1、 2.2.2 平行四边形的判定(第2课时) 1.1.熟记平行四边形的判定定理熟记平行四边形的判定定理3:3:对角线互相平分的四边形是平对角线互相平分的四边形是平 行四边形行四边形.(.(重点重点) ) 2.2.能根据平行四边形的判定定理能根据平行四边形的判定定理3,3,判定一个四边形是否是平行判定一个四边形是否是平行 四边形四边形.(.(重点、难点重点、难点) ) 平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理3 3 如图如图, ,先将先将AC,BDAC,BD的中点重合并钉好的中点重合并钉好, , 然后再将另外四条木棒钉好然后再将另外四条木棒钉好. . 【思考思考】(1)(1)图中图中AOBAOB与
2、与CODCOD全等吗全等吗? ?AODAOD和和COBCOB呢呢? ? 提示提示: :点点O O分别是分别是AC,BDAC,BD的中点的中点,AO=CO,BO=DO,AO=CO,BO=DO,又又 AOB=COD,AOB=COD,AOBAOBCOD(SAS),COD(SAS),同理同理AODAODCOB.COB. (2)AB(2)AB与与CD,ADCD,AD与与BCBC有何位置关系有何位置关系? ?为什么为什么? ? 提示提示: :由问题由问题(1)(1)知知, ,AOBAOBCOD,BAO=DCO,COD,BAO=DCO,由内错角由内错角 相等相等, ,两直线平行两直线平行, ,得得ABCD,
3、ABCD,同理同理ADBC.ADBC. (3)(3)根据根据(2)(2)可以得四边形可以得四边形ABCDABCD是什么四边形是什么四边形? ? 提示提示: :由问题由问题(2)(2)知知ABCD,BCDA,ABCD,BCDA,由平行四边形的定义得四边由平行四边形的定义得四边 形形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 【总结总结】平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理3:3: 对角线对角线_的四边形是平行四边形的四边形是平行四边形. . 互相平分互相平分 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线互相垂直的四边形是平行四边形. . ( )
4、( ) (2)(2)四边形四边形ABCDABCD的两条对角线的两条对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,O,且且AO=CO,AO=CO,则四边形则四边形 ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . ( )( ) (3)(3)对角线相等的四边形是平行四边形对角线相等的四边形是平行四边形. . ( )( ) (4)(4)两组角相等的四边形是平行四边形两组角相等的四边形是平行四边形. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 平行四边形判定定理平行四边形判定定理3 3的应用的应用 【例例1 1】已知如图已知如图,E,F,E,F是平行四边形是平行四边形ABCDABCD对角线对角线ACAC上的两点
5、上的两点, ,并并 且且AE=CF.AE=CF.求证求证: :四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形. . 【解题探究解题探究】 (1)(1)若利用若利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四证明四 边形边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形, ,需要作辅助线需要作辅助线: :连接连接BDBD交交EFEF于点于点O.O. (2)(2)因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , 所以所以AO=AO=_,BO=,BO=_. . 因为因为AE=CF,AE=CF, 所以所以AOAO- -AE=COAE=CO- -_,
6、, 所以所以_= =_. . 又又BO=BO=_, ,所以四边形所以四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形. . COCO DODO CFCF EOEO FOFO DODO 【互动探究互动探究】除了利用对角线互相平分外除了利用对角线互相平分外, ,还有其他方法吗还有其他方法吗? ? 提示提示: :利用三角形全等利用三角形全等, ,得到等角得到等角, ,进一步得到进一步得到BEDF,EDBF,BEDF,EDBF, 由平行四边形的定义判定四边形由平行四边形的定义判定四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形. . 【总结提升总结提升】判定平行四边形的方法选择判定平行四边形的方法选择 已
7、知条件已知条件 证明思路证明思路 一组对边相等一组对边相等 1.1.另一组对边也相等另一组对边也相等 2.2.相等的边也平行相等的边也平行 一组对边平行一组对边平行 1.1.另一组对边也平行另一组对边也平行 2.2.平行的边也相等平行的边也相等 一组对角相等一组对角相等 另一组对角也相等另一组对角也相等 对角线相交对角线相交 对角线互相平分对角线互相平分 知识点知识点 2 2 平行四边形的性质与判定的综合应用平行四边形的性质与判定的综合应用 【例例2 2】(2012(2012沈阳中考沈阳中考) )已知已知, ,如图如图, ,在平行在平行 四边形四边形ABCDABCD中中, ,延长延长DADA到
8、点到点E,E,延长延长BCBC到点到点F,F,使使 得得AE=CF,AE=CF,连接连接EF,EF,分别交分别交AB,CDAB,CD于点于点M,N,M,N,连接连接 DM,BN.DM,BN. (1)(1)求证求证: :AEMAEMCFN.CFN. (2)(2)求证求证: :四边形四边形BMDNBMDN是平行四边形是平行四边形. . 【思路点拨思路点拨】(1)(1) ABCDADBC,DAB=BCD,E=F,ABCDADBC,DAB=BCD,E=F, EAM=FCN,AE=CFEAM=FCN,AE=CFAEMAEMCFN.CFN. (2)(2) ABCDABCD,AB=CDBMDN,BM=DNA
9、BCDABCD,AB=CDBMDN,BM=DN结论结论. . 【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , DAB=BCD,EAM=FCN,DAB=BCD,EAM=FCN, ADBC,E=F,ADBC,E=F, AE=CF,AE=CF,AEMAEMCFN.CFN. (2)(2)由由(1)(1)得得AM=CN,AM=CN, 又又四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , ABCD,AB=CD,BMDN,BM=DN,ABCD,AB=CD,BMDN,BM=DN, 四边形四边形BMDNBMDN是平行四边形是平行四边形. . 【总结提升总结提
10、升】平行四边形性质与判定的应用平行四边形性质与判定的应用 1.1.利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题利用平行四边形的性质与判定可解决以下问题: : (1)(1)求线段的长求线段的长, ,证明线段相等或平行证明线段相等或平行, ,证明线段的倍分关系证明线段的倍分关系. . (2)(2)求角的度数求角的度数, ,证明角相等或互补等证明角相等或互补等. . 2.2.利用平行四边形的性质与判定解决问题时利用平行四边形的性质与判定解决问题时, ,有时需要先证一有时需要先证一 个四边形是平行四边形个四边形是平行四边形, ,再利用平行四边形的性质去解题再利用平行四边形的性质去解题. . 题组一题组一:
11、 :平行四边形判定定理平行四边形判定定理3 3的应用的应用 1.1.如图所示如图所示,D,E,D,E分别在分别在ABCABC的边的边AB,ACAB,AC上上, , F F在在DEDE延长线上延长线上,DE=EF,AE=EC,DE=EF,AE=EC,则四边形则四边形ADCFADCF 是是 , ,理由是理由是 . . 【解析解析】DF,ACDF,AC是四边形是四边形ADCFADCF的对角线的对角线, ,由对角线互相平分来判由对角线互相平分来判 定四边形定四边形ADCFADCF是平行四边形是平行四边形. . 答案答案: :平行四边形平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形
12、是平行四边形 2.2.已知已知: :如图如图, ,把把ABCABC绕边绕边BCBC的中点的中点O O旋转旋转180180得到得到DCB,DCB,求求 证证: :四边形四边形ABDCABDC是平行四边形是平行四边形. . 【证明证明】连接连接OA,OD,OA,OD,因为因为DCBDCB是由是由ABCABC旋转旋转180180所得所得, ,所以所以 点点A,D,A,D,点点B,CB,C分别关于点分别关于点O O成中心对称成中心对称, ,所以所以OB=OC,OA=OD.OB=OC,OA=OD. 所以四边形所以四边形ABDCABDC是平行四边形是平行四边形, , ( (注注: :还可以利用旋转变换得到
13、还可以利用旋转变换得到AB=CD,AC=BD;AB=CD,AC=BD;或通过证明或通过证明 ABCABCDCBDCB来证四边形来证四边形ABDCABDC是平行四边形是平行四边形) ) 3.3.如图如图, ,在在ABCABC中中,D,D是是BCBC边的中点边的中点,F,E,F,E分别是分别是ADAD及其延长线上及其延长线上 的点的点,CFBE.,CFBE. (1)(1)求证求证: :BDEBDECDF.CDF. (2)(2)请连接请连接BF,CE,BF,CE,试判断四边形试判断四边形BECFBECF是何种特殊四边形是何种特殊四边形, ,并说明并说明 理由理由. . 【解析解析】(1)(1)因为因
14、为CFBE,CFBE,所以所以EBD=FCD,EBD=FCD, 又因为又因为BDE=CDF,BD=CD,BDE=CDF,BD=CD, 所以所以BDEBDECDF.CDF. (2)(2)四边形四边形BECFBECF是平行四边形是平行四边形. . 由由BDEBDECDF,CDF,得得ED=FD.ED=FD. 又因为又因为BD=CD,BD=CD, 所以四边形所以四边形BECFBECF是平行四边形是平行四边形. . 4.4.已知已知: :如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,ABCD,ABCD,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点 O,BO=DO.O,BO=DO. 求证求证:
15、 :四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 【证明证明】ABCD,ABO=CDO,ABCD,ABO=CDO, 在在ABOABO与与CDOCDO中中,ABO=CDO,BO=DO,AOB=DOC,ABO=CDO,BO=DO,AOB=DOC, ABOABOCDO,AO=CO,CDO,AO=CO,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. . 5.5.如图如图, ,在在ABCABC中中,D,D是是BCBC上的点上的点,O,O是是ADAD的中点的中点, ,过过A A作作BCBC的平行的平行 线交线交BOBO的延长线于点的延长线于点E,E,则四边形则四边形ABDEABDE是
16、什么四边形是什么四边形? ?并说明理并说明理 由由. . 【解析解析】四边形四边形ABDEABDE是平行四边形是平行四边形. . 理由理由:AEBC,:AEBC, EAO=BDO,AEO=DBO,EAO=BDO,AEO=DBO, OO是是ADAD的中点的中点,AO=OD,AO=OD, 在在AOEAOE和和DOBDOB中中, , EAO=BDO,AEO=DBO,AO=OD,EAO=BDO,AEO=DBO,AO=OD, AOEAOEDOB,OB=OE,DOB,OB=OE,又又AO=OD,AO=OD, 四边形四边形ABDEABDE是平行四边形是平行四边形. . 题组二题组二: :平行四边形的性质与判
17、定的综合应用平行四边形的性质与判定的综合应用 1.1.已知已知ABCABC的面积为的面积为36,36,将将ABCABC沿沿BCBC的方向平移到的方向平移到A A B B C C 的位置的位置, ,使使B B 和和C C重合重合, ,连接连接ACAC 交交A A C C于于D,D,则则C C DCDC的面积为的面积为 ( ( ) ) A.6 B.9 A.6 B.9 C.12 C.12 D.18D.18 【解析解析】选选D.D.连接连接AA,AA,由平移的性质知由平移的性质知,ACAC,AC=AC,ACAC,AC=AC,所所 以四边形以四边形AACCAACC是平行四边形是平行四边形, ,所以点所以
18、点D D是是AC,ACAC,AC的中点的中点, ,所以所以 AD=CD,AD=CD,所以所以S S CDCCDC= S = S ABCABC=18. =18. 1 2 2.2.如图如图, ,ABCABC中中,ABC=BAC,D,ABC=BAC,D是是ABAB的中点的中点, , ECAB,DEBC,ACECAB,DEBC,AC与与DEDE交于点交于点O.O.下列结论中下列结论中, , 不一定成立的是不一定成立的是 ( ( ) ) A.AC=DEA.AC=DE B.AB=ACB.AB=AC C.AD=ECC.AD=EC D.OA=OED.OA=OE 【解析解析】选选B.ECAB,DEBC,B.EC
19、AB,DEBC, 四边形四边形BDECBDEC是平行四边形是平行四边形, , BD=CE,B=E.BD=CE,B=E. 又又ABC=BAC,CEO=DAO.ABC=BAC,CEO=DAO. 又又D D是是ABAB的中点的中点,AD=BD,AD=BD, AD=CE,AD=CE,AODAODEOC,OA=OE.EOC,OA=OE. BC=DE,BC=AC,AC=DE.BC=DE,BC=AC,AC=DE. 而而AB=ACAB=AC无法证得无法证得. . 3.3.如图如图,ABDC,ADBC,ABDC,ADBC,若若A=35A=35, ,则则C=C= . . 【解析解析】ABDC,ADBC,ABDC,
20、ADBC, 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形,C=A=35,C=A=35. . 答案答案: :3535 4.4.如图如图, ,在在 ABCDABCD中中, ,点点E,FE,F分别在边分别在边AD,BCAD,BC上上, , 且且BEDF,BEDF,若若EBF=45EBF=45, ,则则EDFEDF的度数的度数 是是 度度. . 【解析解析】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , ADBC.ADBC. 又又BEDF,BEDF, 四边形四边形BFDEBFDE是平行四边形是平行四边形, , EDF=EBF=45EDF=EBF=45. . 答案答案: :4545
21、5.5.已知已知: :如图如图, ,在在 ABCDABCD中中, ,点点E E在在ADAD上上, ,连接连接BE,DFBEBE,DFBE交交BCBC于点于点 F,AFF,AF与与BEBE交于点交于点M,CEM,CE与与DFDF交于点交于点N.N. 求证求证: :四边形四边形MFNEMFNE是平行四边形是平行四边形. . 【证明证明】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, , AD=BC,ADBC.AD=BC,ADBC. 又又DFBE,DFBE, 四边形四边形BEDFBEDF是平行四边形是平行四边形. . DE=BF.DE=BF. ADAD- -DE=BCDE=BC- -BF,B
22、F,即即AE=CF.AE=CF. 又又AECF,AECF, 四边形四边形AFCEAFCE是平行四边形是平行四边形. . MFNE,MFNE, 四边形四边形MFNEMFNE是平行四边形是平行四边形. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AC,AC交交BDBD于于 点点O,O,点点E,E,点点F F分别是分别是OA,OCOA,OC的中点的中点, ,请判断线段请判断线段BE,DFBE,DF的关系的关系, ,并并 说明你的结论说明你的结论. . 提示提示: :线段线段BE,DFBE,DF的关系包括位置关系和数量关系的关系包括位置关系和数量关系, ,本题只说明本题只说明 了位置关系了位置关系, ,遗漏数量关系遗漏数量关系BE=DF.BE=DF.
