1、Page 12023年1月9日星期一1高等数学北京工商大学杨益民Page 22023年1月9日星期一2第二节 数量积、向量积与混合积一、两向量的数量积ABF ABWFAB cos,F ABF AB|cos,a baba b定义|()()ababba b a 数量积也称为“点积”、“内积”。Page 32023年1月9日星期一3数量积的若干性质：0)2(baab 2(1)|a aa|cos,a baba b222(6)0,1i ji jj kijk (3)a bb a(4)();()abca ba cabca cb c (5)()()();()()()ababa baba b 证明（第一个等式）
2、证明（第一个等式）|()()ababba Page 42023年1月9日星期一4,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设a b )(kajaiazyx )(kbjbibzyx xxyyzza ba ba b 数量积的坐标表示：|cos,a baba b222222cos,|xxyyzzxyzxyza ba baba ba ba baaabbb|()()ababba Page 52023年1月9日星期一5222222PrPrxxyyzzaaxyzxxyyzzbbxyza ba ba ba bbj baaaaa ba ba ba baj abbbb 00 xxyyzzaba ba ba b
3、a b 证明：cacbbca )()()()(cacbcbca 0 cacbbca )()(Page 62023年1月9日星期一6解：(2)Pr3bj a 3(1);4 例3 证明三角函数的余弦定理：2222coscabab 证明：如图ABCbac例4 在xoy平面上，求一单位向量，使它与aijk 垂直。Page 72023年1月9日星期一7二、两向量的向量积力矩M 方向：向外（拧松）支点OA作用点力F 力臂l大小：sin,MFlF OAF OA 支点OA作用点力F 力臂l向内（拧紧）方向总是依 成右手系，且垂直于 平面。,OA F M ,OA F Page 82023年1月9日星期一8定义c
4、ab cab 模：|sin,cababa b方向：,ca b 。所所定定的的平平面面,a b c。依依序序成成右右手手系系向量积也称为“叉积”、“外积”。Sab a b cab 几何解释：Page 92023年1月9日星期一9向量积的性质：(1)0aa)0sin0(ba)2(/0ab ab yzxxyzaaabbb(3)0;,;,iijjkkijkjkikijjikkjiikj Page 102023年1月9日星期一10向量积满足下列运算规律（1）abba （2）()abcacbc（3）()()()ababab向量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设 ba)(kaja
5、iazyx )(kbjbibzyx ()()()yzzyzxxzxyyxa ba bia ba bja ba bk Page 112023年1月9日星期一11向量积还可用三阶行列式表示()()()yzzyzxxzxyyxxyzxyzaba ba bia ba bja ba b kijkaaabbb 记住：欲求同时垂直于 的向量，请用叉积吧！ab 、()0abc,a b c 共共面面称为 的混合积。,a b c Page 122023年1月9日星期一12解：12ABCSABAC Page 132023年1月9日星期一13解：sin,mnm nm n 4 2 18 ()mnp 8 3 124|co
6、s,mnpmn p|cos0mnp ()mnp Page 142023年1月9日星期一14例9 设 则 共面。0,abbcca,a b c 证法一：0abbcca abcbac()acbac,bac 又,aaccac,a b c 共面。证法二：0abbcca 的两端点乘c()0abc,a b c 。共共面面Page 152023年1月9日星期一15()Pra ba bjc h S V|()|abc hc b a ab S=|a b|混合积的几何意义以为 边的平行六面体的体积。,a b c Page 162023年1月9日星期一16混合积的坐标表示a b c ()abc xyzxyzxyzaaa
7、bbbccc,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设,kcjcicczyx ()()()ab cabccabbca利用行列式的行交换性质可得：轮换Page 172023年1月9日星期一17解:16VAB AC AD ADCB21212131313141414116xxyyzzxxyyzzxxyyzz注意：双重符号|，第一重表示行列式，第二重表示取绝对值。Page 182023年1月9日星期一18解：)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0()abc cba )(2 2cba.4 0 0 0 Pag
8、e 192023年1月9日星期一19作业：习题821，3，7，9，10，1217，18，19作业：习题81Page 202023年1月9日星期一20思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .Page 212023年1月9日星期一21思考题解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba Page 222023年1月9日星期一22一一、填填空空题题：1 1、已已知知a=3 3，b=2 26 6，ba =7 72 2,则则ba=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、
9、已已知知（ba,）=32，且且a=1 1，b=2 2，则则 2)(ba=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的几几何何意意义义是是以以ba,为为其其邻邻边边的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、三三向向 量量cba,的的 混混 合合 积积 cba 的的 几几 何何 意意 义义 是是_ _ _ _ _ _ _；5 5、两两向向量量的的的的内内积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有 一一个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、两两向向量量的的
10、外外积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有一一 个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相_ _ _ _ _ _ _；练 习 题Page 232023年1月9日星期一237 7、设、设kjia23 ，kjib 2,则则ba =_=_，ba =_=_ _,ba3)2(=_=_,ba2 =_=_，),cos(ba =_ _；8 8、设、设a=kji 32,kjib3 和和,2jic 则则 bcacba)()(=_=_,_,)()(cbba _ _,_,cba )(=_=_._.二二、已已 知知cba,为为 单单 位位 向向 量
11、量，且且 满满 足足0 cba，计计算算accbba .三三、设设质质量量为为 1 10 00 0 千千克克的的物物体体从从点点)8,1,3(1M沿沿直直线线移移动动到到点点)2,4,1(2M计计算算重重力力所所作作的的功功（长长度度单单位位为为米米，重重力力方方向向为为Z轴轴负负方方向向）.Page 242023年1月9日星期一24练习题答案一、一、1 1、30；2 2、3 3；3 3、平行四边形的面积；、平行四边形的面积；4 4、以、以cba,为邻边的平行六面体的体积；为邻边的平行六面体的体积；5 5、零向量、零向量,垂直；垂直；6 6、零向量、零向量,平行；平行；7 7、3,3,2123,14210,18,75kjikji ；8 8、2,248kjkj .二、二、23.三、三、58805880 焦耳焦耳.四、四、2.六、六、141arccos),(,14 ass,141arccos),(bs,),(cs143arccos.七、七、25.Page 252023年1月9日星期一25
