1、第六章 反比例函数6.1反比例函数目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.理解反比例函数的概念，能根据反比例函数的概念判理解反比例函数的概念，能根据反比例函数的概念判断两个变量是否具有反比例函数的关系断两个变量是否具有反比例函数的关系.2 2.会求反比例函数的表达式，会用反比例函数解决简单会求反比例函数的表达式，会用反比例函数解决简单的实际问题的实际问题.（重点）（重点）学习目标新课导入当人和木板对地面的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强如何变化？亮度可调节的台灯，当电压一定时，怎样通过调节电阻来控制
2、电流的变化从而改变灯光的明暗？新课导入思考 生活是五彩缤纷的，在我们的数学世界里，虽然没有那么多美丽的色彩，但是却有许多美丽而神奇的线它们充满了智慧，给我们展现了一个睿智的世界瞧，旭日中学正在举行100米赛跑你知道琳琳和华华两位同学的比赛成绩与他们的速度有什么样的函数关系吗?新课讲解 知识点1 反比例函数的定义合作探究 京沪高速铁路全长约为1318km,列车沿京沪高速铁路从上海驶往北京，列车行完全程所需要的时间t(h)与行驶的平均速度v(km/h)之间有怎样的关系？变量t是v的函数吗？为什么？变量t与v之间的关系可以表示成：你还能举出类似的实例吗？与同伴交流.1318t=.v新课讲解(1)判定
3、一个函数为反比例函数的条件：所给等式是形如y 或ykx1或xyk的等式；比例系数k是常数，且k0.(2)y是x的反比例函数函数解析式为y 或ykx1 或xyk(k为常数，k0)kxkx新课讲解例典例分析 下列关系式中，下列关系式中，y是是x的反比例函数的是的反比例函数的是_ (填序号填序号)y2x1；y ；y ；y .23x5x12x 根据反比例函数的定义进行判断，看它是否满足反比例函数的三种表现形式y2x1是一次函数；y 是反比例函数；y ，y与x2成反比例，但y与x不是反比例函数关系；y 是反比例函数，可以写成 ；导引：5x23x12x12yx=新课讲解结论判断一个函数是不是反比例函数的方
4、法：判断一个函数是不是反比例函数的方法：先看它是否能写成反比例函数的三种表现形式，先看它是否能写成反比例函数的三种表现形式，再看再看k k 是否为常数且是否为常数且k k0.0.新课讲解 知识点2 反比例函数的表达式 求反比例函数的表达式，就是确定反比例函数表达式求反比例函数的表达式，就是确定反比例函数表达式 y y (k k0)0)中常数中常数k k的值，它一般需经历：的值，它一般需经历：“设设代代求求还原还原”这四步这四步 即：即：(1)(1)设：设：设出反比例函数表达式设出反比例函数表达式y y ；(2)(2)代：代：将所给的数据代入函数表达式；将所给的数据代入函数表达式；(3)(3)求
5、：求：求出求出k k的值；的值；(4)(4)还原：还原：写出反比例函数的表达式写出反比例函数的表达式kxkx新课讲解例典例分析 已知y是x的反比例函数，当x=4时，y=6.(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)当x2时，求y的值.解：(1)设 把x=4，y=6代入 得k=24.所以这个反比例函数的表达式为(2)当x2时，.kyx,kyx 24.yx 2412.2y 新课讲解总结确定反比例函数表达式的方法：确定反比例函数表达式的方法：在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先在明确两个变量为反比例函数关系的前提下，先设出反比例函数的表达式，然后把满足反比例函数关系的设出反比例函数的表达式，然后
6、把满足反比例函数关系的一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求出待一组对应值代入设出的表达式中构造方程，解方程求出待定系数，从而确定反比例函数的表达式定系数，从而确定反比例函数的表达式新课讲解练一练1 若y与x2成反比例，且当x1时，y3，则y与x之间的关系是()A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D其他B新课讲解 知识点2 建立反比例函数的模型 确定实际问题中的反比例函数表达式类似于列二确定实际问题中的反比例函数表达式类似于列二元一次方程，两个变量就是两个未知数，关键是认真元一次方程，两个变量就是两个未知数，关键是认真审题，找到两个变量间的等量关系比如面积审题，找到两个变量间的等量
7、关系比如面积s s一定时，一定时，矩形的长矩形的长x x和宽和宽y y的关系式为的关系式为y y=(=(s s为定值为定值)这里只这里只有一个待定系数有一个待定系数s s，因此只需知道一组，因此只需知道一组x x，y y的值即可求的值即可求出这个反比例函数的关系式出这个反比例函数的关系式 sx新课讲解例典例分析 用反比例函数表达式表示下列问题中两个变 量 间的对应关系：(1)小明完成100 m赛跑时，所用时间t(s)随他跑步 的平均速度v(m/s)的变化而变化；(2)一个密闭容器内有气体0.5 kg，气体的密度 (kg/m3)随容器体积V(m3)的变化而变化；(3)压力为600 N时，压强p随
8、受力面积S的变化而 变化；(4)三角形的面积为20，它的底边a上的高h随底边 a的变化而变化新课讲解导引：先根据每个问题中两个变量与已知量之间的等量 关系列出等式，然后通过变形得到函数表达式 解：(1)vt100，t (v0)；(2)0.5V，(V0)；(3)pS600，p (S0)；(4)ah20，h (a0)100v0.5V600S40a新课讲解练一练1 在下列选项中，是反比例函数关系的是()A多边形的内角和与边数的关系 B正三角形的面积与边长的关系 C直角三角形的面积与边长的关系 D三角形的面积一定时，它的底边长a与这边上 的高h之间的关系D课堂小结一般地形如y=（k为常数，k0），那么
9、称y是x的反比例函数.“反比例关系”与“反比例函数”：成反 比例的关系式不一定是反比例函数,但是反 比例函数中的两个变量必成反比例关系.k0这个条件不能遗漏.注意：y=（k0）可以写成y=kx-1(k0)的形式，注意自变量x的 指数为1，x 在解决有关自变量指数问题时应特别注意 系数k0这一限制条件;(2)y=（k0）也可以写成xy=k（k0)的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k.从而得到反比例函数的解析式.两个变量的积均是一个常数(或定值).这也是识别两个量是否成反比例函数关系的关键.kx当堂小练1.下列关系式y是关于x的反比例函数的是()A.y=4x B.yx=3C.y=-1x
10、 D.y=x2-12.下列关系,两个变量之间成反比例函数关系的是()A.长40米的绳子剪去x米,还剩y米B.买单价3元的笔记本x本,花了y元C.一个正方形的面积为S,边长为aD.一个菱形的面积为20,对角线的长分别为x,yCD当堂小练3.已知函数y=(m2-m)xm2-3m+1.(1)当m为何值时,此函数是正比例函数?(2)当m为何值时,此函数是反比例函数?解:(1)由y=(m2-m)xm2-3m+1是正比例函数,得m2-3m+1=1且m2-m0,解得m=3.故当m=3时,此函数是正比例函数.(2)由y=(m2-m)xm2-3m+1是反比例函数,得m2-3m+1=-1且m2-m0,解得m=2.
11、故当m=2时,此函数是反比例函数.D拓展与延伸D拓展与延伸D拓展与延伸第六章 反比例函数6.2反比例函数的图像与性质6.2.1 反比例函数的图像目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.会用描点法画反比例函数的图象会用描点法画反比例函数的图象.2 2.掌握反比例函数图象掌握反比例函数图象的的对称性对称性.（重点）（重点）学习目标新课导入知识回顾还记得画一次函数图象的步骤吗？你能画出y=x+3的图象吗？我们通过列表、描点、连线我们很容易就能画出y=x+3的图象.你能尝试画出反比例函数 的图象吗？4yxy=x+3y=x+3新
12、课讲解 知识点1 反比例函数的图像与坐标图象的画法：(1)反比例函数的图象是双曲线；(2)画反比例函数的图象要经过“列表、描点、连线”这三个步骤新课讲解(1)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取35个点即可；(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接注意：两个分支不连接我们来画反比例函数 的图象 (1)列表：6yx x64321 1 2346 61.5236 6 321.51 新课讲解(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在下图所 示的直角坐标系中描出相应的点(3)
13、连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例 函数 的图象.6yx 新课讲解结论 列表时，自变量的值可以以列表时，自变量的值可以以0 0为中心，在为中心，在0 0的两边选的两边选择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便于描择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便于描点；在列表、描点时要尽量多取一些数据，多描一些点，点；在列表、描点时要尽量多取一些数据，多描一些点，方便连线方便连线新课讲解练一练1已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2104时，这种显示器工作的天数为d(天)，平均每天工作的时间为t(时)，那么能正确表示d与t之间的函数关系图象的是()C新课讲解 知识点2 反比例函数图像的
14、对称性 观察例1中函数图象，如果点P(x0,y0)在函数的图象 上,那么与点P关于原点成中心对称的P的坐标应是什么?这个点在函数 的图象上吗?4yx 4yx 双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形对称轴有两条，分别是直线yx与直线yx；对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称新课讲解例典例分析如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P(3a，a)是反比例函数 (k0)的图象与正方形的一个交点若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的表达式为_ kyx 3yx 新课讲解导引：由反比例函数图象的对称性可
15、知阴影部分的面积正好等于正方形面积的 ,设正方形的边长为b，由图中阴影部分的面积等于9可求出b的值，进而可得出a的值，再根据点P(3a，a)在反比例函数的图象上，可得出反比例函数的表达式14新课讲解练一练1、已知P为函数 的图象上一点，且点P到原点的距离为2，则符合条件的点P有()A0个 B2个 C4个 D无数个2yx B2、如图，以原点为圆心的圆与反比例函数 的图象交于A，B，C，D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标为()A4 B3 C2 D13yx A课堂小结反比例函数图象及位置：反比例函数反比例函数表达式表达式图象图象位置位置 第一、三象限第一、三象限 第二、四象限第二、四象限(
16、0)kykx(0)kykx当堂小练1.下列各点,在函数y=-6x的图像上的是()A.(-3,-2)B.(-2,3)C.(3,2)D.(-3,3)2.正比例函数y=2x和反比例函数y=2x的图像的一个交点为(1,2),则另一个交点为()A.(-1,-2)B.(-2,-1)C.(1,2)D.(2,1)BA当堂小练3.已知函数y=(m-2)xm2-5是反比例函数.(1)求m的值;(2)画出此函数的图像.解:(1)函数y=(m-2)xm2-5是反比例函数,m2-5=-1,m-20,m=-2.(2)当m=-2时,反比例函数的解析式为y=-4x,图像如答图.D拓展与延伸D拓展与延伸D拓展与延伸D拓展与延伸
17、第六章 反比例函数6.2反比例函数的图像与性质6.2.2 反比例函数的性质目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.能根据反比例函数的图像和表达式探索、理解反比例能根据反比例函数的图像和表达式探索、理解反比例函数的性质，并能根据图象求相应的函数表达式函数的性质，并能根据图象求相应的函数表达式2 2.能运用反比例函数的图像和性质解决相关问题能运用反比例函数的图像和性质解决相关问题（重点）（重点）学习目标新课导入知识回顾(1)如何画反比例函数的图象呢？(2)其步骤是怎样的呢？新课讲解 知识点1 反比例函数的性质合作探究1.根
18、据反比例函数 与 的表达式及图像，探究下列问题：6yx 6yx 新课讲解表达式图象的位置y随x的变化情况图象在第_、_象限内在每个象限内，y的值随x的值增大而_图象在第_、_象限内在每个象限内，y的值随x的值增大而_6yx 6yx 一三二四四减小减小增大增大新课讲解2.对于函数 与 ，指出它们的图象所在象限，并说明y的值随x的值的变化而变化的情况.2yx 2yx 新课讲解例典例分析反比例函数 的图象如图所示.(1)判断k为正数还是负数.(2)如果A(3，y1)和B(1，y2)为这个函数图 像上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样 的？kyx 新课讲解解：(1)因为反比例函数 的图象在第一、三
19、象限，所以k0.(2)由k0可知，在每个象限内，y的值随x的值增 大而减小，31,y1y2.kyx 新课讲解讨论结论根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函象限的分支
20、上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求值来进行比较值来进行比较新课讲解练一练12 已知反比例函数 ，当1x3 时，y的最小整数值是()A3 B4 C5 D6 在反比例函数 的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是()A1 B1 C2 D3AA6yx 1kyx 新课讲解 知识点2 反比例函数中K的几何性质双曲线的几何特性：双曲线的几何特性：过双曲线过双曲线 上的任意一点向两坐标轴作垂上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于线，与两坐标轴围成
21、的矩形面积等于|k k|，连接该点，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于角形的面积都等于 .kyx 2k新课讲解例典例分析 如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为_导引：根据反比例函数中k的几何意义，得POA和BOA的面积分别为2和1，于是阴影部分的面积为1.4yx=2yx=1新课讲解归纳求阴影部分面积的方法：求阴影部分面积的方法：当它无法直接求出时，一般都采用当它无法直接求出时，一般都采用“转化转化”的方法，将它的方法，将它转化为易
22、求图形面积的和或差来进行计算如本例就是将阴影转化为易求图形面积的和或差来进行计算如本例就是将阴影部分面积转化为两个与比例系数相关的特殊三角形的面积的差部分面积转化为两个与比例系数相关的特殊三角形的面积的差来求，要注意来求，要注意转化思想转化思想和和作差法作差法的运用的运用新课讲解练一练如图，点A为反比例函数 图象上一点，过A作ABx轴于点B，连接OA，则ABO的面积为()A4 B4 C2 D24yx D课堂小结反比例函数的性质反比例函数的性质增减性增减性当当K K小于小于0 0，在每一象，在每一象限内，限内，y y的值随的值随x x值的值的增大而增大增大而增大当当K K大于大于0 0，在每一象
23、限，在每一象限内，内，y y的值随的值随x x值的增大值的增大而减小而减小对称性对称性关于直线关于直线y=+xy=+x或或y=-xy=-x对称对称关于原点对称关于原点对称当堂小练1.已知反比例函数y=-6x,下列结论不正确的是()A.图像必经过点(-3,2)B.图像位于第二、四象限C.若x-2,则0y3D.在每一象限内,y随x值的增大而减小2.在反比例函数y=m-7x的图像的每一支上,y随x值的增大而减小,则m的取值范围是()A.m7 B.m7 C.m=7 D.m7DA当堂小练3.作出函数y=12x的图像,并根据图像解答下列问题:(1)当x=-2时,求y的值;(2)当2y3时,求x的取值范围;
24、(3)当-4x-2时,求y的取值范围.解:图像如答图.(1)当x=-2时,y=12-2=-6.(2)当y=2时,x=122=6;当y=3时,x=123=4,则x的取值范围是4x6.(3)当x=-4时,y=12-4=-3;当x=-2时,y=-6,则y的取值范围是-6y-3.D拓展与延伸D拓展与延伸【答案答案】C 第六章 反比例函数6.3反比例函数的应用目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1 1.知道反比例函数是解答现实生活中实际问题的一种有知道反比例函数是解答现实生活中实际问题的一种有效的数学模型效的数学模型2 2.会运用反
25、比例函数的图像和性质解决实际问题，体会会运用反比例函数的图像和性质解决实际问题，体会数学的应用价值数学的应用价值（重点）（重点）学习目标新课导入知识回顾1.反比例函数的一般形式:2.反比例函数的图象:3.反比例函数的图象的特征:y=k X(k 0的常数)双曲线(1)k0时,双曲线位于一、三象限,在每一象限内,y 随x的增大而减小;(2)k0时,双曲线位于二、四象限,在每一象限内,y 随x的增大而增大;新课导入情境导入你吃过拉面吗？你知道在做拉面的过程中渗透着数学知识吗？（1）体积为20cm的面团做成拉面，面条的总长度y 与面条粗细（横截面积）s有怎样的函数关系？（2）某家面馆的师傅收益精湛，他
26、拉的面条粗1mm2面条总长是多少？新课讲解 知识点1 实际问题中的反比例函数表达式合作探究下列问题中，如何利用函数来解答，请列出表达式(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平 均速度v（单位:km/h）的变化 而变化；(2)某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；1463tv 1000yx 新课讲解例1 市煤气公司要在地下修建一个容积 为104 m3的圆柱 形煤气储存室.(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其 深度d(单位：m)有 怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为 500 m2,施工队施工 时应该
27、向地下掘进多深？(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15 m时，公司临 时改变计划，把储存室的深度改为15 m.相应地，储 存室的底面积应改为多少（结果保留 小数点后两位)？新课讲解解:(1)根据圆柱的体积公式，得Sd=104，所以S关于d的函数关系式为 (2)把S=500代入 得 解得d=20(m).如果把储存室的底面积定为500 m2，施工时应向 地下掘进20 m深.410.Sd 410,Sd 410500,d 新课讲解结论 利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际利用反比例函数解决实际问题，首先要抓住实际问题中的等量关系，把实际问题转化为数学问题回答问题中的等量关系，把实际问题转化
28、为数学问题回答.新课讲解例典例分析 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间.(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的函数关系？(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载 完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？分析：根据“平均装货速度 装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装 载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量 卸货天数”，得到v 关于t 的函数关系式.新课讲解解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得 k=308=240，所以v关于t的函数关系式为 (2)把t=5代入 得 (吨/天).240
29、.vt 240,vt 240485v 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨.对于函数 当t0时，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.新课讲解练一练1电是商品，可以提前预购小明家用购电卡购买800 kWh电，那么这些电能够用的天数n(天)与小明家平均每天的用电量m(kWh)之间的函数表达式为_；如果平均每天用电4 kWh，那么这些电可用_天200800nm 新课讲解 知识点2 实际问题中的反比例函数的图像合作探究 学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每
30、天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y 天.（1）则y与x之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象新课讲解解：（1）煤的总量为：0.6150=90吨，（2）函数的图象为：90,xy 90.yx 新课讲解例典例分析 水池内原有12 m3的水，如果从排水管中每小时出x m3的水，那么经过y h就可以把水放完 (1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)当x6时，求y的值(1)由生活常识可知xy12，从而可得y与x之间的数关系式(2)画函数的图象时应把握实际意义即x0，所以图象只能在第一象限内(3)直接把x6代入函数关系式中可求出y的值新课讲解解：(1)由题意，得xy12，所以 (x0)
31、(2)列表如下：12yx x(x0)2468126321.51新课讲解描点并连线，如图所示(3)当x6时，122.6y 新课讲解总结 考虑到本题中时间考虑到本题中时间y y与每小时排水量与每小时排水量x x的实际意义，的实际意义，因而因而x x应大于应大于0 0，因此在画此实际问题中的反比例函数，因此在画此实际问题中的反比例函数的图象时，只能画出第一象限的一个分支，第三象限的图象时，只能画出第一象限的一个分支，第三象限的分支在此题中必须舍去的分支在此题中必须舍去课堂小结(1)审清题意，找出问题中的常量、变量(有时常量、变量以图象的形式给出)，并且理清常量与变量之间的关系；(2)根据常量与变量之
32、间的关系，设出反比例函数关系式；(3)利用待定系数法确定函数关系式，并注意自变量的取值范围；(4)利用反比例函数的图象与性质解决实际问题 用反比例函数解决实际问题的步骤：用反比例函数解决实际问题的步骤：当堂小练1.已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:)是反比例函数关系,它的图像如图,则I与R的函数表达式为()A.I=12R B.I=8RC.I=6R D.I=4R2.如果一个等腰三角形的面积为10,底边长为x,底边上的高为y,那么y与x的函数关系式为()A.y=10 x B.y=5xC.y=20 x D.y=x20AC当堂小练3.某车队要把4 000吨物资从甲
33、地运到乙地(方案确定后,每天的运输量不变).(1)从运输开始,每天运输的物资吨数y(单位:吨)与运输时间x(单位:天)之间有怎样的函数关系式?(2)若物资需在8天之内送到,则车队每天运输的物资吨数应至少为多少吨?解:(1)物资的总量为4 000吨,运输时间为x天,每天运输的物资吨数y=4 000 x.故从运输开始,每天运输的物资吨数y(单位:吨)与运输时间x(单位:天)的函数关系式为y=4 000 x.(2)把x=8代入函数关系式y=4 000 x,得y=4 0008=500.答:若物资需在8天之内送到,则车队每天运输的物资吨数应至少为500吨.D拓展与延伸给我一个支点，我可以撬动地球！阿基米德1.你认为可能吗？2.大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？3.同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？
