1、七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考 北京奥运会的很多建筑都做了节能设计.据统计,奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?同底数幂的乘法法则活动活动1:学生独立完成下列题目(1)求n个相同因数积的运算叫做,乘方的结果叫做,n个a相乘写成乘方的形式为,其中a叫,n叫,an读作.(2)x3表示个相乘,把x3写成乘法的形式为x3=.(3)x3,x5,x,x2的指数相同吗
2、?它们的底数相同吗?活动活动2:探究a3a2(1)指导学生根据乘方的意义可得:103102=(101010)(1010)=1010101010=105.(2)学生完成填空.4342=.a3a2=.活动活动3:同底数幂的乘法法则请同学们观察下列各式等号左右两边底数与指数分别有什么关系.103102=103+2=105;4342=43+2=45;a3a2=a3+2=a5.猜想:对于任意底数a,aman=(m,n都是正整数).()()()().mnmnm nm naaa aaa aaa aaa 个个个结论结论:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.知识拓展三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.(m,n,p
3、都是正整数)()()()()().mnmnpm npm npaaa aaa aaa aaa aaa 个个个个(教材例1)计算.(1)(-3)7(-3)6；(2)；(3)-x3x5；(4)b2mb2m+1.311111111；解:(1)(-3)7(-3)6=(-3)7+6=(-3)13.33+1411112=.111111111111（）(4)b2mb2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.(3)-x3x5=-x3+5=-x8.(教材例2)光在真空中的速度约为3108 m/s,太阳光照射到地球上大约需要5102 s.地球距离太阳大约有多远?解:31085102=151010=1.51011(m)
4、.答：地球距离太阳大约有1.51011 m.已知am=4,an=3,求下列各式的值.(1)am+n;(2)a3m+n.解析解析同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把am+n=aman(m,n都是正整数)当成公式用.(2)a3m+n=amamaman=4443=192.解:(1)am+n=aman=43=12.知识拓展同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为aman=am+n,其中m,n均为正整数,将公式倒过来就是am+n=aman,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果.(4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算,以三个同底数幂相乘为例,用字母表示为amanap
5、=am+n+p(m,n,p都是正整数).(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.(2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算.(3)公式中的m,n都是正整数.课堂小结课堂小结检测反馈检测反馈解:(1)yy2y3=y1+2+3=y6.(2)ymym+1=ym+m+1=y2m+1.(3)ym-1ym+1y=ym-1+m+1+1=y2m+1.1.填空.(1)若ama4=a20,则m=;(2)若10210m=102013,则m=.解析:(1)由aman=am+n,可知m+4=20,所以m=16.(2)由aman=am+n可知m+2=2013,则m=2011.162011
6、2.计算.(1)yy2y3;(2)ymym+1;(3)ym-1ym+1y;(4)-b2(-b)2(-b)3.解析:运用同底数幂的乘法法则计算,注意不要忽略指数为1的特殊情况.运算的过程中必须注意同底数这个前提,注意确定积的符号.(4)-b2(-b)2(-b)3=-b2(-b)5=b2b5=b7.4.若am=2,an=5,求am+n的值.3.某种计算机每秒钟可以进行3108次运算,那么这台计算机3102秒可以进行多少次运算?解:31083102=91010(次).故3102秒可以进行91010次运算.解:am+n=aman=25=10.解析:注意同底数幂乘法法则的逆用.七年级数学七年级数学下下
7、新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考1.填空.(1)(23)2=2323=2()；(2)(72)3=72()()=7()；(3)(a3)2=a3()=a().仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?（提示:球的体积公式是V=r3,其中V是球的体积,r是球的半径）43探索幂的乘方的运算性质探索幂的乘方的运算性质1.
8、你知道(102)3等于多少吗?(102)3=102102102=102+2+2=106=1023.【思考】推出第步和第步的根据是什么呢?点拨点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.点拨点拨:第步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.【思考】观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?2.做一做:计算下列各式,并说明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.(3)(am)2=amam=am+m=.4()=.mnmmmmnamnm mmmnaaaaaa 个个（）解：(1)(62)
9、4=62626262=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2a2a2=a2+2+2=a6.2.ma用语言表述为:幂的乘方，底数不变,指数相乘.幂的乘方的运算性质，即即:(am)n=amn(m,n都是正整数都是正整数).(教材例1)计算.(1)(102)3;(2)(b5)5;(3)(an)3;(4)-(x2)m;(5)(y2)3y;(6)2(a2)6-(a3)4.(3)(an)3=a3n.解：(1)(102)3=1023=106.(2)(b5)5=b55=b25.(4)-(x2)m=-x2m.（5）(y2)3y=y23y=y6y=y6+1=y7.(6)2(a2)6-(a3)4=2a26-
10、a34=2a12-a12=a12.幂的乘方法则的延伸1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.(1)(x3)3=x6;(2)a6a4=a24.(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3x3x3=x3+3+3=x33=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x33=x9.(2)a6a4=a24不正确.a6a4=(aaaaaa)(aaaa)=a10;或根据同底数幂乘法的运算性质:底数不变,指数相加,得a6a4=a6+4=a10.2.计算.(1)(103)3;(2)-(a-b)25;(3)(x3)4x2.解:(1)(103)3=109.(2)-(a
11、-b)25=-(a-b)25=-(a-b)10.(3)(x3)4x2=x34x2=x12x2=x14.12 2x3 310知识拓展逆用幂的乘方法则amn=(am)n,可以将幂的底数进行转化,从而可化为同底数幂的乘法来计算,也可以用来比较两个幂的大小.例如:由28n16n=222可得223n24n=222,即21+3n+4n=222,从而得到n=3.在比较340与430的大小的时候,也可以将两个幂化为同底数或同指数来进行比较.1.幂的乘方的运算性质.(am)n=amn(m,n都是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.课堂小结课堂小结2.在具体应用幂的乘方的运算性质时应注意以下几点:(1)幂的底
12、数和指数不仅仅可以是单独字母或数字,也可以是某个单项式或多项式.(2)正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法的异同.(3)多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则:(am)np=(amn)p=amnp(m,n,p都是正整数).(4)幂的乘方公式还可逆用,即amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数).检测反馈检测反馈1.填空.(1)(y2)2n=;(2)若9m=316,则m=;(3)若3279=3x,则x=.y4n862.计算.(1)(-1)5(-3)22;(2)(x2)4x;(3)(x2)3+(-x)32.解:(1)(-1)5(-3)22=(-1)81=-81.(2)(x2)4x=x8x=x9.
13、(3)(x2)3+(-x)32=x6+x6=2x6.3.已知am=3,an=2,求a2m+3n的值.解:a2m+3n=a2ma3n=(am)2(an)3=3223=72.七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考1.填空.(1)(23)2=2323=2()；(2)(72)3=72()()=7()；(3)(a3)2=a3()=a().仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么关系?结果中的底数与原式的底数之间有什么关系?地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.
14、木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍,它们的体积分别约是地球的多少倍?（提示:球的体积公式是V=r3,其中V是球的体积,r是球的半径）43探索幂的乘方的运算性质探索幂的乘方的运算性质1.你知道(102)3等于多少吗?(102)3=102102102=102+2+2=106=1023.【思考】推出第步和第步的根据是什么呢?点拨点拨:结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.点拨点拨:第步利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第步利用了同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.【思考】观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?2.做一做:计算下列各式,并说明理由
15、.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.(3)(am)2=amam=am+m=.4()=.mnmmmmnamnm mmmnaaaaaa 个个（）解：(1)(62)4=62626262=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2a2a2=a2+2+2=a6.2.ma用语言表述为:幂的乘方，底数不变,指数相乘.幂的乘方的运算性质，即即:(am)n=amn(m,n都是正整数都是正整数).(教材例1)计算.(1)(102)3;(2)(b5)5;(3)(an)3;(4)-(x2)m;(5)(y2)3y;(6)2(a2)6-(a3)4.(3)(an)3=a3n.解：(
16、1)(102)3=1023=106.(2)(b5)5=b55=b25.(4)-(x2)m=-x2m.（5）(y2)3y=y23y=y6y=y6+1=y7.(6)2(a2)6-(a3)4=2a26-a34=2a12-a12=a12.幂的乘方法则的延伸1.判断下面计算是否正确,如有错误请改正.(1)(x3)3=x6;(2)a6a4=a24.(1)(x3)3=x6不正确,(x3)3表示三个x3相乘,即x3x3x3=x3+3+3=x33=x9;或直接根据幂的乘方的运算性质:底数不变,指数相乘,得(x3)3=x33=x9.(2)a6a4=a24不正确.a6a4=(aaaaaa)(aaaa)=a10;或根
17、据同底数幂乘法的运算性质:底数不变,指数相加,得a6a4=a6+4=a10.2.计算.(1)(103)3;(2)-(a-b)25;(3)(x3)4x2.解:(1)(103)3=109.(2)-(a-b)25=-(a-b)25=-(a-b)10.(3)(x3)4x2=x34x2=x12x2=x14.12 2x3 310知识拓展逆用幂的乘方法则amn=(am)n,可以将幂的底数进行转化,从而可化为同底数幂的乘法来计算,也可以用来比较两个幂的大小.例如:由28n16n=222可得223n24n=222,即21+3n+4n=222,从而得到n=3.在比较340与430的大小的时候,也可以将两个幂化为同
18、底数或同指数来进行比较.1.幂的乘方的运算性质.(am)n=amn(m,n都是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.课堂小结课堂小结2.在具体应用幂的乘方的运算性质时应注意以下几点:(1)幂的底数和指数不仅仅可以是单独字母或数字,也可以是某个单项式或多项式.(2)正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法的异同.(3)多重乘方可以重复运用上述幂的乘方法则:(am)np=(amn)p=amnp(m,n,p都是正整数).(4)幂的乘方公式还可逆用,即amn=(am)n=(an)m(m,n都是正整数).检测反馈检测反馈1.填空.(1)(y2)2n=;(2)若9m=316,则m=;(3)若3279=3x,则x
19、=.y4n862.计算.(1)(-1)5(-3)22;(2)(x2)4x;(3)(x2)3+(-x)32.解:(1)(-1)5(-3)22=(-1)81=-81.(2)(x2)4x=x8x=x9.(3)(x2)3+(-x)32=x6+x6=2x6.3.已知am=3,an=2,求a2m+3n的值.解:a2m+3n=a2ma3n=(am)2(an)3=3223=72.七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考地球可以近似地看做是球体,地球的半径约为6103 km,它的体积大约是多少立方千米
20、?（已知:球的体积公式是V=r3）43列出算式V=r3=(6103)3.4343提出疑问提出疑问:(6103)3=?它是幂的乘方吗?(6103)3有怎样的结构特征?探索积的乘方的运算性质比一比比一比:(1)(12)4=,1424=;(2)3(-2)3=,33(-2)3=;2221111(3)_._.2323做一做做一做:(1)(35)4=3()5()；(2)(35)m=3()5()；(3)(ab)n=a()b().【结论】(ab)n=anbn(n是正整数).积的乘方等于每一个因数乘方的积.积的乘方运算性质的拓展【思考】三个或三个以上的积的乘方,是否也具有上面的性质?怎样用公式表示?【结论】几个
21、因数的积的乘方,就是把这些因数分别乘方,再把所得的幂相乘.可以用公式(abc)n=anbncn(n是正整数)来表示.(教材例2)计算.(1)(3x)2;(2)(-2b)5;(3)(-2xy)4;(4)(3a2)n.(4)(3a2)n=3n(a2)n=3na2n.解:(1)(3x)2=32x2=9x2.(2)(-2b)5=(-2)5b5=-32b5.(3)(-2xy)4=(-2)4x4y4=16x4y4.(1)2353；(2)462.57；(3)2939 ；(4)0.125201282014.916(3)2939 =1.解:(1)2353=(25)3=103.(2)462.57=462.562.
22、5=(42.5)62.5=2.5106.(4)0.125201282014=0.12520128201282=(0.1258)201282=64.99112366 3.逆用积的乘方法则:anbncn=(abc)n(n是正整数).1.积的乘方运算法则:(ab)n=anbn(n是正整数).积的乘方等于每一个因数乘方的积.课堂小结课堂小结2.拓展:(abc)n=anbncn(n是正整数).检测反馈检测反馈225pq1.填空.(1)(ab)6=()6()6;(2)(2m)3=()3()3=;(3)=()2()2()2=;(4)(-x2y)5=()5()5=.ab2m38m25pq22425p q-x2
23、y-x10y52.计算.(1)(ab)3=;(2)(-xy)5=;(3)=;(4)=;(5)(2102)2=.234ab3232a b22916a b63278a ba3b3-x5y5410423212xy z323nma b3.计算.(1);(2);(3)(4a2b3)n;(4)2a2b4-3(ab2)2.解解:(1)原式=.(2)原式=-.(3)原式=4na2nb3n.(4)原式=2a2b4-3a2b4=-a2b4.2644x y z33827nma b七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问
24、题思考问题思考 一种液体每升含有1012个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌.(1)要将1升这种液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少滴?(2)你是怎样计算的?(3)你能再举出几个类似的算式吗?1.怎样计算1012109?121212939391010 1010101010 10 10101010 1010 个个个同底数幂的除法法则2.计算下列各式,并说明理由(mn).(1)10m10n;(2)(-3)m(-3)n;11(3)()().22mn 3.你能用字母表示同底数幂的除法运算法则并说明理由吗?-(0,).mam namnm
25、 nnaa aaaaa aaaam nmna aa 个()个个都是正整数，且注意注意:同底数幂除法运算中,相同底数可以是不为0的数字、字母、单项式或多项式.同底数幂除法运算中,也可以是两个以上的同底数幂相除,幂的底数必须相同,相除时指数才能相减.归纳归纳:同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减.即aman=am-n(a0,m,n都是正整数,且mn).探索零指数幂与负整数指数幂104=10000,24=16,10()=1000,2()=8,10()=100,2()=4,10()=10,2()=2.1.做一做做一做:2.猜一猜猜一猜:下面的括号内该填入什么数?你是怎么想的?与同伴交流
26、.12141810()=1,2()=1,10()=0.1,2()=,10()=0.01,2()=,10()=0.001,2()=.3.你有什么发现?能用符号表示你的发现吗?4.你的发现合理吗?为什么?1.ppaaa0=1,方法一方法一:从同底数幂的除法和约分的角度来进行说明.-0,().,mm namnm nnaam nma aaaaa aaaaana 个()个个都是正整数 且我们前面这样推导了同底数幂的除法法则:当m=n时,我们可以类似地得到:01().0,mammmaam na aaaaaa aa 个个都是正整数当mn).同底数幂相除,底数不变,指数相减.2.a0=1(a0);a-p=(a
27、0,p是正整数).课堂小结课堂小结1pa检测反馈检测反馈1.下列计算中错误的有()(1)a10a2=a5;(2)a5a=a5;(3)(-a)5(-a)3=a2;(4)30=3.A.1个B.2个 C.3个 D.4个解析:(1)(2)(4)错误.故选C.C2.计算(a2)3(-a2)2的结果正确的是()A.-a2 B.a2 C.-a D.a解析:原式=a6a4=a2.故选B.B解析:原式=33m32m3=3m-1.故填3m-1.3.计算27m9m3=.3m-14.计算.(1)(x-2y)4(2y-x)2(x-2y).(2)(x+y)(x-y)9(y-x)8(-x-y)9.(2)原式=(x+y)9(
28、x-y)9(x-y)8(-x-y)9=-(x-y)=y-x.解:(1)原式=(x-2y)4-2-1=x-2y.七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考同学们知道这句话的出处吗?同学们知道泰山和鸿毛有多重吗?泰山约重3240000吨,鸿雁羽毛约重0.00000087吨.泰山的重量3240000吨,数值比较大,你能用科学记数法来表示吗?较小的数也能用科学记数法来表示吗?科学记数法的拓展延伸2.把下列小数用a10n(1a10)的形式表示出来.(1)0.01;(2)0.0056;(3)0.0
29、0023.仔细观察你有什么发现?1.用小数表示下列各数.(1)110-2;(2)5.610-3;(3)2.310-4.【结论结论】我们把绝对值小于1的正数写成a10n(n为负整数,1a10)的形式也叫科学记数法.其中n等于该数第一个非零数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)的相反数.【思考思考】它与以前学过绝对值大于1的数用科学记数法表示为a10n(n为正整数)的形式有什么区别与联系?用科学记数法表示很小的数3.某种分子的直径是410-10 m,用小数表示为.1.用科学记数法表示下列各数.0.0000000001;0.0000000000029;0.000000001295.2.某种分
30、子的质量是310-26 g,用小数表示为.科学记数法的实际应用议一议议一议:1.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5 m的细颗粒物,也称为可入肺颗粒物.虽然它们的直径还不到人的头发粗细的 ,但它们含有大量的有毒、有害物质,并且在大气中的停留时间长、输送距离远,因而对人体健康和大气环境质量有很大的危害.(1)假设一种可入肺颗粒物的直径约为2.5 m,相当于多少米?(2)多少个这样的细颗粒物首尾连接起来能达到1 m?与同伴进行交流.2.估计1张纸的厚度大约是多少厘米.你是怎样做的?与同伴进行交流.1202.用科学记数法表示小于1的正数与大于10的数的异同:相同之处:都表示为a10的n次幂的形式
31、(1a10).不同之处:当表示大于10的数时,n为正整数;当表示小于1的正数时,n为负整数.课堂小结课堂小结1.一般地,一个小于1的正数可以表示为a10n,其中1a2)米的正方形土地租给张大爷种植.第二年,他对张大爷说:“我把这块地变为一边减少2米,相邻另一边增加2米的长方形,继续租给你,租金不变,你也没吃亏,你看如何?”你知道张大爷是否吃亏了吗?谈谈你的想法,与同伴交流.张大爷吃亏了.因为张大爷原来土地的面积为a2平方米,后来土地的面积为(a+2)(a-2)=(a2-4)平方米,面积减小了,而租金没变,所以吃亏了.运用多项式乘多项式的法则可以计算(a+2)(a-2)=a2-4,那么这种类型的
32、运算有没有简单算法呢?探究平方差公式探究平方差公式问题问题1多项式乘多项式的法则是什么?你能用公式表达出来吗?问题问题2计算下列各题:(1)(x+2)(x-2);(2)(1+3a)(1-3a);(3)(x+5y)(x-5y);(4)(2y+z)(2y-z).问题问题3上述各题中相乘的两个多项式有什么特点?它们相乘的结果有什么特点?你有什么发现?再举两例验证你的发现.问题问题4猜一猜:(a+b)(a-b)=.你能用文字语言表达这个规律吗?a2-b2两个数的和与这两个数的差两个数的和与这两个数的差的积的积,等于这两个数的平方差等于这两个数的平方差.平方差公式的应用【活动内容活动内容1】下列各式能否
33、用平方差公式进行计算?为什么?(1)(a-b)(a+b);(2)(-b+a)(a-b);(3)(-a+b)(-a-b);(4)(-a-b)(-b+a).能能能不能【活动内容活动内容2】(教材例教材例1)利用平方差公式计算.(1)(5+6x)(5-6x);(2)(x-2y)(x+2y);(3)(-m+n)(-m-n).(3)(-m+n)(-m-n)=(-m)2-n2=m2-n2.解:(1)(5+6x)(5-6x)=52-(6x)2=25-36x2.(2)(x-2y)(x+2y)=x2-(2y)2=x2-4y2.【即时训练即时训练】计算计算.(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3
34、+2a);(3)(-2x+y)(-2x-y).(3)(-2x+y)(-2x-y)=(-2x)2-y2=4x2-y2.解:(1)(a+3b)(a-3b)=a2-(3b)2=a2-9b2.(2)(3+2a)(-3+2a)=(2a)2-32=4a2-9.(教材例教材例2)利用平方差公式计算.(1)；(2)(ab+8)(ab-8).1144xyxy解:(1)22221111.44416xyxyxyxy(2)(ab+8)(ab-8)=(ab)2-82=a2b2-64.【即时训练即时训练】计算.(1)(x+2y)(-x+2y);(2)(3m-5n)(5n+3m);(3)(-1+xy)(-1-xy);(4)
35、(-2ab-5)(2ab-5).解:(1)(x+2y)(-x+2y)=(2y)2-x2=4y2-x2.(2)(3m-5n)(5n+3m)=(3m)2-(5n)2=9m2-25n2.(3)(-1+xy)(-1-xy)=(-1)2-(xy)2=1-x2y2.(4)(-2ab-5)(2ab-5)=(-5)2-(2ab)2=25-4a2b2.下列计算对不对?如果不对,怎样改正?(1)(x+2)(x-2)=x2-2;(2)(2a2+b2)(2a2-b2)=2a4-b4;(3)(-3a-2)(-3a-2)=(-3a)2-22=9a2-4.(3)错;应改为(-3a-2)(-3a-2)=9a2+12a+4.解
36、:(1)错;应改为(x+2)(x-2)=x2-4.(2)错;应改为(2a2+b2)(2a2-b2)=4a4-b4.知识拓展1.a,b仅仅是符号,它们可以表示数,也可以表示式子,无论表示什么,它们的和与差的积一定等于它们的平方差.2.认识公式的特征至关重要.平方差公式的特征:公式的左边是两个数的和乘这两个数的差,而公式的右边是这两个数的平方差.检测反馈检测反馈1.下列式子可用平方差公式计算的是()A.(a-b)(b-a)B.(-x+1)(x-1)C.(-a-b)(-a+b)D.(-x-1)(x+1)解析:A选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误;B选项中对应的项符号分别相反,不
37、符合公式特点,故此选项错误;C选项中a的符号相同,b的符号相反,符合公式特点,故此选项正确;D选项中对应的项符号分别相反,不符合公式特点,故此选项错误.故选C.C解析:A选项(x-2y)(2y+x)=(x-2y)(x+2y)=x2-4y2,所以A选项不正确;B选项(-2y-x)(x+2y)不符合平方差公式结构特征,所以B选项正确;C选项(x-2y)(-x-2y)=-(x-2y)(x+2y)=-x2+4y2,所以C选项不正确;D选项(2y-x)(-x-2y)=(x-2y)(x+2y)=x2-4y2,所以D选项不正确.故选B.2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是()A.(x-2y)(2y+
38、x)B.(-2y-x)(x+2y)C.(x-2y)(-x-2y)D.(2y-x)(-x-2y)B3.下列各题的计算是否正确?错的如何改正?(1)(x+2)(x-2)=x2-2;(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4.解:(1)错误,改正:(x+2)(x-2)=x2-4.(2)错误,改正:(-3a-2)(3a-2)=4-9a2.4.计算.(1)(a+3b)(a-3b);(2)(3+2a)(-3+2a);(3)(-2x2-y)(-2x2+y).解:(1)(a+3b)(a-3b)=a2-9b2.(2)(3+2a)(-3+2a)=4a2-9.(3)(-2x2-y)(-2x2+y)=(-2x2)2
39、-y2=4x4-y2.解:由题意可知a2-4b2=(a+2b)(a-2b)=53=15.5.已知a+2b=5,a-2b=3,求a2-4b2的值.七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考大家回顾一下上节课学习的平方差公式,看谁答的又对又快.1.平方差公式.(1)符号表达式:.(2)文字表达:.2.判断下列算式能否运用平方差公式计算.(1)(a+2)(a-3);(2)(-m-n)(m-n);(3)(2x+3y)(3x-2y);(4)(4x-3)(-4x-3).拼图游戏,验证公式如图所示,
40、边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.(1)请表示图中阴影部分的面积:S=.(2)请将阴影部分剪拼成一个长方形,画出这个长方形.这个长方形的长=,宽=,面积S=.(3)比较(1)(2)的结果,你能验证平方差公式吗?1.想一想想一想:(1)迅速计算下列各组算式,并观察它们的特点.7 98 8 11 1312 1279 8180 80(3)请你用字母表示这一规律,你能说明它的正确性吗?(2)从以上的计算过程中,你发现了什么规律?展示展示:(1)中算式算出来的结果如下:7 9638 864 11 1314312 1214479 81639980 806400(2)从上面的计算可以发现,一个
41、自然数的平方比它相邻两数的积大1.(3)设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数分别为a-1,a+1,则有(a+1)(a-1)=a2-1.运算中的平方差公式（2）118122=(120-2)(120+2)=1202-4=14400-4=14396.(教材例3)用平方差公式进行计算.(1)10397;(2)118122.解：（1）因为103=100+3,97=100-3,所以10397=(100+3)(100-3)=1002-32=9991.计算.(1)(200+1)(200-1)；(2)10298；(3)9.910.1.解:(1)(200+1)(200-1)=2002-12=40000-1=39
42、999.(2)10298=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996.(3)9.910.1=(10-0.1)(10+0.1)=102-0.12=100-0.01=99.99.(教材例4)计算.(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2;(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3).解析上面两个小题是整式的混合运算,平方差公式的应用能使运算简便,还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2=a2(a2-b2)+a2b2=a4-a2b2+a2b2=a4.(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=(2x)2-52-(4x2
43、-6x)=4x2-25-4x2+6x=6x-25.知识拓展知识拓展平方差公式中的字母不仅可以表示一个数字或一个单项式,也可以表示一个多项式,如(a+b-c)(a-b+c)=a+(b-c)a-(b-c).也可以用来计算一些较大数的乘法.检测反馈检测反馈2.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式计算?若可以,请用平方差公式计算.(1)(a+b+c)(a-b+c);(2)(a-b-c)(a+b-c).1.在等号右边的括号内填上适当的项.(1)a+b-c=a+();(2)a-b+c=a-();(3)a-b-c=a-();(4)a+b+c=a-().b-c b-cb+c-b-c解:(1)能用.(a+b+c)
44、(a-b+c)=(a+c)+b(a+c)-b=(a+c)2-b2=a2+2ac+c2-b2.(2)能用.(a-b-c)(a+b-c)=(a-c)-b(a-c)+b=(a-c)2-b2=a2-2ac+c2-b2.11.33xx3.计算:x(x-1)-解:x(x-1)-=x2-x-x2+=-x+.19194.计算:(x-2y)(x+2y)-(x-1)(x+1).解:(x-2y)(x+2y)-(x-1)(x+1)=x2-(2y)2-(x2-1)=x2-4y2-x2+1=-4y2+1.11.33xx七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反
45、馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考【思考】(1)上面多项式乘多项式的运算有什么特点?(2)你能用字母来表示且用自己的语言来叙述你的发现吗?计算下列各题,观察结果,你有什么发现?(1)(m+3)2;(2)(2+3x)2.过程展示:(1)(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+23m+9=m2+6m+9.(2)(2+3x)2=(2+3x)(2+3x)=4+23x+23x+9x2=4+223x+9x2=4+12x+9x2.完全平方公式的结构特征观察:(m+3)2=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9=m2+23m+9=m2+6m+9.(m-3)2=(m-3
46、)(m-3)=m2-3m-3m+9=m2-23m+9=m2-6m+9.用字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.语言描述语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍.结构特点结构特点:左边是二项式(两数和(或差)的平方,右边是两数的平方和加上(或减去)这两数乘积的两倍.【方法总结方法总结】公式中的a和b可代表字母、数字、单项式或多项式.体验成功体验成功细心填一填:(x+2)2=()2+22x+()2；(2a-3b)2=()-2()()+(3b)2；222112()22mnmnn 22211()2()().33abab （
47、教材例1)利用完全平方公式计算.(1)(2x-3)2;(2)(4x+5y)2;(3)(mn-a)2.(3)(mn-a)2=(mn)2-2mna+a2=m2n2-2mna+a2.解:(1)(2x-3)2=(2x)2-22x3+32=4x2-12x+9.（2)(4x+5y)2=(4x)2+24x5y+(5y)2=16x2+40 xy+25y2.2.结构特点:左边是二项式(两数和(或差)的平方;右边是两数的平方和加上(或减去)这两数乘积的两倍.课堂小结课堂小结1.完全平方公式的字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.3.语言描述:两数和(或差)的平方,等于这两
48、数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍.检测反馈检测反馈1.下列完全平方公式运用正确的是()A.(x+y)2=x2+y2B.(x-y)2=x2-y2C.(-x+y)2=x2-2xy+y2D.(-x-y)2=x2-2xy+y2解析:由完全平方公式展开为三项可知A,B不符合题意;C选项(-x+y)2=(-x)2+2(-x)y+y2=x2-2xy+y2,符合题意;D选项(-x-y)2=-(x+y)2=x2+2xy+y2,故D不符合题意.故选C.C2.下列运算正确的是()A.a3+a2=a5 B.(ab2)2=ab4C.(a+b)(a-b)=a2-b2D.(a+b)2=a2+b2解析:A选项中a3与a
49、2不是同类项,不能合并,故A错误;B选项(ab2)2=a2b4,故B错误;C选项(a+b)(a-b)=a2-b2,故C正确;D选项(a+b)2=a2+2ab+b2,故D错误.故选C.C3.x2+y2=(x+y)2-=(x-y)2+.2xy解析:由(x+y)2=x2+2xy+y2,(x-y)2=x2-2xy+y2可知x2+y2=(x+y)2-2xy=(x-y)2+2xy.2xy222114._.mmmm解析:由 可知 .故填2.2221112mmmmmm222112mmmm26.计算:(-2x+1)2.解:(-2x+1)2=(-2x)2+2(-2x)1+12=4x2-4x+1.解析:因为x2+y
50、2=(x-y)2+2xy,所以当x-y=3,xy=10时,x2+y2=(x-y)2+2xy=32+210=9+20=29.故填29.5.若x-y=3,xy=10,则x2+y2=.29七年级数学七年级数学下下 新课标新课标北师北师第一章第一章 整式的乘除整式的乘除 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考 有一个王国的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主,国王要赏赐他们.这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地,第一个农夫就对国王说:“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢?”国王答应了他,国王问第二个农夫:“你是不是要跟他
