1、 【冲刺十套】【冲刺十套】 2020 年高考名校考前仿真模拟年高考名校考前仿真模拟 卷卷 理理 科科 数数 学（四）学（四） 注意事项：注意事项： 1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答题前，考生务 必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 2、回答第卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。 3、回答第卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出
2、的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1设集合 | | 1Axx， |02Bxx，则AB （ ） A( , 1)(1,2) B(, 1) C(,2) D(1,2) 2已知i是虚数单位，若2i(1 i)z ，则z的共轭复数z对应的点在复平面的（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3设 3 0.2a ， 2 log 0.3b ， 3 log 2c ，则（ ） Aabc Bacb Cbac Dcab 4最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨 论过“勾3股4弦5”的问题，我国的九章算术也有
3、记载 所以，商高比毕达哥拉斯早500 多年发现勾股定理 现有ABC满足“勾3股4弦5”， 如图所示， 其中4AB ，D为弦BC 上一点（不含端点），且ABD满足勾股定理，则()CBCAAD（ ） A 25 144 B144 25 C169 25 D 25 169 5函数( ) 2sin xx ee f x x ， ( ,0)(0,)x 的图像大致为（ ） A B C D 6如图，边长为a的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一 边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取 自阴影部分的概率为（ ） A 93 18 B 94 3 18 C
4、 93 27 D 94 3 27 7若( )sin3cosf xxx在,(0)m m m上是增函数，则m的最大值为（ ） A 5 6 B 2 3 C 6 D 3 8执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为5，则输出的n的值为（ ） A2 B3 C4 D5 9已知等比数列 n a的前n项和为 n S，且 5 4S ， 10 10S，则 15 S（ ） A16 B20 C19 D25 10如图，点A为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点，点P为双曲线上一点，作 PBx轴，垂足为B，若A为线段OB的中点，且以A为圆心，AP为半径的圆与双曲 线C恰有三个公共点，则C的离心率为（
5、 ） A2 B3 C2 D5 11 已知球O的半径为4， 矩形ABCD的顶点都在球O的球面上， 球心O到平面ABCD的 距离为2，则此矩形的最大面积为（ ） A12 B18 C24 D30 12已知函数 32 ( )2lnf xxexmxx，若( )f xx恒成立，则实数m的取值范围是 （ ） A 2 1 (1,)e e B 2 1 (0,1e e C 2 1 (,1e e D 2 1 (,e e 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知向量(2, 1)a，(1, )b，若(2 ) (2)abab，则实数_ 14已知函数 3 ( )s
6、in22f xaxbx( ,0)a babR，且(2)3f，则( 2)f _ 15某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共 享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻 的概率相等，则该停车点的车位数为_ 16已知恰有两条不同的直线与曲线 2x ye 和 2 2xpy都相切，则实数p的取值范围是 _ 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 （12 分） 设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，
7、已知tan3A，2b （1）若2 3a ，求B； （2）若2ac，求ABC的面积 18 （12 分）如图，在三棱柱 111 ABCABC中，D是棱AB的中点 （1）证明： 1 BC平面 1 ACD； （2）若 1 AA 平面ABC，2AB ， 1 4BB ，ACBC，E是棱 1 BB中点，当二面角 1 EACD的大小为 4 时，求线段DC的长度 19 （12 分）为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项 目纳入到学生的必修课程， 甚至关系到是否能拿到毕业证， 某中学计划在高一年级开设游泳 课程， 为了解学生对游泳的兴趣， 某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中
8、抽取了 100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占 5 6 ，而抽取的女生中 有15人表示对游泳没有兴趣 （1）试完成下面的2 2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性 别有关”？ （2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这 6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率； （3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上 游泳比赛中获奖，如下表所示若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2 人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的
9、分布 列及数学期望 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 20 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy ab ab 的右焦点为(1,0)F，上顶点为A，过F且 垂直于x轴的直线l交椭圆于B、C两点，若 2 2 FOA COB S S （1）求椭圆的方程； （2） 动直线m与椭圆有且只有一个公共点， 且分别交直线l和直线2x于M，N两点， 试求 | | MF NF 的值 21 （12 分）已知函数( )lnf xax（0a） ， 1 ( )g xx x （1）当2a时，比较( )f x与( )g x的大小，并证明； （2）令函数 22 ( ) ()
10、 ()F xfxgx，若1x 是函数( )F x的极大值点，求a的取值 范围 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 2 2 2 1 2 xt yt （t为参数），曲线C的参数方 程为 cos sin xm yan （0m，0n，为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，且曲线C的极坐标方程为8sin （1）求a，m，n的值； （2）已知点P的直角坐标为(0,1)，l与曲线C交于A，B两点，求|
11、PAPB 23 （10 分） 【选修 4-5：不等式选讲】 设函数( ) |3|1|f xxx，xR，不等式( )6f x 的解集为M （1）求M； （2）当xM时，( )|1|f xa x恒成立，求正数a的取值范围 【冲刺十套】【冲刺十套】 2020 年高考名校考前仿真模拟年高考名校考前仿真模拟 卷卷 理科数学答案（四）理科数学答案（四） 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 【答案】D 【解析】由| 1x ，解得1x或1x ，
12、所以(, 1)(1,)A ， 又(0,2)B ，所以(1,2)AB 2 【答案】D 【解析】由2i(1 i)z ，得 2i(1 i)(2i)13 i 1 i(1 i)(1 i)22 z ， 13 i 22 z ， 则z的共轭复数z对应的点的坐标为 13 ( ,) 22 ，在复平面的第四象限 3 【答案】D 【解析】 3 00.20.2， 22 log 0.3log 10， 1 2 33 1 log 2log 3 2 ，cab 4 【答案】B 【解析】由等面积法可得 3 412 55 AD ，依题意可得ADBC， 所以 2 144 ()()| 25 CBCAADAB ADADDBADAD 5 【
13、答案】D 【解析】函数( )f x定义域关于原点对称，( )()f xfx ， ( )f x为奇函数，关于原点对称，排除 B； 当(0,)x时，( )0f x ，排除 A； 当x时，( )f x ，排除 C 6 【答案】C 【解析】如图所示，边长为a的正六边形，则OAOBABa， 设小圆的圆心为 O ，则OCOA， 3 2 OCa， 3 6 O Ca， 3 3 OOa ， 1 2 ODa， 阴影面积为 22 131133 12 ()() 2626 626 aaaa， 正六边形的面积 2 3 3 2 a， 点恰好取自阴影部分的概率 3 93 26 273 3 2 P 7 【答案】C 【解析】若
14、13 ( )sin3cos2( sincos )2sin() 22 3 f xxxxxx， 在,(0)m m m上是增函数， 3 2 m ，且 2 3 m， 6 m ，故m的最大值为 6 8 【答案】C 【解析】执行程序框图，( , )x n依次为(5,0)，(7,1)，(9,2)，(11,3)，(13,4)， 2 1313132，输出的n的值为4 9 【答案】C 【解析】因为等比数列 n a的前n项和为 n S，所以 5 S， 105 SS， 1510 SS成等比数列， 因为 5 4S ， 10 10S，所以 105 6SS， 1510 9SS，所以 15 19S 10 【答案】A 【解析】
15、由题意可得( ,0)A a，A为线段OB的中点，可得(2 ,0)Ba， 令2xa，代入双曲线的方程可得3yb ， 可设(2 ,3 )Pab，由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点(,0)a， 即| 2APa，即有 22 23aab ，可得ab， 2 2 12 cb e aa 11 【答案】C 【解析】球O的半径为4，矩形ABCD的顶点都在球O的球面上，如图所示， 球心O到平面ABCD的距离为2， 22 1 422 3 2 BD ， 4 3BD ，SAB AD， 22 482ABADABAD， 由不等式性质得到：当ABAD时，矩形ABCD的面积最大， 此矩形的最大面积24S 12 【答案】A
16、【解析】根据题意可得 32 2lnxexmxxx 恒成立， 因为0x ，所以不等式可化为： 2 ln 21 x mxex x 恒成立， 令 2 ln ( )21 x g xxex x ， 322 222 1 ln1 ln22(1 ln )2() ( )22 xxxexxx ex g xxe xxx ， 可求得当(0, )xe时，( )0g x ；当( ,)xe时，( )0g x ， 所( )g x在(0, ) e上单调增，在( ,)e 上单调减， 所以 222 max 11 ( )( )211gxg eeee ee , 所以m的取值范围是 2 1 (1,)e e 第第卷卷 二、填空题：本大题共
17、二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 1 2 【解析】2(4,21)ab，2(3, 2) ab，(2 ) (2)abab， 4( 2)3(21) ，解得 1 2 14 【答案】1 【解析】令 3 ( )sin2g xaxbx，因为 3 ()sin2( )gxaxbxg x ， 所以函数( )g x为奇函数， 由(2)(2)23fg， 所以(2)1g， 所以( 2)( 2)2(2)21 21fgg 15 【答案】10 【解析】设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将(3)n个停车位排 放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成(2)n个间隔中，故
18、有 3 2 An种， 恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到， 将(3)n个停车位排放好所成(2)n个间隔中，故有 23 22 A An种， 因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等， 322 232 AA A nn ，解得10n 16 【答案】(0,2) 【解析】设曲线 2x ye 的切点为 1 2 1 ( ,) x x e ， 2 2xpy的切点坐标为 2 2 2 (,) 2 x x p ， 1 2 1 x yke ， 22 2 2 xx y pp ， 1 2 2 x x e p ， 切线方程为 11 22 1 () xx
19、 yeexx ，且过点 2 2 2 (,) 2 x x p ，故 11 2 22 2 21 () 2 xx x eexx p ， 由得 2 1 1 2 x x ，故 2 1 2 2 1 x e px 有两解， 由知 2 0 x p ，若 2 0x ，0p 不合题意； 所以必有 2 0x ，0p ，即 2 1 2 2 1 x e px 在(0,)有两解， 令 1 2 ( ) x e f x x ， 1 2 2 () ( ) 1 2 x x e x fx ，02x，( )0fx；2x，( )0fx， ( )f x在(0,2)单减，在(2,)单增，( )f x的最小值为 1 (2) 2 f， 又x
20、，( )f x ；0x，( )f x ， 故 11 2p ，解得02p 三、解答题：本三、解答题：本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤算步骤 17 【答案】 （1） 6 ； （2） 393 6 【解析】 （1）因为tan3A，所以 3 A ， 因为 sinsin ab AB ，所以 sin1 sin 2 bA B a ，所以 6 B 或 5 6 ， 又ba，所以 6 B （2）由余弦定理，可得 222 (2 )222cos 3 ccc ，即 2 3240cc， 解得 113 3 c （负根舍去） ， 故AB
21、C的面积为 11113393 sin2sin 22336 bcA 18 【答案】 （1）证明见解析； （2） 3 17 4 【解析】 （1）证明：连结 1 AC交 1 AC于点F，则F为 1 AC的中点， 连结DF，而D是AB中点，则 1 BCF， 因为DF 平面 1 ACD， 1 BC 平面 1 ACD，所以 1 BC平面 1 ACD （2）因为 1 AA 平面ABC，所以 1 AACD， 又ACBC，D是棱AB的中点，DCAB，所以DC 面 11 ABB A， 以D为原点，过D作AB的垂线为x轴，DB为y轴，DC为z轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 设DC的长度为t，则(0,0, )Ct
22、，(2,1,0)E， 1(4, 1,0) A，(0,0,0)D， 所以 1 (2, 2,0)EA ， 1 ( 4,1, )ACt ， 1 (4, 1,0)DA ，(0,0, )DCt， 分别设平面 1 EAC与平面 1 DAC的法向量为 111 ( ,)x y zm， 222 (,)xy zn， 由 11 111 220 40 xy xytz ，解得 3 (1,1, ) t m，同理可得(1,4,0)n， 由 2 142 cos, 29 17 2 t m n，解得 3 17 4 t ， 所以线段DC的长度为 3 17 4 19【答案】（1） 列联表见解析， 没有99%的把握认为；（2） 1 2
23、 ；（3） 分布列见解析， 6 ( ) 5 E 【解析】 （1）由题得如下的列联表： 22 2 ()100(50 1525 10) 5.5566.635 ()()()()60 40 75 25 n adbc K ab cd ac bd ， 没有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关” （2）记事件 i A 从这6名学生中随机抽取的3人中恰好有i人有兴趣，0i ，1，2，3， 则 23 AA从这6名学生中随机抽取的3人中至少有2人有兴趣，且 2 A与 3 A互斥， 所求概率 2130 3333 2323 33 66 C CC C ) CC 101 ( 202 PP AAP AP A （3）
24、由题意，可知所有可能取值有0，1，2，3， 22 34 22 55 C C C C 9 (0) 50 P， 11221 23434 22 55 C12 (1 C C CC C C ) 25 P ， 22111 24324 22 55 C3 (2) C CC C C10C P ， 21 24 22 55 C C C C 1 (3) 25 P， 所以的分布列是 9241526 ( )0123 505050505 E 20 【答案】 （1） 2 2 1 2 x y； （2） 2 2 【解析】 （1）由题得 2 222 1 2 2 (0,0 2 2 1 ) 1 2 bc abac b c a abc
25、c ，解得 2 1 1 a b c ， 椭圆的方程为 2 2 1 2 x y （2）设切点为 000 (,)(0)P x yy ，则 0 0 :1 2 x x my y， 令1x ，得 0 0 2 2 x y y ，即 0 0 2 (1,) 2 x M y ；令2x，得 0 0 1x y y ，即 0 0 1 (2,) x N y ， 22 0 22 000 222 22 02 000 0 0 2 (1 1)(0) 222|2 |21 4(14 (2 1)(0) 4(14( ()() ) )1) 2 x yxxMF NFx xyx x y 为定值 21 【答案】 （1）见解析； （2） 2,0
26、)(0,2 【解析】 （1）当2a时， 1 ( )( )2lnf xg xxx x ， 令 1 ( )2lnh xxx x ，则 22 222 2121(1) ( )10 xxx h x xxxx ， 所以函数 1 ( )2lnh xxx x 在(0,)上单调递减，且(1)0h， 所以当01x时，( )0h x ，即( )( )f xg x； 当1x 时，( )0h x ，即( )( )f xg x； 当1x 时，( )0h x ，即( )( )f xg x （2） 2 222 1 ( ) () ()ln(2) 4 a F xfxgxxx x ，0x， 令 2 0 2 a m ， 2 ln11
27、1 ( )1(ln) x F xmmxx xxxx ， 令 1 ( )lnG xmxx x ，则 2 22 11 ( )1 mxmx G x xxx ， 当02m时， 2 2 1 ( )0 xmx G x x 恒成立， 所以 1 ( )lnG xmxx x 在(0,)上递减，且(1)0G， 所以01x时，( )0F x，( )F x在(0,1)上递增； 1x 时，( )0F x，( )F x在(1,)上递减，此时1x 是函数( )F x的极大值点，满足 题意； 当2m时， 1 (0,1)x， 2 (1,)x ，使得当 12 ( ,)xx x时，( )0G x， 所以 1 ( )lnG xmxx
28、 x 在 12 ( ,)x x上递增，且(1)0G， 所以 1 1xx时，( )0F x，( )F x在 1 ( ,1)x上递减； 2 1xx时，( )0F x，( )F x在 2 (1,)x上递增，此时1x 是函数( )F x的极小值点，不合题意， 综上可得 2 (0,2 2 a m ，解得 2,0)(0,2a 22【答案】（1）4amn；（2）46 【解析】（1）由8sin，得 2 8 sin，则 22 8xyy，即 22 (4)16xy， 因为0m，0n，所以4amn （2）将 2 2 2 1 2 xt yt 代入 22 (4)16xy，得 2 3 270tt 设A，B两点对应的参数分别
29、为 1 t， 2 t，则 12 3 20tt， 1 2 70t t ， 所以 2 12121 2 | |()446PAPBtttttt 23 【答案】 （1） | 42xx ； （2）(0,1 【解析】 （1） 22,3 ( ) |3|1|4,31 22,1 xx f xxxx xx ， 当3x时，226x ，解得43x ； 当31x 时，46，可得31x ； 当1x 时，226x，解得12x， 综上，不等式( )6f x 的解集 | 42Mxx （2）当43x 时，( )|1|f xa x等价于(2)2axa，得01a； 当31x 时，( )|1|f xa x等价于40axa ，得01a； 当12x时，( )|1|f xa x等价于(2)20axa，得06a， 综上，实数a的取值范围为(0,1
