1、 高考一轮复习热点难点精讲精析：2.10函数模型及其应用1、一次函数与分段函数模型相关链接（1）在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升（自变量的系数大于0）或直线下降（自变量的系数小于0）；（2）很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数。（3）分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起。要注意各段变量的范围，特别是端点值。例题解析例1电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案这两种方案应
2、付话费y(元)与通话时间x(分钟)之间的关系如图所示，其中MNCD.(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？思路解析：本题是求在不同的条件下，两种方案所付话费以及话费的比较，但由于题设中以图象的形式给出两方案的付费函数，所以在解题方法上，可先求出函数的解析式，然后再求其他解解答：设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系为和，由图知M（60，98），N（500，230），C（500，168），MNCD；则（1）通话2小时的费用分别是116元、168元。（2）方案B从500分钟以后，每分
3、钟收费0.3元。（3）由图知，当0x60时，；当60x500时，由得解得当x500时，。综上，通话时间在内，方案B比方案A优惠。例2我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15x40),乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15x40).试求f(x)和g(x);(2)问：小张选择哪家
4、比较合算？为什么？【解析】(1)f(x)=5x(15x40),(2)由f(x)=g(x)得，即x=18或x=10(舍).当15x18时，f(x)-g(x)=5x-900,f(x)g(x),即选甲家；当x=18时，f(x)=g(x),即可以选甲家，也可以选乙家；当180,f(x)g(x),即选乙家;当300,f(x)g(x),即选乙家.综上所述，当15x18时，选甲家，当x=18时，可以选甲家，也可以选乙家，当18x40时，选乙家.2、二次函数与分段函数模型相关链接二次函数的应用主要有以下方面：(1)利用二次函数关系式或图象求最值.(2)利用二次函数单调性求参数取值或范围.(3)二次函数如果是分
5、段表示，则应注意分段区间端点值的应用.(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围.例1某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机100架。已知制造x架该种飞机的产值函数为R(x)=3000x-20x2 (单位：万元），成本函数C（x)=500x+4000 (单位：万元）。利润是收入与成本之差，又在经济学中，函数（x)的边际利润函数Mx)定义为：Mx)=(x+1)-(x).求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；（利润=产值-成本）问该公司的利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相等的最大值？ 解：P(x)= R(x)- C（x)= -20x2+2500x-4000 (xN*,
6、且x1,100)；MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(xN*,且x1,100)；P(x)= -20（x-）2+74125 (xN*,且x1,100)；则当x=62或63时，P（x)max=74120（元），因为MP(x) =-40x+2480为，则当x=1时，MP(x)max =2440元，故利润函数与边际利润函数不具有相等的最大值。例2北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础
7、上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元。（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）。（2）当每纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值。思路解析：（1）利润=（售价-进价-管理费）（销售的纪念章数），注意价格取值是分段的；（2）分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小。解答：（1）依题意些函数的定义域为（0，40）。（2）当0x20,则当x=16时，ymax=32400（元）；当20x40,则当x=时，ymax=272
8、25（元）。综上可得当x=16 时，该特许专营店获得的利润最大为32400元。注：分段函数是一类重要的函数，生活中很多实例都是分段函数模型，解决此类问题主要是构造分段函数，然后分步解决，构造分段函数时要力求准确、简捷，做到分段合理，不重不漏。3、指数函数模型相关链接(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型.(3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解例题解析例1急剧增加的人口已经使我们赖以
9、生存的地球不堪重负控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在2006年底达到13.14亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2016年底至多有多少亿？ 以下对数值可供计算时使用:思路解析：(1)本题求每年人口增长率,但已知40年内翻一番,所以在解题方法上,可用方程的思想来解；(2)本题是计算10年后我国人口的数量，由于题设中已知10年前以及每年的增长率，所以在解题方法上，可先找到函数关系，直接计算求解解答：(1)设每年人口平均增长率为x,n年前的人口数为a,n年后的人口数为y，则y=a(1+x)n,依题
10、意得：2a=a(1+x)40,即2=(1+x)40,两边取对数得，lg2=40lg(1+x),则lg(1+x)=0.007 525,所以1+x1.017,得x0.017,故每年的人口平均增长率约是1.7%.(2)依题意得y13.14(1+1%)10,两边取对数得，lgylg13.14+10lg(1+1%)1.161 6,y14.51,故2 016年至多有人口14.51亿.例2某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%,试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该
11、城市人口将达到120万人（精确到1年）。（101210=1127，1.01215=1.196,1.01216=1.210）思路解析：列出前几年该城市人口总数y与年份x的函数关系观察规律，总结出y与x的函数关系按要求求解（2）、（3）两小题解答：（1）1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%),2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)2同理，3年后该城市人口总数为：y=100(1+1.2%)3X年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x(xN)（2）10年后人口总数为100（1+1.2）1011
12、2.7(万)（3）设x年后该城市人口将达到120万人，即100（1+1.2%）x=120,x=log1.0121.2016（年）。因此，大约16年以后城市人口将达到120万人。注：高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答。4、利用函数刻画实际问题相关链接用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)
13、、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.例题解析【例】如图所示，向高为H的容器A，B，C，D中同时以等速注水，注满为止：(1)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(a)，则容器的形状是_;(2)若水量v与水深h的函数图象是下图中的(b)，则容器的形状是_;(3)若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的(c)，则容器的形状是_;(4)若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的(d)，则容器的形状是_.【方法诠释】根据实际问题中水深h,水量v和注水时间t之间的关系，结合图象使之吻合即可.解析：(1)该题图中的(a)说明了注入水的高度是匀速上升的，只有C中的容器能做到，所以应填C；(2)该题图中的
14、(b)说明了水量v增长的速度随着水深h的增长越来越快，在已知的四个容器中，只有A中的容器能做到，所以应填A；(3)该题图中的(c)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四个容器中，只有D中的容器能做到，所以应填D；(4)该题图中的(d)说明水深h与注水时间t之间的对应关系，且反映出来的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四个容器中，只有B中的容器能做到，所以应填B答案：(1)C(2)A(3)D(4)B注：用函数刻画实际问题的关键是分析所给实际问题中两个变量间的关系，从中发现其变化的规律，并与函数的图象、性质联系起来，从而使问题解决.5、利用已知
15、函数模型解决实际问题相关链接利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.例题解析【例】(1)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3 000+20x-0.1x2(0x240,xN)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台(2)为了预防流感,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小
16、时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为_.【方法诠释】(1)结合二次函数的性质及实际意义解题即可.(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式.解析：(1)选C.要使生产者不亏本，则有3 000+20x-0.1x225x,解上式得：x-200或x150,又0x240,xN，x的最小值为150.(2)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比,则设函数y=kt(k0),将点(0.1,1)代入可得k=10,则y=10t;将点(
17、0.1,1)代入得则所求关系式为答案:6、自建模型解决实际问题相关链接建立函数模型解决实际问题的步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论例题解析【例3】(2012北京模拟)某特许专营店销售上海世博会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需要向上海世博局交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时，该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每
18、枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元，则增加销售400枚；而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元.(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x元之间的函数关系式(并写出这个函数的定义域);(2)当每枚纪念章销售价格x为多少时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值.【方法诠释】(1)首先应根据题意确定出销售价格x的取值范围;再分别求出减少,增加一元时的销售利润,从而得到一年所得利润y(元)的函数关系式.(2)根据函数关系式的结构特征，选择适当的求最值方法求解.解析：(1)依题意销售价格x(7,40)，即
19、定义域为(7,40)，而当7x20，xN+时，则增加销售400(20-x)枚,故其一年内销售所获得利润为y=2 000+400(20-x)(x-7);当20x40，xN+时，则减少销售100(x-20)枚.故其一年内销售所获得利润为y=2 000-100(x-20)(x-7)，综上得:(2)因为若7x20,则当x=16时,ymax=32 400(元).若20x40,则当x=23或24时,ymax=27 200(元).综上可得当x=16时，该特许专营店获得的利润最大,为32 400元.注：解决这类问题常见的两个误区(1)不会将实际问题转化为函数模型，从而无法求解.(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件.9
