1、- 1 - 180 ' 负 高中数学必修高中数学必修 4 知识点知识点 第一章第一章 三角函数三角函数 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，角的终边落 在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象 限，叫做轴线角轴线角。 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 , k 第二象限角的集合为 k 360 90 k 360 180 , k 第三象限角的集合为 k 360 第四象限
2、角的集合为 k 360 180 270 k 360 k 360 270 , k 360 , k 终边在 x 轴上的角的集合为 k 180 , k 终边在 y 轴上的角的集合为 k 180 90 , k 终边在坐标轴上的角的集合为 k 90 , k 3、与角 终边相同的角，连同角 在内，都可以表示为集合 | k 360 , k Z 4、弧度制： （1）定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。 半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是 l r （2）度数与弧度数的换算度数与弧度数的换算：360o 2 ，180 rad，1 rad ( ) 5
3、7.30 57 18 注：注：角度与弧度的相互转化：设一个角的角度为no ，弧度为 ； no no n 180o 180 o 角度化为弧度： 180o 180 ，弧度化为角度： （3）若扇形的圆心角为 （ 是角的弧度数） ，半径为r ，则： n 弧长公式： l （用度表示的）, 180 l | | r（用弧度表示的） ； 扇形面积： s扇 nr2 360 (用度表示的) S 1 | | r2 扇 2 1 lr （用弧度表示的） 2 - 2 - 5、三角函数: （1）定义定义：设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点 的坐标 y 是 x, y ，它与原点
4、的距离是r OP r 0， P(x,y) y x y 则sin ， cos ， tan x 0 r r x 定义定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x,y)， y 那么 v 叫做的正弦，记作 sin,即 sin y; u 叫做的余 弦，记作 cos，即 cos=x; 当的终边不在y 轴上时， y 叫做的正切，记作 tan, 即 tan= y . x x P(x,y) o x （2 2） 三角函数值在各象限的符号：口诀：全正，口诀：全正，S S 正，正，T T 正，正，C C 正。正。 y y y + + _ + _ + O x O x O x _ _ _ + + _
5、sin （3） 特殊角的三角函数值 cos tan 口诀：第一象限全为正； 二正三切四余弦. 的角度的角度 030456090120135150180 的弧度 0 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 sin0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 tan0 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 的角度 210225240270300315330360 的弧度 7 6 5 4 4 3 3 2 5 3 7 4 11 6 2 sin 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 3 2
6、2 2 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 tan 3 3 1 3 不存在 3 1 3 3 0 x2 y2 o x - 3 - 2 （4） 三角函数线：如下图 （5） 同角三角函数基本关系式 （）平方关系： sin 2 cos2 1 6、三角函数的诱导公式： （）商数关系： tan sin cos 1sin2k sin ， cos2k cos ， tan2k tan k 口诀：终边相同的角的同一三角函数值相等 2sin sin ， cos cos ， tan tan 3sin sin ， cos cos ， tan tan 4sin sin ， cos cos ， tan ta
7、n 5sin2 sin ， cos2 cos ， tan2 tan 口诀：函数名称不变，正负看象限 6 sin cot 7sin cot 口诀：正弦与余弦互换，正负看象限 诱导公式记忆口诀诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”：“奇变偶不变，符号看象限”。即将括号里面的角拆成即将括号里面的角拆成 k 的形式。的形式。 2 cos ， cos 2 sin ， tan 2 2 cos ， cos 2 sin ， tan 2 - 4 - 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 数 y sin x y cos x y tan x 图 象 定 义 域 值 域
8、R R x x k 2 , k 值域： 1,1 当 x 2k k 时， 2 y 1；当 x 2k max 2 k 时， ymin 1 值域： 1,1 当 x 2k k 时， ymax 1；当 x 2k k 时， ymin 1 值域： R 既无最大值也无最小值 周 期 性 y sin x 是周期函数；周期为 T 2k , k Z 且k 0 ； 最小正周期为2 y cos x 是周期函数；周期 为T 2k , k Z 且k 0 ； 最小正周期为2 y tan x 是周期函数；周 期 为 T k , k Z 且 k 0 ；最小正周期为 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在
9、2k 2 , 2k 2 k 上是增函数；在 2k , 2k 3 2 2 k 上是减函数 在2k , 2k k 上是增函数；在2k , 2k k 上是减函数 在 k 2 , k 2 k 上是增函数 对 称 性 对称中心k ,0k 对称轴 x k k 2 对称中心 k ,0k 2 对称轴 x k k 对称中心 k ,0k 2 无对称轴 - 5 - 8、 （1） y sinx b 的图象与 y sin x 图像的关系： 振幅变换： y sin x 图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍 1 y Asin x 周期变换： y sin x 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍，纵
10、坐标不变 y sin x 图象整体向左（ 0 ）或向右（ 0 ）平移 相位变换： y sin x 个单位 y sin(x ) 平移变换： y Asin(x ) y sinx b 图象整体向上（ b 0 ）或向下（ b 0 ） 注：函数 y sin x 的图象怎样变换得到函数 y Asinx B 的图象：（两种方法） 先平移后伸缩：先平移后伸缩： y sin x 平移 | 个单位 y sin x （左加右减） 纵坐标不变 y s i n( x ) 1 横坐标变为原来的| | 倍 横坐标不变 y Asinx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移| B| 个单位 y Asinx B （上加下减
11、） 先伸缩后平移：先伸缩后平移： y sin x 纵坐标不变 y sinx 1 横坐标变为原来的| | 倍 y sin( x ) （左加右减） 横坐标不变 y Asinx 纵坐标变为原来的 A 倍 平移| B| 个单位 y Asinx B 平移 个单位 平移 b 个单位 C （上加下减） （2）函数 y Asin(x ) b (A 0, 0) 的性质： 2 1 振幅： ；周期： 定义域： R 值域： A b , A b ；频率： f 2 ；相位：x ；初相： 当x 2k 2 当x 2k 2 k 时， ymax k 时， ymin A b ； A b 2 周期性：函数 y Asin(
12、x ) b (A 0, 0) 是周期函数；周期为T 单调性： x 在 2k , 2k k 上时是增函数； 2 2 x 在 2k , 2k 3 k 上时是减函数 2 2 k 对称性：对称中心为 ,0k ；对称轴为x k 2 k 第二章第二章 平面向量平面向量 1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示 2、零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作0 ；零向量的方向是任意的 3、单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e a | a | 4、平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，
13、记作a / b ； 规定0 与任何向量平行 5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等. 注意：注意：任意两个相等的非零向量， 都可以用同一条有向线段来表 示，并且与有向线段的起点无关。 6、向量加法运算： 三角形法则的特点： 首尾相接 平行四边形法则的特点： 起点相同 - 6 - a b C C a b - 7 - 运算性质： 交换律： a b b a ； 结合律： a b c a b c ； a 0 0 a a 坐标运算：设a x1, y1 ， b x2 , y2 ，则a b x1 x2 , y1 y2 7、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连
14、终点，方向指向被减向量 坐标运算：设a x1, y1 ， b x2 , y2 ，则 a b x1 x2 , y1 y2 设 、 两点的坐标分别为 x1, y1 ， x2 , y2 ，则 x2 x1, y2 y1 8、向量数乘运算： 实数 与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a a a ； 当 0 时， a 的方向与a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与a 的方向相反； 当 0 时， a 0 运算律： a a ； a a a ； a b a b 坐标运算：设a x, y ，则a x, y x, y 9、向量共线定理：向量a a 0 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b a
15、 设 a x1, y1 ，b x2 , y2 ，其中b 0 ，则当且仅当 x1 y2 x2 y1 0 时，向量a 、b b 0 共线 10、平面向量基本定理：如果e1 、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内 的任意向量a ，有且只有一对实数1 、2 ，使a 1 e1 2 e2 （不共线不共线的向量e1 、e2 作为 这一平面内所有向量的一组基底） 11、分点坐标公式：设点 是线段12 上的一点， 1 、2 的坐标分别是 x1, y1 ， x2 , y2 ， 当 时，点 的坐标是 x 1 x2 , y1 y2 1 2 1 1 12、平面向量的数量积： - 8 - &
16、nbsp;a a a a b a b a x2 y2 定义： a b a b cos a 0,b 0, 0 180 零向量与任一向量的数量积为0 性质：设a 和b 都是非零向量，则 a b a b 0 当a 与b 同向时，a b a b ； 当 a 与b 反向时， a b a b ； a a a2 a 2 或 运算律： a b b a ； a b a b a b ； a b c a c b c 坐标运算：设两个非零向量a x1, y1 ， b x2 , y2 ，则a b x1x2 y1 y2 若 a x, y ，则 y2 ，或 设 a x1, y1 ， b x2 , y2 ，则a b x1x2
17、 y1 y2 0 设 a 、b 都是非零向量， a x1, y1 ， b x2 , y2 ， 是a 与b 的夹角，则 cos 1、同角三角函数基本关系式 第三章第三章 三角恒等变形三角恒等变形 （）平方关系： sin 2 cos2 1 （）倒数关系： tan cot 1 （）商数关系： tan sin cos 2 tan2 2 1 sin 1 tan2 ； co s 1 t a n 2 注意：注意： sin , cos , tan按照以上公式可以“知一求二” 2、两角和与差的正弦、余弦、正切 S( ) ： sin( ) sin cos cos sin S( ) ： sin( ) s
18、in cos cos sin C( ) ： cos(a ) cos cos sin sin C( ) ： cos(a ) cos cos sin sin T( ) ： T( ) ： tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 正切和公式： tan tan tan( ) (1 tan tan ) a 2 x2 a b x1x2 y1 y2 a b x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 - 9 - a2 b2 2 2 1 1 cos 2 2 2 1 1 cos 2 2 2 1 cos 2 1 cos2 1 sin2 a2 3、辅
19、助角公式辅助角公式： a sin x b cos x a2 b sin x cos x a2 b2 (sin x cos cos x sin) sin(x ) （其中 称为辅助角， 的终边过点(a, b) ， tan b ） a 4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S2 ： C2 ： T2 ： sin 2 2sin cos cos 2 cos2 sin 2 1 2sin 2 2cos2 1 tan 2 2 tan 1 tan2 * *二倍角公式的常用变形：二倍角公式的常用变形：、 | sin |， | cos | ； 、 | sin | ， | cos | sin 4 cos 4
20、 1 2sin 2 cos 2 1 sin 2 2 ； 2 cos4 sin 4 cos 2 ； 1 2 1 cos 2 1 1 *降次公式： 降次公式： sin cos sin 2 2 sin cos 2 2 2 2 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 1 2 2 2 5、* *半角的正弦、余弦和正切公式： sin 2 tan 2 ； 1 cos sin cos ， 2 sin 1 cos 6、同角三角函数的常见变形：、同角三角函数的常见变形：（活用（活用“1 1” ） sin 2 1 cos2 ； sin ； cos2
21、 1 sin 2 ； cos ； tan cot cos 2 sin 2 sin cos 2 ， sin 2 a2 b2 a2 b2 1 cos 21 cos 2 1 cos 2 1 cos 1 cos b - 10 - ； cot tan cos 2 sin 2 sin cos 2 cos 2 sin 2 2 cot 2 (sin cos)2 1 2sin cos 1 sin 2 ； 7、补充公式： 万能公式 | sin cos | 2 tan sin 2 ； 1 tan2 2 1 t a n 2 c o s 2 ； 1 t a n 2 2 2 t a n t a n 2 1 t a n 2 2 积化和差公式 sin cos 1 sin( ) sin( ) 2 cos sin 1 sin( ) sin( ) 2 cos cos 1 cos( ) cos( ) 2 sin sin 1 cos( ) cos( ) 2 和差化积公式 sin sin 2sin cos ； sin sin 2 cos sin 2 2 2 2 co s co s 2 co s co s cos cos 2sin sin 2 2 2 2 注：注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式 1 sin 2
