1、 高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页） 合肥市2020 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.1 14. 3 8 15.2yx 16. 2 ， 51 2 (第一空2分，第二空3分) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 17.(本小题满分12分) 解：(1)设 n a的
2、公差为d，由 2 1a ， 7 14S 得 1 1 1 72114 ad ad . 解得 1 11 , 22 ad，所以 2 n n a . 2 1 22 123 22 n n nn n b bbb ， 1 2 1231 2 n n n b bbb (2n )， 两式相除得2n n b (2n ). 当1n 时， 1 2b 适合上式. 2n n b . 5分 (2)cos2 cos 2 n nnn n cba ， 234212 2 21 3 2cos2 cos2 cos2 cos 22cos2cos 222 nn n n Tn 2462 2462 =2 cos2 cos 22 cos 32co
3、s 222( 1) 2 n nn n 1 4 14 44 145 n n . 12分 18.(本小题满分12分) 18.(本小题满分12分) 解：(1)/CDAB.理由如下： 连结CD，分别取AFBE，的中点MN，连结DMCNMN，由图(1)可得，ADF与BCE都是等腰直 角三角形且全等，则DMAF，CNBE，DMCN，如图. 平面ADF 平面ABEF，交线为AF，DM 平面ADF，DMAF，DM 平面ABEF. 同理得，CN 平面ABEF，/DMCN. 又DMCN 四边形CDMN为平行四边形 /CDMN. MN，分别是AFBE，的中点 /MNAB /CDAB. 5分 (2)在AB边上取一点P
4、，使得APDF. 由图(1)可得，ADFP为正方形，即APFP. M为AF的中点 MPMA. 由(1)知，MD 平面ABEF，MAMPMD，两两垂直. 以M点为坐标原点，直线MAMPMD，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyzM ，如图. 设2AF ，则D(0，0，1)，A(1，0，0)，P(0，1，0)，F(-1，0，0)， FD (1，0，1)，FEAP (-1，1，0). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C A D A B D A C D 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页） 设平面DFE的一个法向量为mxyz ， ，. 由 0
5、0 FD m FE m 得 0 0 xz xy . 令1x ，则11yz ，m (1，1，-1). 由平面ADF是坐标平面xMz可得：平面ADF一个法向量为n (0，1，0). 设平面ADF与平面DFE所成的锐角二面角为，则 3 coscos 3 m n m n mn ， 平面ADF与平面DFE所成锐二面角的余弦值为 3 3. 12分 19.(本小题满分12分)19.(本小题满分12分) 解:(1)设直线l的方程为 1 2 yxm.设A( 11 xy，)，B( 22 xy，). 由 22 1 43 1 2 xy yxm 得 22 30xmxm，则 2 1212 3xxmx xm ，. 由 22
6、 430mm ，解得22m . 又点P( 3 1 2 ，)在直线l的左上方，21m . 若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点 2 F，则 22 0AFBF ，即 1122 110xyxy， 化简得 2 74110mm，解得 11 7 m ，或1m(舍). 直线l的方程为 111 27 yx. 5分 (2) 1212 1212 333131 222222 1111 PAPB yyxmxm kk xxxx 12 11 11 11 m xx 12 1212 2 11 1 xx m xxx x 2 2 11 13 m m mm 2 2 2 10 2 mm mm ， 直线1x 平分APB，即PAB的
7、内切圆的圆心在定直线1x 上.12分 20.(本小题满分12分) 20.(本小题满分12分) 解:(1) 01 021 01 31 p p p ，解得 1 0 3 p. 1400400 1200400400200E Apppp， 1200300900100300200E Bpppp， 1 0 4 E AE Bp； 1 4 E AE Bp； 11 43 E AE Bp. 当 1 0 4 p时，应选择方案A；当 11 43 p时应选择方案B； 当 1 4 p 时，既可以选择方案A也可以选择方案B. 5分 (2)因为=0.2p，根据(1)的结果，应选择方案A，所以新产品的年度总成本为 32 1 2
8、810160 3 yxxx. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为 1 ， 2 和 3 ，则 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页） 11 60xy， 21 3 60 4 x xy ， 31 60x xy， 的分布列为 111 3 0.4600.4600.260 4 Exyx xyx xy 32 215 50160 32 xxx . 9分 设 32 215 50160 32 f xExxx ，020x， 2 21550fxxx . 0010fxx ， 01020fxx . f x在(0，10)上单调递增，在10 20，上单调递减， 当10x 时， f x取得最大值，
9、即年产量为10万件时， E取得最大值， 此时 max 10423.3f xf(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望 400200360E Ap(万元). 因为423.3360，所以在年产量为10万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润. 12分 21.(本小题满分12分) 21.(本小题满分12分) 解：(1) sin x f xex，定义域为R. sincos2sin 4 xx fxexxex . 由 0fx解得sin0 4 x ，解得 37 22 44 kxk (kZ). f x的单调递减区间为 37 2 2 44 kk ，(kZ). 4分 (2)由已知( )sin x g xe
10、xax， sincos x gxexxa. 令 h xgx，则 2cos x hxex. 0x，当0 2 x ，时， 0hx；当 2 x ，时， 0hx， h x在0 2 ，上单调递增，在 2 ，上单调递减， 即 gx在0 2 ，上单调递增，在 2 ，上单调递减. 01ga ， 0gea . 当10a，即01a时， 00 g ，0 2 g 0 2 x ，使得 0 0gx， 当 0 0xx，时， 0gx；当 0 xx，时， 0gx， g x在 0 0x，上单调递增，在 0 x，上单调递减. 00g， 0 0g x. 又 0ga ，由零点存在性定理可得，此时 g x在0 ，上仅有一个零点. 若13
11、a时， 0 g 10a， 又 gx在0 2 ，上单调递增，在 2 ，上单调递减，又 2 0 2 gea , 1 60xy 1 3 60 4 x xy 1 60x xy p 0.4 0.4 0.2 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页） 1 0 2 x ， 2 2 x ，使得 1 0gx， 2 0gx， 且当 1 0xx，、 2 xx，时， 0gx；当 12 xxx，时， 0gx. g x在 1 0x，和 2 x，上单调递减，在 12 xx，上单调递增. 00g， 1 0g x. 22 3 0 222 geae ， 2 0g x. 又 0ga ，由零点存在性定理可得， g x在 12
12、 xx，和 2 x，内各有一个零点， 即此时 g x在0 ，上有两个零点. 综上所述，当01a时， g x在0，上仅有一个零点； 当13a时， g x在0，上有两个零点. 12分 22.(本小题满分10分) 22.(本小题满分10分) (1)曲线C的参数方程 3cos4sin 129 cossin 55 x y 消去参数得，曲线C的普通方程为 22 1 259 xy . sin3 3 ，3 cossin2 30， 直线l的直角坐标方程为32 30xy. 5分 (2)设直线l的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt (t为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得 2 76630tt，
13、121 2 6 9 7 ttt t ， . M点在直线l上， 2 12121 2 3630 2 436 497 MPMQttttt t . 10分 23.(本小题满分10分) 23.(本小题满分10分) (1)由题意知， 3 2 为方程135xxm的根， 39 15 22 m，解得1m . 由1351xx解得， 37 24 x， 7 4 n . 5分 (2)由(1)知1abc， 222222 222bccaabbcacab abcabc . 222222222222222222 21 a bb cc aa bb cb cc ac aa b abcabc ， 222 12 2222 abc ab cbc aca babc abcabc ， 222222 2 bccaab abc 成立. 10分
