1、 郑州市 2020 年高中毕业年级第二次质量预测 理科数学评分参考 一、选择题 BCCCAABBBDCC 二、填空题 13.160；14.8；15.3；16.1,).e 三、解答题 17.(1)设等差数列 n a的公差为d， 则 1 2 111 72177, (60 )(10 ) , ad a adad 3 分 解得 1 5, 23. 2, n a an d 5 分 (2)由 1 11 1111 ,(2,). nn nnnn aann bbbb N 当2n时， 121 1122111 111111111 ()()() nn nnnnn aaa bbbbbbbbb =(1)(25)3(2).nn
2、n n8 分 对 1 1 3 b 也适合，9 分 11 11 (2)()(). 22 n n n nnNb bnn 10 分 2 1111111 31135 (1)(). 232422 2124(1)(2) n nn T nnnnnn 12 分 18. (I)作出22列联表： 青春组风华组合计 男生7613 女生51217 合计121830 3 分 由列联表数据代入公式得 2 2 () 1.83 ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，5 分 因为 1.832.706， 故没有 90%的把握认为成绩分在青春组或风华组与性别有关. 6 分 () 用 A 表示“至少有 1 人
3、在青春组” ，则 2 3 2 5 7 ( )1 10 C p A C .8 分 (III)由题知，抽取的 30 名学生中有 12 名学生是青春组学生，抽取 1 名学生是青春组学生 的概率为 122 305 ，那么从所有的中学生中抽取 1 名学生是甲组学生的概率是 2 5 ，又因为所 取总体数量较多， 抽取 4 名学生可以看出 4 次独立重复实验， 于是服从二项分布 2 (4,) 5 B. 10 分 显然的取值为 0，1，2，3,4 . 且 4 4 22 ()( ) (1),0,1,2,3,4 55 kkk PkCk. 所以得分布列为： 数学期望 28 4 55 E12 分 19.（）设点D在平
4、面ABC上的射影为点E，连接DE，则DE 平面ABC， DEBC.2 分 四边形ABCD是矩形，ABBC，BC 平面ABD，BCAD. 4 分 又ADCD，所以AD 平面BCD，而AD 平面ABD，平面ABD平面BCD. 6 分 （）以点B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立空间 直角坐标系，如图所示.设ADa，则2ABa，(0,2 ,0)Aa，( ,0,0)C a. 由（）知ADBD，又2 AB AD ，30DBA，60DAB， cosAEADDAB 1 2 a， 3 2 BEABAEa， 3 sin 2 DEADDABa， 33 (0,) 22 Daa， 13
5、(0,) 22 ADaa ，( , 2 ,0)ACaa .8 分 设平面ACD的一个法向量为( , , )mx y z ， 01234 P 81 625 216 625 216 625 96 625 16 625 则 0 0 m AD m AC ，即 13 0, 22 20. ayaz axay 不妨取1z ，则3y ，2 3x ，(2 3, 3,1)m . 而平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n ，10 分 cos,m n | m n m n 222 1 (2 3)( 3)1 1 4 . 故二面角DACB的余弦值为 1 4 .12 分 20.解解(I)设 ,A x y ，由题意， 22
6、(3)3 |4|2 xy x， 2 分 化简得 22 412xy，（3 分）所以，动点A的轨迹C的方程为 22 1. 123 xy 4 分 ()解：解：设),( 11 yxA，),( 22 yxB，则由斜率之积，得 12 12 1 4 y y x x，6 分 2 21 2 21 )()(|yyxxAB，因为点,M N在椭圆C上， 所以 22 22 12 12 3,3. 44 xx yy化简得 22 12 12xx 8 分 直线AB的方程为0)()( 21121212 yxyxyxxxyy，原点O到直线MN的距离为 . )()( 2 12 2 12 1221 yyxx |yxyx| d 所以，M
7、ON的面积| 2 1 | 2 1 1221 yxyxdABS AOB ， 根据椭圆的对称性，四边形M NPQ的面积S|2 1221 yxyx，10 分 所以，)2(4)(4 2 1 2 22121 2 2 2 1 2 1221 2 yxyyxxyxyxyxS 22 12 12()144xx ，所以12.S 所以，四边形M NPQ的面积为定值 1212 分 21.解析： （）当1a时，曲线 . 1 ln x xx xgxfy 22 1 ln1lnln1 . 11 xxxxxx y xx 2 分 1x 时，切线的斜率为 1 2 ，又切线过点1,0 所以切线方程为210xy 4 分 （） 2 111
8、 ,() 1 fx axg x x ， 2 22 1111 (), 11 xax Fxfx g xax xax x 5 分 当0a 时， 0Fx，函数 F x在0,上单调递减；7 分 当0a时，令 2 121 1 k xxx aaa ， 4 1, a 当0 时，即04a， 0k x ，此时 0Fx，函数 F x在0,上单调递增; 当0 时，即4a，方程 2 121 10 xx aaa 有两个不等实根 12 xx， 所以 12 01xx ， 22 12 2424 , 22 aaaaaa xx 此时，函数 F x在 12 0,xx 上单调递增；在 12 ,x x上单调递减.11 分 综上所述，当0
9、a 时， F x的单减区间是0,； 当4a时， F x的单减区间是 22 2424 , 22 aaa aaa ， 单增区间是 22 2424 0, 22 aaaaaa 当04a时， F x单增区间是0,.12 分 22.（）C 的直角坐标方程为 2 22 ()y a xa ，2 分 消t得到4350xy4 分 （）要满足弦3ABa及圆的半径为 a 可知只需圆心（0，a）到直线 l 的距离 1 2 da 即可。由点到直线的距离公式有： 2 2 351 2 ( 3) 4 a a 7 分 整理得： 2 111201000,aa即(1110)(10)0aa解得： 10 10 11 a， 故实数 a 的取值范围为 10 10 11 a10 分 23.解： （）当 a2时，f(x) 13 ,1, 3,11, 31,1. x x xx xx 3 分 由 f(x)的单调性及 f( 4 3 )f(2)5， 得 f(x )5的解集为x|x 4 3 ，或 x25 分 （）由 f(x)a|x3|得 a |1| , |1|3 | x xx 7 分 由|x1|x3|2|x1| 得 |1| |1|3 | x xx 1 2 ，得 a 1 2 故 a 的最小值为 1 2 10 分
