这种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择种选择因素的影响之后编制的生命表称为选择表。表。总合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的总合生命表是指不考虑保险契约有效后经过的年数，以整个保险期间为对象，根据不同年龄年数，以整个保险期间为对象，根据不同年龄的被保险人的死亡率数据编制的生命表。的被保险人的死亡率数据编制的生命表。经验生命表经验生命表由于根据人寿保险的经验数据编制的生命表不适用于由于根据人寿保险的经验数据编制的生命表不适用于年金保险，寿险公司常常要结合预测的将
8、来较低的年金保险，寿险公司常常要结合预测的将来较低的死亡率为年金保险专门编制一份年金生命表。死亡率为年金保险专门编制一份年金生命表。人寿保险所使用的生命表一般都是静态表，随着社会人寿保险所使用的生命表一般都是静态表，随着社会科技与经济的发展，死亡率逐步降低，要定期地用科技与经济的发展，死亡率逐步降低，要定期地用根据较近经验数据编制的静态表代替原来的静态表。根据较近经验数据编制的静态表代替原来的静态表。例如：美国例如：美国19801980年保险监督官标准普通生命表已取代年保险监督官标准普通生命表已取代了了19581958年保险监督官标准普通生命表。该表是根据年保险监督官标准普通生命表。该表是根据
9、19701970年至年至19751975年的死亡率数据编制而成的，分为男年的死亡率数据编制而成的，分为男性生命表和女性生命表，显示了较低的死亡率。性生命表和女性生命表，显示了较低的死亡率。3.2.2 生命表的内容生命表的内容基数基数:在生命表中在生命表中,首先选择初始年龄且假定在首先选择初始年龄且假定在该年龄生存的一个合适的人数该年龄生存的一个合适的人数.一般一般0为初始年龄为初始年龄,基数用基数用 表示表示需要规定极限年龄需要规定极限年龄,用用 表示表示0l：年龄：年龄：生存数，指从初始年龄至满：生存数，指从初始年龄至满 岁尚生存的人。岁尚生存的人。（1）表示自出生至满表示自出生至满 岁尚存
10、活人数的期望值。岁尚存活人数的期望值。（2）连续函数，随年龄连续函数，随年龄 增加而递减。增加而递减。（3）通常令）通常令 人为基数，人为基数，。生存函数生存函数 表示生存至表示生存至 岁的生存概率。岁的生存概率。则所有则所有 人在人在 岁时有岁时有 人仍生存。人仍生存。常用符号常用符号xxlxxxxxxlxl7010l)(xS0l)(0 xSl)(0 xSllx0l死亡数死亡数 ：死亡数，指：死亡数，指 岁的人在岁的人在1 1年内死亡的人数。年内死亡的人数。即即 岁的生存数岁的生存数 人中经过一年死亡的人数。人中经过一年死亡的人数。（1 1）称为称为 岁的死亡人数，是岁的死亡人数，是 中自中
11、自 岁到岁到 岁间死亡的人数。岁间死亡的人数。（2 2）xxdxlxxx1xxdxlxxxxllld1xxql 生存率与死亡率生存率与死亡率 ：死亡率：死亡率(1)表示表示 岁的人在一年内死亡的概率岁的人在一年内死亡的概率.(2)：生存率：生存率(1)表示表示 岁的人在一年后仍生存的概率岁的人在一年后仍生存的概率即即 岁时仍生存的概率岁时仍生存的概率.(2)(3)xqxpxx1xxxxxxxlllldq1xxxxllqp111xxqp ：岁的人在岁的人在n年后仍生存的概率年后仍生存的概率.(1)概率乘积概率乘积.(2)xnpxxnxxnllp1121nxnxxxxxllllll121nxxxx
12、ppppxnmpxnmxllmxnmxxmxllllmxnxmppxnp ：岁的人在岁的人在n年内死亡的概率年内死亡的概率.(1)(2)xnqxxnxxnxnllpq11xnxxlll1xnxnqpxnxnxxxxxlllllll1211xnxxxxldddd121xnxxxqqqq|1|2|110|ntxtqxnq概率之和概率之和 岁的人在岁的人在 与与 岁之间死亡的概率岁之间死亡的概率xxnmxmxxnmlllq|xnmxmxmxlddd111|nmmtxtqxnmq|mxnmxxnmxmxnmppq|xmxnmqq mxnxmqp时，当1nxmxmxmppq1|mxxmqpmxxnmxx
13、mpmxnq0例例3.1已知已知 计算下面各值：计算下面各值：（1）（2）20岁的人在岁的人在5055岁死亡的概率。岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。）该人群平均寿命。)1001(10000 xlx30103030302030,qqpd例例3.1答案答案503030312030303060404130303010303050552030 520010000001100 5/7 3/7 1/702 1/163 (1)50100ldllplllllqqllllqlTxdxle、练习：练习：已知已知20岁的生存人数为岁的生存人数为1000人，人，21岁的生存岁的生存人数为人数为998人，人，22岁
14、的生存人数为岁的生存人数为992人。试人。试求求20岁的人在岁的人在21岁那年死亡的概率，即岁那年死亡的概率，即解：20|1q202120|1ldq 202221lll 1000992998006.0 ：现年：现年 岁的人尚可再生存若干年的平均岁的人尚可再生存若干年的平均数数(1)每一个到达每一个到达 岁的人今后可生存的平均年岁的人今后可生存的平均年数数.(2)假定死亡者都在年初死亡假定死亡者都在年初死亡,则则 岁后的第一年全体生存的年数共岁后的第一年全体生存的年数共 第二年全体生存的年数共第二年全体生存的年数共依此类推依此类推,此此 岁人总生存年数为岁人总生存年数为xex平均余命或生命期望值
15、平均余命或生命期望值xxx1xl2xlllllxxx321平均余命为平均余命为(3)实际上不可能所有人在年初死亡实际上不可能所有人在年初死亡,假定假定1 年内年内死亡人数呈均匀分布死亡人数呈均匀分布.定义定义称为完全平均余命或完全生命期望值称为完全平均余命或完全生命期望值.xxxxxllllle321平均余命或生命期望值平均余命或生命期望值5.0 xxoee多活半年多活半年有趣的结论有趣的结论1.为余命的数学期望为余命的数学期望2.为取整余命的数学期望为取整余命的数学期望100()xkxx kkxkkeE K xkpqp00()(1)oxtxtxeE T xtdpp dtoxexe练习：练习：
16、某个生命表的一部分某个生命表的一部分年龄年龄 未来一年内死亡概率未来一年内死亡概率30 0.0013331 0.0013432 0.0013733 0.0014234 0.0015035 0.0015936 0.0017037 0.0018338 0.0019739 0.00213xxq34q,34p：有用的概率算出各种342,p34|2q342,q练习：练习：设某群体的初始人数为设某群体的初始人数为3000人，人，20年内的预期死亡年内的预期死亡人数为人数为20人，第人，第21年和第年和第22年的死亡人数为年的死亡人数为15人和人和18人，求生存函数人，求生存函数 在在20岁、岁、21岁和岁和22岁的值。岁的值。18,15,2403000,302221200ddll已知解：,276020l2745212021dll2727222122dll00)()(llxSlxSlxx根据909.0)(,915.0)21(,92.0)20(xSSS)(xS
