1、 高考一轮复习热点难点精讲精析：2.12定积分一、定积分的概念与微积分基本定理（一）定积分的计算（利用定义）1、相关链接（1）由定积分定义求定积分的步骤为分割；近似代替；求和；取极限。（2）关于定积分的概念应注意的问题积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的字母无关，即定义中区间的分法和的取法都是任意的。在定积分的定义中，限定下限小于上限，即ab,为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：=，=0。2、例题解析例1用定积分的定义计算定积分的值。分析：n等分区间a,b近似代替求和取极限解答：将区间a,b等分，设分点分别为a=x0x1x2xi+1xixn=b,取i
2、=,显然，作和式于是，即例2用定积分的定义求直线x=1,x=2,y=0和曲线y=x3围成的图形的面积解析：（1）分割用分点将区间1，2等分成个小区间，如图所示，每个区间的长度为x=,过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作（2）近似代替取各小区间的左端点记为，用以点的纵坐标为一边，以小区间长为其邻边的小矩形面积代替第i个小曲边梯形的面积，可近似地表示为（3）求和因为每个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以个小矩形面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值，即（4）取极限当分点数目越多，即x越小，和式的值就越接近于曲边梯形ABCD的面积
3、S，当，即x0时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积。（二）定积分的计算（利用微积分基本定理）1、相关链接（1）求函数f(x)在某个区间上的定积分，关键是求函数f(x)的一个原函数，正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系；若原函数不易寻找时，先把f(x)进行变形。（2）计算简单定积分的步骤把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)=f(x);利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值。2、例题解析例（1）；（2）；（3） K解析：（1）（2）因
4、为，所以；（3）（三）求分段函数（带绝对值的函数）的积分1、相关链接（1）分段函数的定积分分段函数在区间a,b上的积分可分成几段积分的和的形式；分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细。（2）奇偶函数在对称区间上的积分若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间-a,a上连续，则;若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间-a,a上连续，则2、例题解析例1（1）求函数在区间上的积分。（2）求。思路解析（1）f(x)在0，5上的定积分，可按照f(x)的分段标准，分成0，1，三段的定积分的和；（2）由，可分为二段定积分，再求和。解答：（1）由定积分性质知（
5、2）例2求的定积分思路分析：利用微积分基本定理，但不能直接应用求解，可先通过换元转化为可利用定积分公式求解的形式。解答：令于是。=注：为了消去被积函数中的根式，可令，则，因为定积分与定积分的变量符号无关，所以，从而将问题转化为我们熟悉的被积函数式，再利用定积分公式求得积分值。（四）利用定积分的几何意义求定积分例利用定积分的几何意义求的值。思路解析：画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值。解答：表示的图象与所围成的图形的面积，如图：由得且（y0），表示以原点为圆心，a为半径的上半圆，其面积为，方法提示：1.定积分的几何意义非常重要，函数的奇偶性又是解决定积分有关
6、问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：设函数f(x)在闭区间-a，a上连续，则：(1)若f(x)是偶函数，则 =2 f(x)dx;(2)若f(x)是奇函数，则=0.2.当函数f(x)在区间a,b上恒为正时，定积分 f(x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(ab)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.3.根据定积分的几何意义，若f(x)0，则在a,b上的阴影面积S=；若f(x)0，则在a,b上的阴影面积S=-. 注：当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与所围成的曲边梯形面积易求时，用曲边梯形面积的代数和的方法求定积分。二、定积分的简单应用（一）利
7、用定积分求图形的面积1、相关链接（1）利用定积分求曲边梯形面积的步骤画出曲线的草图，确定图形范围；借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；将曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和或差；计算定积分，写出答案。注：利用定积分（2）关键环节认定曲边梯形，选定积分变量；确定被积函数与积分上、下限。注：被积函数实际上就是曲边梯形上边界的函数减去下边界的函数，当某一边界是不同函数的图象时就要分段去求。2、例题解析例1求由抛物线，直线x=2，y=0所围成的图形的面积思路分析：画出图象求出抛物线与x轴交点用定积分求面积解答：作出直线x=2，曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的面积。由得抛物线与
8、x轴的交点坐标是（-1，0）和（1，0），因此所求图形的面积为：例2求曲线与直线y=x-4围成的图形面积解答：作出直线y=x-4，曲线的草图，所求面积为图中阴影部分的面积。解方程组得，即直线y=x-4与曲线交点的坐标分别为（2，-2）和（8，4）所以所求图形的面积为（二）定积分在物理方面的应用1、相关链接（1）物体作变速直线运动的速度v(t)等于加速度函数a=a(t)在时间区间m,n上的定积分。（2）求变力作功的方法求变力作功，要根据物理学的实际意义，求出变力F(x)的表达式，这是求功的关键；由功的物理意义知，物体在变力F(x)的作用下，沿力F(x)的方向做直线运动，使物体从x=a移到x=b(
9、ab).因此，求功之前还应求出位移起始位置与终止位置；根据变力作功公式即可求出变力F(x)所作的功。2、例题解析例列车以72km/h速度行驶，当制动时列车获得加速度a=-0.4m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？思路分析：作变速运动的物体在一段时间间隔内所走过的路程，可以利用该物体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来解。所以一个物体在一段时间内的位置，只要求出其运动的速度函数，再求出该时间段上的定积分即可。解答：已知列车速度v=72km/h=20m/s，列车制动时获得的加速度为a=-0.4m/s2，设列车开始制动到经过t秒后的速度为v，则v=v0+，令v=0，
10、得t=50s。设该列车由开始制动到停止时所走路程是，则所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动。（三）定积分的综合应用例如图所示，已知曲线与曲线交于点O、A，直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB。（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式S=f(t)；（2）求函数S=f(t)在区间上的最大值。思路分析：（1）曲边四边形分为ABD和曲边三角形ODB，求出A、B、D三点的坐标，可求面积；（2）可利用导数求最大值。解答：（1）由解得或O（0，0），A（a,a2）。又由已知得B（t,-t2+2at）,D(t,t2),（2）f(
11、t)=t2-2at+a2,令f(t)=0，即t2-2at+a2=0。解得t=(2-)a或t=(2+)a.01,t=(2+)a应舍去。若(2-)a1,即a时，0t1，f(t)0。f(t)在区间上单调递增，S的最大值是f(1)=a2-a+.若(2-)a1,即1a时，当0t0.当(2-)at1时，f(t)0.f(t)在区间(0, (2-)a上单调递增，在区间(2-)a，1上单调递减。f(t)的最大值是f(2-)a)= (2-)a3-a(2-)a2+a2(2-)a=.综上所述。注：应用导数与积分求面积的最值，其基本思路是：将面积表示成某个变量的函数，利用函数的有关知识求解；若阴影部分的边界不同，可分不同情况讨论解决。9
