1、 5.特殊与一般的思想特殊与一般的思想 由特殊到一般由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程 之一对数学而这种由特殊到一般之一对数学而这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的 过程过程,就是数学研究的特殊与一般的思想就是数学研究的特殊与一般的思想. 1.用一般性结论解决特殊性问题用一般性结论解决特殊性问题 【例【例 1】(2006 江西卷江西卷,理理) 对于对于R上可导的任意函数上可导的任意函数 f x，若满足，若满足 10xfx ，则必有，则必有( ). （
2、A） 0221fff （B） 0221fff （C） 0221fff （D） 0221fff 【分析及解】【分析及解】依题意，当依题意，当1x时，时， 0fx，函数，函数 f x在（在（1， ）上是）上是 增函数；当增函数；当1x时，时， 0fx，f（x）在（）在（ ，1）上是减函数，故）上是减函数，故 f x当当1x 时取得最小值，时取得最小值， 即有即有 01ff， 21ff，即，即 0221fff故选故选 C 本题首先考虑的是一般性的结果： 任意函数本题首先考虑的是一般性的结果： 任意函数 f x当当1x 时取得最小值时取得最小值,然后然后 再根据题目的要求再根据题目的要求,对特殊的函数
3、值进行比较对特殊的函数值进行比较. 【例【例 2】(2008 江苏卷江苏卷)请先阅读：在等式请先阅读：在等式 2 cos22cos1xx（xR）的两）的两 边求导，得：边求导，得： 2 (cos2 )(2cos1) ? xx， 由求导法则，得由求导法则，得(sin2 ) 24cos(sin )xxx ， 化简得等式：化简得等式：sin22cossinxxx （ ）利用上 题的想法 （或其他 方法） ，结 合等式（利用上 题的想法 （或其他 方法） ，结 合等式（ 1 x） n 0122 CCCCn n nnnn xxx（xR，正整数，正整数2n） ，证明：） ，证明： -1 1 2 11C n
4、 n kk n k nxkx （）对于正整数对于正整数3n，求证：，求证： （1） 1 ( 1)C n kk n k k 0； （2） 2 1 ( 1)C n kk n k k 0； （3） 1 1 121 C 11 n n k n k kn 【分析及解】【分析及解】 （）将等式（）将等式（1x）n 0122 CCCCn n nnnn xxx两边求导两边求导 得：得： -1 12321 123 n nn nnnn nxCC xC xnC x n 1 2 C n kk n k kx 所以所以 -1 1 2 11C n n kk n k nxkx （） 证明这三个结论可以使用（）已经得到的一般性结
5、论和方法证明这三个结论可以使用（）已经得到的一般性结论和方法. （1）由（）的结果，有由（）的结果，有 -1 11 21 1 nn n kkkk nn kk nxnkC xkC x ， 令令1x，则有，则有 1 ( 1)C n kk n k k 1 1 1 ( 1)C ( 1)11 10 n n kk n k kn 1.图片对齐 在我们插入PPT图片或是输入文字的时候，为了整齐都需要将插入的文本框对齐 ，但是又不想一个一个的进行操作，这时按住Ctrl键将需要进行对齐的文本选中 ，点击开始排列对齐垂直居中即可； 2.巧用格式刷 在制作PPT的时候为了保证PPT风格的统一，很多任通常会使用复制粘贴
6、来确保 每一页PPT格式相同，这样对于少页数来说可以进行操作，但是碎玉多页面的话 就有点麻烦了，其实我们可以巧用格式刷：首先，在开始菜单栏下方有一个格式 刷，点击格式刷，很快就能看到效果； 3.去除所有动画效果 很多人在制作PPT的时候都是直接在模板库里下载模板进行使用的，但是下载的 模板大多数都是有幻灯片的，这样在演讲的时候很不方便，怎样将其进行去除呢 ？单击幻灯片放映选择设置幻灯片放映，放映类型选择演讲者放映；换片方式 选择手动即可； 4.PPT快键 PPT逼格提升技巧逼格提升技巧 （2）对等式）对等式 -1 12321 1=C2C3CC n nn nnnn nxxxnx 1 1 C n
7、kk n k kx 再一次求导得再一次求导得 2 2 2 1 1(1) n n kk n k n nxk kC x 所以所以 2 1 ( 1)C n kk n k k 11 ( 1)(1)C( 1)C nn kkkk nn kk k kk 21 11 (1)C ( 1)C ( 1) nn kkkk nn kk k kk 21 1 1 11 10 nn n nn （3）因为）因为 11! C 11!()!(1)!()! k n nn kkk nkknk 1 1 1(1)!1(1)!1 C 1 (1)!()!1 (1)!(1)(1)!1 k n nn nknknknkn 所以所以 1 1111 1
8、111 00 11121 CC(CCC) 1111 n nn kkn nnnnn kk knnn 2.从特殊性结果归纳出一般性结论从特殊性结果归纳出一般性结论 【例例 1】 (2005 北京卷， 理北京卷， 理)已知已知 n 次多项式次多项式 1 011 ( ) nn nnn P xa xa xaxa , 如果在一种算法中，计算如果在一种算法中，计算 0 k x（k2，3，4，n）的值需要）的值需要 k1 次乘法，次乘法， 计算计算 30 ()P x的值共需要的值共需要 9 次运算（次运算（6 次乘法，次乘法，3 次加法） ，那么计算次加法） ，那么计算 0 () n P x的值共的值共 需要
9、需要 次运算次运算 下面给出一种减少下面给出一种减少运算次数的算法：运算次数的算法： 0011 ( ),( )( ) kkk P xa PxxP xa （k0， 1，2，n1） 利用该算法，计算） 利用该算法，计算 30 ()P x的值共需要的值共需要 6 次运算，计算次运算，计算 0 () n P x的的 值共需要值共需要 次运算次运算 【分析及解分析及解】 本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范本题给出了一个求特殊的多项式的值的算法的运算次数的示范 要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数要求归纳出求一般的多项式的值的运算的次数,这是对特殊与一般的思想和归纳这是对特殊与一般
10、的思想和归纳 抽象能力的考查抽象能力的考查. 第一种算法第一种算法, 计算计算 0 () n P x的值共需要的值共需要nnn1) 1(次运算次运算,即即 2 3nn 次运算次运算; 第二种算法第二种算法, 计算计算 0 () n P x的值可以采用递推的方法的值可以采用递推的方法.设计算设计算 0 () n P x的值的次数的值的次数 为为 n b,则则2 1 nn bb,由由 n b是等差数列及是等差数列及2 1 b可得可得nbn2. 【例例 2】 （2002 年北京卷）年北京卷）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单的模在研究并行计算的基本算法时，有以下简单的模 型问题：型问题： 用计算
11、机求用计算机求n个不同的数个不同的数, 21 vv n v ,的和的和 21 1 vvvi n i n v，计算开始，计算开始 前，前，n个数存贮在个数存贮在n台由网络连接的计算机中台由网络连接的计算机中，每台机器有一个数，计算开始后，每台机器有一个数，计算开始后， 在一个单位时间内，每台机器至多到一台其它机器中读数据，并与自己原有数在一个单位时间内，每台机器至多到一台其它机器中读数据，并与自己原有数 据相加得到新数据，各台机器可同时完成上述工作据相加得到新数据，各台机器可同时完成上述工作 为了用尽可能少的单位时间为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这，使各台机器都得到这n个数的和，需要
12、设计一个数的和，需要设计一 种读和加的方法，比如种读和加的方法，比如2n，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示： 第一单位时间第一单位时间 第二单位时间第二单位时间 第三单位时间第三单位时间 机机 器器 号号 初初 始始 时时 被读机被读机 号号 结果结果 被读机被读机 号号 结果结果 被读机被读机 号号 结果结果 1 1 v 2 21 vv 2 2 v 1 12 vv （） 当（） 当4n时，至少需要多少单位时间可完成计算时，至少需要多少单位时间可完成计算?把你设计的方法填入把你设计的方法填入 下表下表 第一单位时间第一单位时间 第二单位时
13、间第二单位时间 第三单位时第三单位时 间间 机机 器器 号号 初初 始始 时时 被读被读 机号机号 结果结果 被读被读 机号机号 结果结果 被读被读 机号机号 结结 果果 1 1 v 2 21 vv 3 1234 vvvv 2 2 v 1 12 vv 4 2134 vvvv 3 3 v 4 34 vv 1 3412 vvvv 4 4 v 3 43 vv 2 4321 vvvv （）当（）当128n时，要使所有机器都得到时，要使所有机器都得到 i n i v 1 ，至少需要多少单位时间可，至少需要多少单位时间可 完成计算？（结果不要求证明）完成计算？（结果不要求证明） 【分析及解分析及解】 （）
14、由（）由2n得到启发得到启发,当当4n时，在第一单位时间时，在第一单位时间,1 号机与号机与 2 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 21 vv ,3 号机与号机与 4 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 34 vv. 在在第二单位时间第二单位时间, ,1 号号机与机与 3 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 1234 vvvv, 2 号机与号机与 4 号机互相读取号机互相读取,都得到都得到 1234 vvvv. 因此因此, , 至少需要两个单位时间可完成计算至少需要两个单位时间可完成计算. （）当（）当128n时，要使所有机器都得到时，要使所有机器都得到 i n i v 1 ，由
15、，由 7 2128 可知可知,至少需要至少需要 7 个单位时间可完成计算个单位时间可完成计算. 【例【例 3】(2008 湖北卷湖北卷,理理 15)观察下列等式：观察下列等式： 2 1 11 , 22 n i inn 232 1 111 , 326 n i innn 3432 1 111 , 424 n i innn 4543 1 1111 , 52330 n i innnn 56542 1 1151 , 621212 n i innnn 67653 1 11111 , 722642 n i innnnn 212 11210 1 , n kkkkk kkkk i iana nanana na
16、可以推测， 当可以推测， 当x2 （ * kN） 时，） 时， 11 11 , 12 kkk aaa k , 2k a . 【分析及解】【分析及解】由观察可知当由观察可知当2k 时， 每一个式子的第三项的系数是成等差数列的，每一个式子的第三项的系数是成等差数列的， 所以所以 1 12 k k a ， 第四项均为零，所以第四项均为零，所以 2 0 k a 。 3.用特殊化方法解决一般性问题用特殊化方法解决一般性问题 【例【例 1】 （2006 天津卷，理）天津卷，理）已知数列已知数列 , nn ab都是公差为都是公差为 1 的等差数列的等差数列, 其首项分别为其首项分别为 11 ,a b,且且
17、11 5ab, 11 ,a b N,设设 n nb can N,则数列则数列 n c的前的前 10 项和等于项和等于( ). (A)55 (B)70 (C) 85 (D) 100 【分析及解】【分析及解】用特殊化策略用特殊化策略.设设 1 1,b 则则 1 1 4. b aa从而从而 n bn,于是有于是有 1 1210 1 1413. 1 2103085. n nbbn caabnn ccc 本题根据选择题的特点本题根据选择题的特点,对对 1 b赋予特殊值赋予特殊值,求出数列求出数列 n c的前的前 10 项和项和,从而排从而排 除错误的结果除错误的结果,选出符合题目要求的选项选出符合题目要
18、求的选项. 【例例 2】（2004 全国卷）全国卷） 已知已知, a b为不垂直的异面直线，为不垂直的异面直线，是一个平面， 则是一个平面， 则, a b 在在上的上的射影有可能是射影有可能是 两条平行直线两条平行直线 两条互相垂直的直线两条互相垂直的直线 同一条直线同一条直线 一条直线及其外一点一条直线及其外一点 在上面结论中在上面结论中,正确结论的编号是正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号写出所有正确结论的编号) 【分析及解分析及解】这是一个命题判断题这是一个命题判断题,本题判断的关键词是“有可能是”本题判断的关键词是“有可能是”,即只即只 要找到一种正确的特殊的情况要找到一种正确的
19、特殊的情况,就“有可能是”就“有可能是”,反之反之,必须对于所有必须对于所有情况都不成立情况都不成立 才没有“可能是”才没有“可能是”.所以所以,对这道命题判断对这道命题判断,其思维的依据就是特殊于一般的数学思其思维的依据就是特殊于一般的数学思 想想. 解决这个问题的方法解决这个问题的方法,可以用特殊化的方法可以用特殊化的方法,我们选取具有平行和垂直明显特我们选取具有平行和垂直明显特 征的一个特殊几何体征的一个特殊几何体,即正方体即正方体. D1 E C1 B1 A1 C D B A D1C1 B1 A1 C D B A D1C1 B1 A1 C D B A 图5-1 图5-2图5-3 如图如
20、图 5-1,BE和和 1 CD是不垂直的异面直线是不垂直的异面直线,它们它们在平面在平面ABCD上上的射影是的射影是 ABCD和,是两条平行直线是两条平行直线,所以所以,命题正确命题正确 如图如图 5-2, 11 ABCB和 是不垂直的异面直线是不垂直的异面直线,它们它们在平面在平面ABCD上上的射影是的射影是 AB BC和,是两条互相垂直的直线是两条互相垂直的直线,所以所以,命题正确命题正确; 如图如图 5-3, 11 ABCC和 是不垂直的异面直线是不垂直的异面直线,它们在平面它们在平面ABCD上的射影是上的射影是AB 和点和点C,是一条直线及其外一点是一条直线及其外一点;所以所以,命题正
21、确命题正确; 而命题不正确而命题不正确,用反证法用反证法.假设假设, a b在在上的射影是同一条直线上的射影是同一条直线c,则则, ,a b c 三线共面三线共面,与与, a b为异面直线相矛盾为异面直线相矛盾,故命题不正确故命题不正确. 所以所以, 正确结论的编号是正确结论的编号是, , . D1 E C1 B1 A1 C D B A D1C1 B1 A1 C D B A D1C1 B1 A1 C D B A 图5-1 图5-2图5-3 4.从特殊性入手解决一般性结论从特殊性入手解决一般性结论 【例【例 1】(2000 全国卷全国卷，理理) （）已知数列已知数列 n c，其中，其中23 nn
22、 n c ，且数列，且数列 1nn cpc 为等比数列，求为等比数列，求 常数常数p； （）设设 , nn ab是公比不相等的两个等比数列，是公比不相等的两个等比数列， nnn cab，证明：数列，证明：数列 n c不是等比数列不是等比数列. 【分析及解】【分析及解】 （）从特殊性入手从特殊性入手,因为数列因为数列 1nn cpc 为等比数列，则对特为等比数列，则对特 殊的殊的1,2,3n ,即即 213243 ,cpc cpc cpc也成等比数列也成等比数列,于是于是 2 322143 cpccpccpc 由题设，由题设， 1234 5,13,35,97.cccc 2 35 13135973
23、5ppp， 整理得整理得 2 560,pp解得解得 2p 或或3p . 下面研究一般情况下面研究一般情况,即即2p 或或3p 时时, 数列数列 1nn cpc 是否为等比数列是否为等比数列. 当当2p 时，时， 11 1 2232 233 nnnnn nn cc ， 则， 则 1nn cpc 为等比数列为等比数列. 当当3p 时时, 11 1 3233 232 nnnnn nn cc ，则，则 1nn cpc 为等比数列为等比数列. 于是，当于是，当2p 或或3p 时， ，数列时， ，数列 1nn cpc 为等比数列为等比数列. （）要证明数列要证明数列 n c不是等比数列，只要证明一个特殊的
24、情形，不是等比数列，只要证明一个特殊的情形， 即即 123 ,c c c不是等比数列就可以了不是等比数列就可以了. 为此为此,设设 , nn ab的公比分别为的公比分别为, ,.p q pq则由则由 nnn cab得得 2 22222 211111 1 2,ca p bqa pb qab pq 22222222 1 31111111 1( ),ccaba pbqa pb qab pq 由于由于pq,则则 22 2pqpq,因此因此, 2 21 3 ccc,所以所以 123 ,c c c不是等比数列不是等比数列, 进而进而, 数列数列 n c不是等比数列不是等比数列. 【例【例 2】(1989
25、全国卷全国卷)是否存在常数是否存在常数, ,a b c使得等式使得等式 2 222 1 1 22 31 12 n n nnanbnc 对一切正整对一切正整数数n都成立？并证明你的结论都成立？并证明你的结论 【分析及解分析及解】这是一个探索性问题这是一个探索性问题, ,问题是能否求出问题是能否求出, ,a b c的值的值,使等式对一使等式对一 切正整数切正整数n都成立都成立,我们可以从特殊性入手我们可以从特殊性入手,通过特殊的通过特殊的n,建立方程建立方程,解出解出, ,a b c,再再 证明这些由特殊方程得到的证明这些由特殊方程得到的, ,a b c,能适能适合所有的正整数合所有的正整数n.
26、因为要确定三个系数因为要确定三个系数,所以可以建立三个方程所以可以建立三个方程. 取取1,2,3n ,代入题设的等式代入题设的等式, 1 2 4, 12 2 3 2242, 12 3 4 7093 12 abc abc abc 解得解得 3, 11, 10. a b c 题设的等式化为题设的等式化为 2 222 1 1 22 3131110 12 n n nnnn . 这一等式至少对这一等式至少对1,2,3n 成立成立,我们只要用数学归纳法就可以证明所得结果我们只要用数学归纳法就可以证明所得结果 对一切正整数对一切正整数n都成立都成立,这里就不再证明了这里就不再证明了. 【例例 3】（2006
27、 上海卷， 理上海卷， 理） 已知函数已知函数yx x a 有如下性质： 如果常数有如下性质： 如果常数0a ， 那么该函数在那么该函数在0,a 上是减函数，在上是减函数，在 ,a 上是增函数上是增函数 （）如果函数如果函数yx x b 2 （x0）的值域为）的值域为6,，求，求b的值；的值； （）（）研究函数研究函数 2 2 c yx x （常数（常数0c ）在定义域内的单调性）在定义域内的单调性,并说明理由；并说明理由； （）（）对函数对函数yx x a 和和y 2 x 2 x a （常数（常数a0）作出推广，使它们都）作出推广，使它们都 是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只
28、须写出结论，不必是你所推广的函数的特例研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必 证明） ，并求函数证明） ，并求函数)(xF n x x) 1 ( 2 n x x ) 1 ( 2 （n是正整数）在区间是正整数）在区间 2 1 ，2上的上的 最大值和最小值（可利用你的研究结论） 最大值和最小值（可利用你的研究结论） 【分析及解分析及解】() 函数函数 2b yx x 0x的最小值是的最小值是 2 b 2,则则2 26 b , 2 log 9b. ()对函数对函数 2 2 c yx x 求导得求导得 2 44 33 2 2 2 xcxcxc c yx xx 分别对分别对0x和和0x解不等式解不
29、等式0y和和0y可得函数可得函数 2 2 c yx x 的增区间是的增区间是 4 , c 和和 4 ,0c ,减区间是减区间是 4 0, c 和和 4 ,c . () 可以把函数推广为可以把函数推广为 n n a yx x (常数常数0a ),其中其中n是正整数是正整数. 当当n是奇数时是奇数时,函数函数 n n a yx x , 在在 2 0, n a 上是减函数上是减函数,在在 2 , n a 上是增函数上是增函数, 在在( 2 , n a 上是增函数上是增函数, 在在 2 ,0 n a 上是减函数上是减函数. 当当n是偶数时是偶数时,函数函数 n n a yx x 在在 2 0, n a
30、 上是减函数上是减函数,在在 2 0, n a 上是增函数上是增函数, 在在 2 , n a 上是减函数上是减函数, 在在 2 , n a 上是增函数上是增函数. 2 1 n F xx x 2 1 n x x 0212323 22323 1111 nnrnrnn nnnn nnnrn CxCxCxCx xxxx 因此因此 F x在在 1 ,1 2 上是减函数上是减函数,在在1,2是增函数是增函数. 所以所以,当当 1 2 x 或或2x 时时, F x取得最大值取得最大值 99 24 nn . 当当1x 时时 F x取得最小值取得最小值 1 2n. 本题从一个大家都熟悉的函数本题从一个大家都熟悉
31、的函数 0 a fxxa x 出发出发, ,进行探究进行探究, ,首先是对首先是对 0 c fxxc x 和和 2 2 0 c fxxc x 的思辨的思辨, ,在在0,x上有类似的单上有类似的单 调区间和单调性调区间和单调性 0,cc 和和 44 0,cc , ,而在而在,0x 上上, ,由于函由于函 数的奇偶性不同数的奇偶性不同, ,虽然虽然, ,单调区间类似单调区间类似, ,但是单调性相反但是单调性相反. .然后是对然后是对对函数对函数 a yx x 和和 2 2 a yx x （常数（常数a0）作出推广，研究函数）作出推广，研究函数 n n a yx x 的性质的性质,是是 特殊与特殊的
32、类比和特殊到一般的归纳特殊与特殊的类比和特殊到一般的归纳,推广推广. 【例例 4】 （2003 上海卷，理）已知数列上海卷，理）已知数列 n a（n为正整数）是首项为为正整数）是首项为 1 a， 公比为公比为q的等比数列的等比数列 （）（）求和：求和： 2 23 1 22 0 21 CaCaCa， 3 34 2 33 1 32 0 31 CaCaCaCa； （）（）由（）的结果归纳概括出关于正整数由（）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证的一个结论，并加以证 明明 【分析及解分析及解】 （）（）由题设由题设, 1 1 n n aa q ,则则 2 23 1 22 0 21 CaCa
33、Ca 2 111 2aa qa q 2 2 11 1 21,aqqaq 3 34 2 33 1 32 0 31 CaCaCaCa 23 1111 33aa qa qa q 3 23 11 1 331.aqqqaq （）（）由（）的结果可归纳出下面的结论由（）的结果可归纳出下面的结论: 对对n N有有 0123 123411 11 nn n nnnnnn aCa Ca Ca CaCaq . 下面证明这一结论下面证明这一结论. . 0123 12341 1 n n nnnnnn aCa Ca Ca CaC 012233 11111 1 n nn nnnnn aCa qCa q Ca q Ca q C 012233 1 1 n nn nnnnn a CqCq Cq Cq C 1 1. n aq 最后一步用到了二项式定理最后一步用到了二项式定理. . 本题的第本题的第（）问是数列与组合数的综合题（）问是数列与组合数的综合题,可直接利用题设条件求和可直接利用题设条件求和.第第 （）问则需要由特殊到一般的归纳思维（）问则需要由特殊到一般的归纳思维,即由（）中的即由（）中的2,3nn归纳概括出归纳概括出 对任意正整数对任意正整数n的一般结论的一般结论,反映了特殊与一般反映了特殊与一般,有限与无有限与无限的数学思想限的数学思想.
