1、个人住房抵押贷款个人住房抵押贷款以及其它金融问题以及其它金融问题一、目的一、目的 涉及微积分和线性代数涉及微积分和线性代数 复习：数列及其极限、线性代数方程组、复习：数列及其极限、线性代数方程组、矩阵及其运算、方程的求根矩阵及其运算、方程的求根 运用运用 Matlab Matlab 进行迭代运算、求根、进行迭代运算、求根、矩阵等运算矩阵等运算 介绍差分方程介绍差分方程二、实际问题二、实际问题19981998年年1212月，中国人民银行公布了新的存、贷月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平款利率水平 ,其中贷款利率如下表所列其中贷款利率如下表所列:中国人民银行多次调整存、贷款利率中国人民银行
2、多次调整存、贷款利率贷款期限贷款期限 0.50.5年年 1 1年年 3 3年年 5 5年年 5 5年以上年以上利率利率(%)(%)6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56现利率现利率(%)6.58 7.47 7.56 7.74 7.83(%)6.58 7.47 7.56 7.74 7.83(当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者率为对应相邻两数中较大者)上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作上海商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，公布新的利率表和还款表出相应调整，公
3、布新的利率表和还款表 上海个人住房商业性贷款利率再次降低上海个人住房商业性贷款利率再次降低 个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限贷款期限 1 1年年 2 2年年 3 3年年 4 4年年 5 5年年利率利率()6.120 6.255 6.390 6.525 6.660现利率现利率()6.43 6.43 6.43 6.58 6.58 个人住房商业抵押贷款个人住房商业抵押贷款(万元万元)还款表还款表 贷款期年贷款期年 1 2 3 4 5 月月 12 24 36 48 60月还款额月还款额 到期一次还清到期一次还清 444.356 305.9896 237.2649 196
4、.4118本息总额本息总额 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71 提出提出问题问题 个人住房商业抵押贷款年利率表和个人个人住房商业抵押贷款年利率表和个人住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银住房商业抵押贷款还款表是如何根据中央银行的贷款利率水平制定的？行的贷款利率水平制定的？1.1.贷款利率和住房贷款利率关系贷款利率和住房贷款利率关系贷款年利率表贷款年利率表贷款期限贷款期限i(年年)0.5 1 3 5 5年利率年利率Ri()6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 个人住房商业抵押贷款年利率表个人住房商业抵押贷款年利率表贷款期限贷款期限
5、i(年年)1 2 1 2 3 4 5 3 4 5年利率年利率Ri()6.120 6.255 6.390 6.525 6.660)6.120 6.255 6.390 6.525 6.660关系：线性插值关系：线性插值R1=R0.5，R2=0.5(R0.5+R1)，R3=R1R4=0.5(R1+R3)，R5=R3三、数学模型三、数学模型2.2.贷款利率和月还款额关系贷款利率和月还款额关系 Ak(r1)Ak-1 m，k=1,2,K l 贷款年限，贷款年限，K=12l 贷款月限贷款月限m 月还款额月还款额,n=Km-本息总额本息总额Ak 贷款后第贷款后第k 个月时欠款余数个月时欠款余数,A0 初始贷款
6、数初始贷款数Rl年利率，年利率，r=Rl/12/12 月利率月利率 差分方程差分方程Ak Ak-1=r Ak-1 m，k=1,2,K 四、问题求解四、问题求解令令Bk=Ak-Ak-1 AK=0 AkA0(1+r)k-(r+1)k-1m/r，k=1,2,KAk-A0=B1+B2+Bk=B1(r+1)k-1/r =(r+1)A0 m-A0(r+1)k-1/rAk+1(r1)Ak mAk(r1)Ak-1 mBk+1=(r+1)Bk 等比数列等比数列m=rA0(r+1)K/(r+1)K-1n=KmA0 010000,10000,l=2,=2,K24,24,Rl=0.06255，rR2/12=0.005
7、2125m=r A0(1+r)K/(1+r)K1 =52.125(1.0052125)24/(1.0052125)241 命令：命令：m=52.125*1.005212524/(1.005212524-1)n=24*m 考虑二年期情况：考虑二年期情况：使用使用Matlab结果结果:m=444.356 n=10664.54 n=KmA0 010000,10000,l=5,=5,K60,60,Rl=0.0666，rR2/12=0.00555m=r A0(1+r)K/(1+r)K1 =55.5(1.00555)60/(1.00555)601命令命令:m=55.5*1.0055560/(1.00555
8、60-1)n=60*m 考虑五年期情况：考虑五年期情况：使用使用Matlab结果结果:m=196.4118 n =1.1785e+004 n=Km=60m 还款周期越短越好吗？还款周期越短越好吗？如果逐年还款，则如果逐年还款，则K=l,r=Rl任务任务1 1：讨论还款周期问题：讨论还款周期问题年还款额年还款额m=Rl A0(Rl+1)l/(Rl+1)l-1本息总额本息总额n=lm对二年期贷款，对二年期贷款，A010000,l=2,Rl=0.06255年还款额年还款额m=5473.8675473.867元元,本息总额本息总额n=10947.6310947.63元元比逐月还款本息总额比逐月还款本息
9、总额n=10664.5410664.54元多！元多！一般呢？一般呢？若已知如下贷款年限的住房贷款利率若已知如下贷款年限的住房贷款利率():):1 1年：年：6.35 36.35 3年：年：6.436.43 5 5年：年：6.58 56.58 5年：年：6.666.66试制作一张试制作一张为期为期1 13030年年的还款表的还款表任务任务2:2:制定住房商业性贷款利率表和还款表制定住房商业性贷款利率表和还款表任务任务3 3 一个购房贷款的比较一个购房贷款的比较房产商介绍的一家金融机构提出：贷款房产商介绍的一家金融机构提出：贷款1010万元，万元，每半月还款每半月还款440.33440.33元元,
10、2222年还清年还清,不过由于中不过由于中介费手续费等原因，贷款时要介费手续费等原因，贷款时要预付预付40004000元元.小李夫妇曾经准备申请商业贷款小李夫妇曾经准备申请商业贷款1010万元用于购置住房，每月还款万元用于购置住房，每月还款880.66880.66元，元，2525年还清。年还清。小李考虑，虽然预付费用不少，可减少三年还款小李考虑，虽然预付费用不少，可减少三年还款期意味着减少还款近期意味着减少还款近3200032000元元，而每月多跑一趟，而每月多跑一趟，那不算什么那不算什么.这机构的条件似乎还是蛮优惠的。这机构的条件似乎还是蛮优惠的。试分析情况是否这样？试分析情况是否这样？五、
11、其它金融或经济问题五、其它金融或经济问题1.养老保险养老保险某保险公司的一份材料指出：在每月交费某保险公司的一份材料指出：在每月交费200200元元至至6060岁开始领取养老金的约定下，男子若岁开始领取养老金的约定下，男子若2525岁岁起投保，届时月养老金起投保，届时月养老金22822282元；若元；若3535岁起投岁起投保，月养老金保，月养老金10561056元；若元；若4545岁起投保，月养老岁起投保，月养老金金420420元元.问题：交保险费所得利率如何？问题：交保险费所得利率如何？(假定投保人假定投保人所得完全由其交款及利息产生所得完全由其交款及利息产生)(注意：显然结果依于投保人寿命
12、注意：显然结果依于投保人寿命)p p 停交保险费停交保险费前所交的月保险费数目前所交的月保险费数目(元元)N 自投保起至停交保险费的时间长度自投保起至停交保险费的时间长度(月月)q q 停交保险费停交保险费起所领月养老金的数目起所领月养老金的数目(元元)M 自投保起至自投保起至停领养老金的时间长度停领养老金的时间长度(月月)(依赖于投保人寿命，取平均寿命依赖于投保人寿命，取平均寿命75岁）岁）Fk 投保人在投保后第投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的个月所交保险费及利息的 累计总额累计总额(元元),),F0=0，FM=0r 所交保险金获得的利率所交保险金获得的利率以以25岁起投保岁起投保6
13、0岁开始领取养老金至岁开始领取养老金至75岁为例：岁为例：p=200，N=420(35年年12)，q=2282，M=600(50年年12)Fk=F0(1+r)k+(1+r)k-1 p/r,k=1,N Fk=FN(1+r)k-N-(1+r)k-N-1 q/r,k=N+1,MF0=0 FN=(1+r)N-1 p/rFM=0 (1+r)M(1+q/p)(1+r)MN+q/p 0记记 x=1+=1+r，得得 xM-(1+q/p)xM-N+q/p=0 求方程根求方程根 r=x-1Fk=(r+1)Fk-1+p,k=1,NFk=(r+1)Fk-1-q,k=N+1,M使用使用Matlab：得得 x1.0048
14、5 ,r 0.00485交保险费所得交保险费所得月利率为月利率为 0.00485=0.485%年利率为年利率为 0.0048512=0.0582=5.82%以以2525岁起投保岁起投保6060岁开始领取养老金至岁开始领取养老金至7575岁为例：岁为例：x60012.41x18011.410fzero(inline(x600-12.41*x180+11.41),1.06)ans:1.00485某保险公司的推出结合养老的寿险计划为：若某保险公司的推出结合养老的寿险计划为：若4040岁的男性投保人每年交保险费岁的男性投保人每年交保险费15401540元，交费元，交费期期2020年至年至6060岁，岁
15、，则在则在他生存时期，他生存时期，4545岁时岁时(投保投保满满5 5年年)可获返还补贴可获返还补贴40004000元，元，5050岁时可获返还岁时可获返还补贴补贴50005000元，其后每隔元，其后每隔5 5年可获增幅为年可获增幅为10001000元的元的返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益返还补贴；而在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金人可获保险金2000020000元。元。任务任务4 4：一个人寿保险计划的利率分析：一个人寿保险计划的利率分析问题：问题：若该投保人的寿命为若该投保人的寿命为7676岁，其交保险费所岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？若该投保人寿命为获得的实际年
16、利率是多少？若该投保人寿命为7474岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？岁，其交保险费所获得的实际年利率又是多少？每过一周每过一周 A 城公司基金城公司基金1010 B 城公司城公司 B 城公司基金城公司基金1212 A 城公司城公司 2.金融公司的支付基金的流动金融公司的支付基金的流动(形式推广的形式推广的 新问题新问题)总额总额$540$540万基金万基金,放置放置A A公司和公司和B B公司公司初始：初始：A公司基金额公司基金额$260$260万万,B公司基金额公司基金额$280$280万万问题：问题：资金流动趋势？资金流动趋势？会否少于警戒数会否少于警戒数220220(万万)?要
17、求：周末结算时总额仍为要求：周末结算时总额仍为$540$540万万ak 第第k周末结算时周末结算时A A城公司支付基金数城公司支付基金数(万美元万美元)bk 第第k周末结算时周末结算时B B城公司支付基金数城公司支付基金数(万美元）万美元）齐次差分方程组齐次差分方程组ak+1=0.9ak+0.12 bkbk+1=0.1ak+0.88 bk数学模型：数学模型：t(1)=0;a(1)=260;b(1)=280;for k=1:23 t(k+1)=k;a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k);b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k);endt,a,b使用使用MatlabMatla
18、b：观察数据观察数据 通过对数据的观测估计结论通过对数据的观测估计结论(24(24周数据周数据)k ak bk k ak bk 0 260.0000 280.0000 12 292.7935 247.2065 1 267.6000 272.4000 13 293.1789 246.8211 2 273.5280 266.4720 14 293.4796 246.5204 3 278.1518 261.8482 15 293.7141 246.2859 4 281.7584 258.2416 16 293.8970 246.1030 5 284.5716 255.4284 17 294.0396
19、 245.9604 6 286.7658 253.2342 18 294.1509 245.8491 7 288.4773 251.5227 19 294.2377 245.7623 8 289.8123 250.1877 20 294.3054 245.6946 9 290.8536 249.1464 21 294.3582 245.6418 10 291.6658 248.3342 22 294.3994 245.6006 11 292.2993 247.7007 23 294.4315 245.5685A 城公司基金数在逐步增加城公司基金数在逐步增加,但增幅逐步变小但增幅逐步变小B 城公
20、司基金数在逐步减少城公司基金数在逐步减少,但减幅逐步变小但减幅逐步变小ak有上界？有上界？b bk k有下界有下界?bk会小于会小于220220？矩阵形式矩阵形式导出表达式导出表达式ak？bk?ak,bk收敛收敛?的特征向量的特征向量0.90.12P=0.10.88对角化对角化：-1P=QDQ是是P的特征值，的特征值，111121222122d0qqD=,Q=(q,q)=0dqq是对应于是对应于,12d=1d=0.9+0.88-1=0.78idiqkk01k-1112kk022aacd0=QD Q=(q,q)bbc0d01-120ac=Qcb1 11121kkac q,bc qkkk11122211111=c d q+c d qc d qc q利用利用Matlab：a0=260;b0=280;P=0.9,0.12;0.1,0.88;Q,D=eig(P);c=Qa0;b0;if D(1,1)1 a=inf;b=inf;elseif D(1,1)1 a=0;b=0;else a=c(1)*Q(1,1);b=c(1)*Q(2,1);enda,b结果：结果：294.5455 245.4545294.5455 245.4545
