1、 2020 年二模文科试题 第 1 页 共 7 页 合肥市合肥市20202020届高三第届高三第二二次教学质量检测次教学质量检测 数学试题数学试题( (文文科科) ) ( (考试时间：考试时间：120120分钟分钟 满分：满分：150150分分) ) 第第卷卷 (60(60分分) ) 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共1212 小题，每小题小题，每小题5 5 分，满分分，满分6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. . 1.若集合1 3 5 7A，28 x Bx，则AB A. 1 B.1 3， C.5 7
2、， D.3 5 7， 2.欧拉公式cossin i ei 将自然对数的底数e， 虚数单位i， 三角函数sin、cos联系在一起， 充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.若复数z满足 i eizi ，则z A.1 B. 2 2 C. 3 2 D.2 3.若实数x，y满足约束条件 240 40 3230 xy xy xy ， ， ， 则2zxy的最小值是 A.16 B.7 C.-4 D.-5 4.已知数列 n a是等差数列，若 2 2a ， 6 39S ，则 7 a A.18 B.17 C.15 D.14 5.在平行四边形ABCD中，若DEEC uuu ruuu r ，AE交BD于F点，则
3、AF uuu r A. 21 33 ABAD uuu ruuu r B. 21 33 ABAD uuu ruuu r C. 12 33 ABAD uuu ruuu r D. 12 33 ABAD uuu ruuu r 6.函数 sinf xAx00 0 2 A ，的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是 A.函数 f x的图像可由sinyAx的图像向左平移 6 个单位得到 B.函数 f x的图像关于直线 3 x 对称 C.函数 f x在区间 33 ，上单调递增 D.函数 f x图像的对称中心为 0 212 k ，(kZ) 7.若函数 4 2F xf xx是奇函数， 1 2 x G xf x 为偶
4、函数，则1f A. 5 2 B. 5 4 C. 5 4 D. 5 2 8.九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？” 魏晋时期 数学家刘徽在其九章算术注中利 用出入相补原理给出了这个问题的一 般解法：如图1，用对角线将长和宽 分别为b和a的矩形分成两个直角三 角形，每个直角三角形再分成一个内 接正方形(黄)和两个小直角三角形 (朱、青).将三种颜色的图形进行重 组，得到如图2所示的矩形，该矩形 长为ab， 宽为内接正方形的边长d. 2020 年二模文科试题 第 2 页 共 7 页 由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D为斜边BC的中点，作直角三角形AB
5、C的 内接正方形对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是 由图1和图2面积相等可得 ab d ab ；由AEAF可得 22 + 22 abab ； 由ADAE可得 22 +2 11 2 ab ab ； 由ADAF可得 22 2abab. A. B. C. D. 9.已知函数 2 2 log1 11 xx f x xx ， ， ，则 1f xf x的解集为 A.1 ， B.1 1 ， C. 1 2 ， D. 1 1 2 ， 10.已知 12 FF，为椭圆C： 2 2 1 x y m 的两个焦点， 若C上存在点M满足 12 0MF MF uuur uuuu r ， 则实数m取 值范围
6、是 A. 1 0 2 2 ， B. 1 12 2 ， C. 1 0 1 2 2 ， D. 1 11 2 2 ， 11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着ABC， ，三个农业扶贫项目进驻某 村， 对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知， 这四个贫困户甲、 乙、 丙、 丁选择ABC， ，三 个项目的意向如下： 扶贫项目 A B C 选择意向贫困户 甲、乙、丙、丁 甲、乙、丙 丙、丁 若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户 选择同一个扶贫项目的概率为 A. 3 8 B. 5 8 C. 5 16 D. 1 2 12.某几何
7、体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示. 已知半球的半径为6，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为 A.24 B. 183 3 C.21 D. 184 2 第卷第卷 (90(90分分) ) 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分. .第第1313 题题第第2121 题为必题为必考题，每个试题考生都必须作答考题，每个试题考生都必须作答. .第第2222 题、题、 第第2323题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分，满分分，满分2020分分. . 第第1616题第
8、一空题第一空2 2分分，第二空第二空3 3分分. . 把答案填在把答案填在 答题卡上的相应位置答题卡上的相应位置. . 13.曲线 2x f xexe(e是自然对数的底数)在1x 处的切线方程为 . 14.若数列 n a的首项为1， 1 2n nn aa ，则数列 n a的前10项之和等于 . 15.已知双曲线 2 2 :1 2 x Cy的右焦点为点F，点B是虚轴的一个端点，点P为双曲线C左支上的 一个动点，则BPF周长的最小值等于 . 16.在长方体 1 111 ABCDABCD中， 1 123ABADAA，点P是线段 1 BC上的一个动点，则： (1) 1 APD P的最小值等于 ；(2)
9、直线AP与平面 11 AAD D所成角的正切值的取值范围 为 . 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共6 6小题，满分小题，满分7070分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(17.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan2cossincos2sinACAAC. 2020 年二模文科试题 第 3 页 共 7 页 求角B的大小； 若角B为锐角，1b ，ABC的面积为 3 4 ，求ABC的周长. 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 在矩形ABCD中，EF，在边C
10、D上，1BCCEEFFD，如图(1).沿BEAF，将CBE和 DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，连结CD，如图(2). 证明：/CDAB； 求三棱锥D BCE的体积. 19.(19.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知圆 22 4425xy经过抛物线E: 2 2ypx(0p )的焦点F，且与抛物线E的准线l相 切. 求抛物线E的标准方程； 设经过点F的直线m交抛物线E于AB，两点，点B关于x轴的对称点为点C，若ACF的面积 为6，求直线m的方程. 2020.(.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 随着运动app和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了
11、每天1万步的健身打卡现象，“日行 一万步， 健康一辈子”的观念广泛流传. “健步达人” 小王某天统计了他朋友圈中所有好友(共500人)的走 路步数，并整理成下表： 分组 (单位： 千步) 0，4) 4，8) 8，12) 12，16) 16，20) 20，24) 24，28) 28，32 频数 60 240 100 60 20 18 0 2 请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数(同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代 表)； 若用A表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A发生的概率； 若称每天走路不少于 8 千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在 40 岁以上的中老年人共有
12、300 人，其中健步达人恰有150 人，请填写下面22 列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达 人与年龄有关？ 健步达人 非健步达人 合计 40岁以上 不超过40岁 合计 附： 2 2 n adbc K a b cdac bd . P( 2 Kk) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2020 年二模文科试题 第 4 页 共 7 页 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 已知函数 sin x f xex.(e是自然对数的底数) 求 f x的单调递减区间； 若函数 2g xf xx，证明 g x在(0，)上只有两个零点.(参考数
13、据： 2 4.8e ) 请考生在第请考生在第2222、2323题中任选一题作答题中任选一题作答. .注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题 目计分，作答时，请用目计分，作答时，请用2B2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. . 2222.(.(本小题满分本小题满分1010分分) )选修选修4 4- -4 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 3cos4sin 129 cossin 55 x y (为参数). 以坐标原点O为极 点，x轴
14、的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin3 3 . 曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； 若直线l与曲线C交于PQ，两点，M(2，0)，求MPMQ的值. 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) )选修选修4 4- -5 5：不等式选讲：不等式选讲 若不等式135xxm 的解集为( 3 2 n，). 求n的值； 若三个正实数abc， ，满足abcm .证明： 222222 2 bccaab abc . 合合肥市肥市20202020届高三第届高三第二二次教学质量检测数学试题次教学质量检测数学试题( (文文科科) ) 参考答案及参考答案及评分标准评分标准 一、选择题：
15、本大题共一、选择题：本大题共1212小题，每小题小题，每小题5 5分，共分，共6060分分. . 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4 4小题，每小题小题，每小题5 5分分，共，共2 20 0分分. . 13.yexe 14.31 15.42 2 16.17， 113 36 ，(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共6 6小题，满分小题，满分7070分分. . 1717. .( (本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1)tan2cossincos2sinACAAC， 22 2sincossincos2cossinACAAAC. 化简得 1 sinco
16、scos sin 2 ACAC，即 1 sin 2 AC， 1 sin 2 B，即 1 sin 2 B . 6 B 或 5 6 B . 5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B D D C A C A A D 2020 年二模文科试题 第 5 页 共 7 页 (2)B是锐角， 6 B ， 由 13 sin 24 ABC SacB 得，3ac . 在ABC中，由余弦定理得 2222 2cos()23bacacBacacac 2 2 1 2 3313ac ，13ac ， ABC的周长为23 12分 18.(18.(本小题满分本小题满分1212分分) )
17、 证明：分别取AFBE，的中点MN，连结DMCNMN，. 由图(1)可得，ADF与BCE都是等腰直角三角形且全等， DMAF，CNBE，DMCN. 平面ADF 平面ABEF，交线为AF，DM 平面ADF，DMAF， DM 平面ABEF. 同理，CN 平面ABEF，/DMCN. 又DMCN，四边形CDMN为平行四边形，/CDMN. MN，分别是AFBE，的中点，/MNAB， /CDAB. 5分 由图可知， DBCEBDCE VV 三棱锥 三棱锥 ， 13EFAB，2CDMN， 22 BDCEBEFCCEFB VVV 三棱锥 三棱锥 三棱锥 . 由(1)知，CN 平面BEF. 2 2 CN ， 1
18、 2 BEF S， 2 12 CEFB V 三棱锥 ， 2 6 DBCE V 三棱锥 . 12分 1919.(.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：由已知可得：圆心(4，4)到焦点F的距离与到准线l的距离相等，即点(4，4)在抛物线E上， 168p，解得2p . 抛物线E的标准方程为 2 4yx. 5分 由已知可得，直线m斜率存在，否则点C与点A重合. 设直线m的斜率为k(0k )，则:1AB yk x. 由 2 4 1 yx yk x 消去y得 2222 220k xkxk. 设A( 11 xy，)，B( 22 xy，)， 12 2 4 2xx k ， 12 1x x .7分 由对
19、称性可知，C( 22 xy，)， 1 1AFx， 2 1CFx. 设直线m(AB)的倾斜角为，则tank， 2222 2sincos2 tan2 sinsin2sin22sincos sincostan11 k AFC k ， 121212 2 1 11 sin21 21 AFC k Sxxx xxx k 4 k .10分 由已知可得 4 6 k ，解得 2 3 k . 直线m的方程为 2 1 3 yx ，即2320xy. 12分 2020 年二模文科试题 第 6 页 共 7 页 2020.(.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解： 1 2 606 240 10 100 14 60 1
20、8 2022 1830 28.432 500 x ， 所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8432步.3分 10.432 602401000.6216 5004 p A ， 所以事件A的概率约为0.6216. 5分 (3) 8分 22 2 500 225007500 31.2510.828 200 300 300 200 n adbc K abcdacbd ，10分 有99.9以上的把握认为，健步达人与年龄有关. 12分 21.(21.(本小题满分本小题满分1212分分) ) 解：(1) sin x f xex，定义域为R. sincos2sin 4 xx fxexxex . 由 0f
21、x得sin0 4 x ，解得 37 22 44 kxk (kZ). f x的单调递减区间为 37 2 2 44 kk ，(kZ).5分 (2) sincos2 x g xexx， 2cos x gxex. 0x，当0 2 x ，时， 0gx；当 2 x ， 时， 0gx. gx在0 2 ，上单调递增，在 2 ，上单调递减， 又 01 20 g ， 2 20 2 ge ， 20ge ， gx在0，上图象大致如右图. 1 0 2 x ， 2 2 x ，使得 1 0gx， 2 0g x， 且当 1 0xx，或 2 xx，时， 0gx；当 12 xxx，时， 0gx. g x在 1 0x，和 2 x，
22、上单调递减，在 12 xx，上单调递增. 00g， 1 0g x. 2 0 2 ge ， 2 0g x， 又 20g ，由零点存在性定理得， g x在 12 xx，和 2 x，内各有一个零点， 函数 g x在0，上有两个零点. 12分 22.(22.(本小题满分本小题满分1010分分) ) 健步达人 非健步达人 合计 40岁以上 150 150 300 不超过40岁 50 150 200 合计 200 300 500 2020 年二模文科试题 第 7 页 共 7 页 (1)曲线C的参数方程 3cos4sin 129 cossin 55 x y 消去参数得，曲线C的普通方程为 22 1 259
23、xy . sin3 3 ，3 cossin2 30， 直线l的直角坐标方程为32 30xy. 5分 (2)设直线l的参数方程为 1 2 2 3 2 xt yt (t为参数)， 将其代入曲线C的直角坐标方程并化简得 2 76630tt， 121 2 6 9 7 ttt t ， . 点M(2，0)在直线l上， 2 12121 2 3630 2 436 497 MPMQttttt t . 10分 23.(23.(本小题满分本小题满分1010分分) ) (1)由题意知， 3 2 为方程135xxm 的根， 39 15 22 m ，解得1m . 由1351xx 解得， 37 24 x， 7 4 n . 5分 (2)由(1)知1abc， 222222 222bccaabbcacab abcabc . 222222222222222222 21 a bb cc aa bb cb cc ac aa b abcabc ， 222 12 2222 abc ab cbc aca babc abcabc ， 222222 2 bccaab abc 成立. 10分
