1、数学模型课程设计 研究生录取问题学院： 班级： 姓名： 完成日期：20xx年 xx月 xx日研究生录取问题 摘要根据素质教育和培养高素质合格人才的要求，目前各高校在研究生录取过程中加大了复试的作用。而如何保证录取工作的科学、公正、有效显得尤为重要。本文就研究生的录取问题，综合考虑笔试成绩和面试成绩，运用定性指标量化法，各项指标归一化原则，加权求和法以及隶属函数法，求出学生的综合成绩，对研究生的录取问题进行了有效的解决。同时给出了一种双向选择使得满意度最大的模型，运用层次分析法、0-1规划化法等，综合学生和老师双方的满意度，得出学生与导师之间最佳双向选择方案。在求解问题时结合matlab和exc
2、el处理数据，运算结果。对于问题一，要求在15名研究生中录取10名。首先对复试成绩量化处理，将笔试成绩和面试成绩归一化为百分制，设定合理的权重，进行加权求和，得出各个学生的综合成绩，对综合成绩由高到低排序，取前10名。对于问题二，要求给出使得双方满意度最大的最佳双向选择方案。首先运用层次分析法，对指标进行合理的量化并归一，再进行加权求和，构造学生对导师的满意度矩阵及导师对学生的满意度矩阵。建立最大满意度的0-1规划模型，用matlab进行求解，得出选择方案。关键字:一、问题提出1.1问题背景 根据素质教育和培养高素质合格人才的要求，目前各学校都对硕士研究生的录取方法进行改革，即在录取的过程中改
3、变了以往根据考试成绩定终身的做法，加大了复试的作用。一般是根据初试的成绩，在达到国家和学校分数线的学生中从高分到低分排序，按1:1.5的比例选择进入复试的名单。复试一般采用由专家组面试考核的办法，主要面试考核学生的专业知识面、思维的创造性、灵活的应变能力、文字和口头的表达能力和外语水平等综合素质。专家组一般由多名专家组成，每位专家根据自己看法和偏好对所有参加复试学生的个方面都给出相应的评价，可以认为专家组的面试整体评价是客观的，最后由主管部门综合所有专家的意见和学生的初试成绩等因素确定录取名单。1.2问题重述某学校系计划招收10名计划内研究生，依照有关规定由初试上线的前15名学生参加复试，专家
4、组由8位专家组成。问题一：要求综合考虑学生的初试成绩、复试成绩等因素，帮助主管部门确定10名研究生的录取名单。（所有参加复试学生的初试成绩、各位专家对学生的个方面专长的评分如表（）表（8）所示。）问题二：要求被录取的10名研究生与10名导师之间做双向选择，给出一种10名研究生和导师之间的最佳双向选择方案（并不要求一名导师只带一名研究生），使师生双方的满意度最大。（导师的研究方向、专业学术水平（发表论文数、论文检索数、编（译）著作数、科研项目数），以及对学生的期望要求见表(9)，学生专业发展意愿如表(10)所示）二、基本假设1.假设复试的五个方面对学生综合成绩的作用同等重要。2.假设8位专家的面
5、试评分对学生的复试成绩同等重要。3.假设一个学生只能选择一位导师4.假设评价导师水平的四个因素同等重要5.假设复试的五个方面对导师的期望度作用相同6.假设每个学生对选择导师的满意度影响因素的三个方面的权重相同7.加深所有导师对于学生满意度影响因素三个方面的权重相同三、符号说明 笔试成绩在综合成绩中占的比重r1,r2,r3,r4,r5 复试的五个因素的量化得分W 归一化的笔试成绩R 归一化的复试成绩G 综合成绩i 学生ij 专家j四、模型的建立与求解4.1问题一4.1.1问题一的分析 本题要求综合学生的初试成绩和复试成绩，在15名学生中择优录取10名。考虑到学生的复试成绩是定性指标，首先需要将导
6、师对学生的面试评分进行量化处理。同时，为了保证决策的科学性，必须对初试分和复试评价指标进行归一化处理。再通过加权求和得出每位学生的综合成绩。将综合成绩由高到低排序，取前10名。 4.1.2问题一模型的建立与求解方法一： 模型建立：通过定性指标量化的方法，综合初试复试成绩，对初复试分数归一化为百分制，加权求和，求得综合成绩，将综合成绩由高到低排序，取前10名。数据处理由excel完成。笔试成绩复试成绩灵活性创造性知识面表达力外语学生综合成绩评价层次结构图综合成绩 对复试的定性指标进行量化处理按百分制计算：A95 B85 C75 D60 对复试五个方面加权求和，求出每位专家对每个学生的复试综合评分
7、专家j对学生i的复试综合评分：Rji=1/5（r1ji+r2ji+r3ji+r4ji+r5ji） 求出八个专家对每个学生的平均分，即为学生的复试成绩学生i的复试成绩：Ri=1/8 对笔试成绩，复试成绩归一化为百分制，通过加权求和求出每位学生的综合成绩，将综合成绩由高到低排序，取前10.学生i归一化的笔试成绩：Wi=(wi/500)100学生i的综合成绩为：Gi=Wi+(1-)Ri(i=1,215)模型求解：通过excel处理数据，并排序：（根据实际情况，我们取为0.7）专家1专家2专家3专家4专家5专家6专家7专家8复试成绩笔试成绩综合成绩排名学生1919187899387879189.583
8、.285.091学生2878791918991919189.758284.3252学生3788780878787858584.58182.053学生489808585837887858479.480.784学生5878585838991858185.7578.480.6055学生682808679838589808377.879.366学生9878785878581878785.757678.9257学生8898785858985797984.7576.478.9058学生7858085787880828581.6257778.38759学生12899185878985878787.574.4
9、78.3310学生11808582768185808381.575.477.2311学生10787878808078787978.62575.676.507512学生1585858985878593878771.275.9413学生13808578918083838983.6257275.487514学生14809178877987808383.12571.675.057515取前10名：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5，学生6，学生9，学生8，学生7，学生12.方法二：1. 运用偏大型柯西隶属函数对学生复试成绩的量化专家对每一个学生的五个专长都有一个主观评判等级,我们将评判等级量化成分
10、值，再综合8名专家的评分就可以得到每个学生的量化得分.我们注意到,学生的五项条件都具有一定的模糊性,评价分为A,B,C,D四个等级,即构成模糊集U= u1,u2,u3,u4,不妨设相应的评语集为很好,好,较好,差,对应的数值为5, 4, 3, 2.根据实际情况取偏大型柯西分布隶属函数其中T,U,a,b为待定常数.在实际中，（1）当评价为“很好”时,则隶属度为1,即f(5)= 1;（2）当评价为“较好”时,则隶属度为0. 8,即f(3)= 0. 8;（3）当评价为“很差”时,则认为隶属度为0. 01,即f(1)= 0. 01.由上述隶属度，我们可以得到：故代入隶属函数可以得到：计算得出f(2)=
11、 0.5245,f(4)= 0.9126,则专家对学生各单项指标的评价：A,B,C,D的量化值为(1,0.9126,0.8,0.5245)，化为百分制为（100,91.26，80,52.45）。2.学生复试成绩的求解（1）对复试五个方面加权求和，求出每位专家对每个学生的复试成绩。专家j对学生i的复试评分：Rji=1/5（r1+r2+r3+r4+r5）(2)求出八个专家对每个学生的平均分，即为学生的复试成绩学生i的复试成绩：Ri=1/8（R1i+R8i）（3）进行归一化处理，将得分化为100分制。得到的每个学生的复试成绩如下表所示：专家1专家2专家3专家4专家5专家6专家7专家8复试成绩学生19
12、6.50496.50493.00894.75698.25293.00892.50496.50495.13学生292.50492.50496.50496.50494.75696.50496.50496.50495.2855学生380.74292.50482.99493.00893.00893.00890.25290.75689.534学生494.75682.99490.75691.2689.00880.74293.00890.75689.16学生592.50490.75690.75689.00894.75696.50490.75686.25291.4115学生685.24682.99488.74
13、284.50488.50490.75694.75682.99487.312学生790.75682.99490.75680.74280.74282.99485.24690.75685.62325学生894.25292.50490.75690.75694.75690.75684.50484.50490.3485学生993.00893.00890.75692.50490.75686.75692.50493.00891.5375学生1080.74280.74280.74282.99482.99480.74280.74284.50481.77525学生1182.99490.75685.24678.994
14、86.25290.75682.99489.00885.875学生1294.25296.50490.75693.00894.75691.2693.00893.00893.319学生1382.99490.75680.74296.50482.99489.00888.50494.75688.28225学生1482.99496.50480.74293.00884.50492.50482.99488.50487.71925学生1590.75690.75694.75690.75693.00890.7568093.00890.47453.对每个学生笔试成绩进行归一化处理学生i归一化的笔试成绩：Wi=(wi/5
15、00)100得到的成绩如下表所示：15名学生笔试成绩的归一化处理学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10学生11学生12学生13学生14学生1541641040539739238938538238037837737236035835683.2828179.478.477.87776.47675.675.474.47271.671.24.学生的综合成绩学生i的综合成绩为：Gi=Wi+(1-)Ri (i=1,215)接着按照综合成绩的降序进行排名选出前十名学生。在这里，我们根据实际情况，去=0.7，则求得的综合成绩的排名如下表：笔试成绩复试成绩综合成绩排名学生183.295.
16、1386.7791学生28295.285585.985652学生38189.53483.56023学生479.489.1682.3284学生578.491.411582.303455学生97691.537580.661256学生677.887.31280.65367学生876.490.348580.584558学生1274.493.31980.07579学生77785.6232579.5869810学生1175.485.87578.542511学生1075.681.7752577.4525812学生1571.290.474576.9823513学生137288.2822576.8846814学
17、生1471.687.7192576.4357815研究生的录取名单为：学生1、学生2、学生3、学生4、学生5、学生9、学生6、学生8、学生12、学生7.4.2问题二4.2.1问题二的分析问题二是十名学生和十名导师间的匹配问题，一位导师可以带多名学生，但一名学生只能选择一位导师，求其使得双方满意度达最大的最佳匹配。在问题二中，我们选用问题一第一种方法选出来的10名学生：学生1，学生2，学生3，学生4，学生5，学生6，学生9，学生8，学生7，学生12重新定义为学生1到10.4.2.2问题二模型的建立与求解1.根据导师对学生满意度的层次结构图构造导师对学生的满意度矩阵T=导师对学生的满意度学生专业志
18、愿学生综合成绩对学生期望要求第一志愿第二志愿不对口专业导师对学生满意度的层次结构图（1）.用层次分析法确定第二层对第一层的权重，采用1-9尺度构造成对比较矩阵1-9尺度的含义 尺度135792，4，6,81,1/2，,1/9含义同样重要稍微重要明显重要强烈重要极端重要上述两相邻判断的中间值为上述判断的相反数设第二层对第一层的成对比较阵为B=用matlab求得B的特征值为3.0092和特征向量，则其归一化的特征向量为B1=1,2,3=0.5396,0.2969,0.1634一致性检验： CI=0.0046，RI=0.58，CR=CI/RI0.1,通过一致性检验，则可将其归一化的特征向量作为权向量
19、。（2）.确定每位学生专业志愿与导师专业方向的契合度hhik导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10000.60.60.40.40.400学生20.40.40.4000.60.60.600学生30.60.60.60.40.400000学生4000000.40.40.40.60.6学生50000.40.40.60.60.600学生6000000.60.60.60.40.4学生70.60.60.6000.40.40.400学生80000.60.60000.40.4学生90.40.40.4000000.60.6学生10000000.60.60.60.40.4导师k的专业
20、方向是学生i不对口专业导师k的专业方向是学生i的第一志愿导师k的专业方向是学生i的第一志愿 hik=（3）.学生的综合成绩比重ggi=Gi/100gi学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10综合成绩比重0.85 0.84 0.82 0.81 0.81 0.79 0.79 0.79 0.78 0.78 （4）.每个学生对应导师的期望要求的符合度e按照问题一的量化方法先将每位导师对学生的期望要求量化导师对学生专长的期望要求序号灵活性创造性专业面表达力外语导师19585858585导师28595958585导师39585957595导师48585958595导师58585858
21、595导师69595957585导师78585859575导师88595859585导师98595957585导师109595858585假设学生i的面试五项项能力的平均得分分别为fi,p(p=1,2,3,4,5)，导师k对学生的五项能力的期望分别为Fkp(p=1,2,3,4,5);假设学生i第p项能力得分fip和导师k对学生的第p项能力期望Fkp的符合度为ekip， 学生i自身能力和导师k的期望的符合度为五种能力符合度的平均值eki ，fi,p灵活性创造性知识面表达力外语学生192.586.259087.591.25学生292.58593.758592.5学生388.7591.2579.37
22、580.62582.5学生487.58581.87580.62585学生59088.7581.2581.2587.5学生68578.7588.758577.5学生79080908083.75学生883.758591.2578.7585学生993.7580.62581.2576.2576.25学生1092.586.2593.758592.5 eki学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10导师10.99 0.99 0.96 0.98 0.97 0.95 0.96 0.96 0.94 0.99 导师20.97 1.00 0.94 0.94 0.95 0.93 0.94 0.95
23、 0.90 0.98 导师30.98 0.99 0.93 0.95 0.95 0.91 0.94 0.95 0.92 0.99 导师40.98 0.99 0.93 0.94 0.95 0.93 0.94 0.95 0.90 0.99 导师50.99 0.99 0.95 0.96 0.97 0.95 0.95 0.96 0.92 0.99 导师60.97 0.99 0.94 0.95 0.95 0.91 0.95 0.95 0.92 0.97 导师70.98 0.98 0.96 0.96 0.96 0.96 0.96 0.96 0.94 0.98 导师80.97 0.98 0.94 0.94 0
24、.95 0.93 0.93 0.94 0.90 0.96 导师90.97 1.00 0.95 0.95 0.96 0.93 0.96 0.97 0.92 0.98 导师100.98 0.99 0.95 0.96 0.96 0.93 0.94 0.94 0.92 0.98 （5）.导师k对学生i的满意度tki=1*hi+2* gi+3* eki得到导师对学生的满意度矩阵tki学生1学生2学生3学生4学生5学生6学生7学生8学生9学生10导师10.41 0.63 0.72 0.40 0.40 0.39 0.72 0.39 0.60 0.39 导师20.41 0.63 0.72 0.39 0.40
25、0.39 0.71 0.39 0.59 0.39 导师30.41 0.63 0.72 0.40 0.40 0.38 0.71 0.39 0.60 0.39 导师40.74 0.41 0.61 0.39 0.61 0.39 0.39 0.71 0.38 0.39 导师50.74 0.41 0.61 0.40 0.61 0.39 0.39 0.72 0.38 0.39 导师60.63 0.73 0.40 0.61 0.72 0.71 0.61 0.39 0.38 0.71 导师70.63 0.73 0.40 0.61 0.72 0.72 0.61 0.39 0.39 0.72 导师80.63 0.
26、73 0.40 0.61 0.72 0.71 0.60 0.39 0.38 0.71 导师90.41 0.41 0.40 0.72 0.40 0.60 0.39 0.61 0.71 0.61 导师100.41 0.41 0.40 0.72 0.40 0.60 0.39 0.60 0.71 0.61 2.根据学生对导师满意度的层次结构图构造学生对导师的满意度矩阵S=(sik)学生对导师的满意度专业发展志愿导师水平导师期望第一志愿第二志愿不对口专业学生对导师满意度的层次结构图发表论文数论文检索数编译著作数科研项目数（1）.采用层次分析法求第二层对第一层的权重取权重为B1=0.5396,0.2969
27、,0.1634 （2）.确定学生专业意愿与老师专业方向的契合度h导师k的专业方向是学生i的第二志愿导师k的专业方向是学生i不对口专业导师k的专业方向是学生i的第一志愿hik=（3）.导师水平首先对导师水平指标归一化处理 导师k发表论文指标=导师k发表论文数/最大发表论文数 导师k论文检索指标=导师k论文检索数/最大论文检索数 导师k编译著作指标=导师k编译著作数/最大编译著作数 导师k科研项目指标=导师k科研项目数/最大科研项目数对四个指标加权求和即为导师k水平指标lk发表论文数指标论文检索指标编(译)著作指标科研项目指标学术水平lk导师10.42 0.89 0.67 0.33 0.58 导师
28、20.89 0.44 0.33 0.17 0.46 导师31.00 1.00 1.00 0.50 0.88 导师40.33 0.22 1.00 0.50 0.51 导师50.47 0.11 0.33 0.17 0.27 导师60.58 0.33 0.00 1.00 0.48 导师70.50 0.22 0.33 0.17 0.31 导师80.28 0.22 0.00 0.17 0.17 导师90.89 0.67 0.67 0.67 0.72 导师100.47 0.56 0.67 0.33 0.51 （4）.确定学生专长与导师期望的符合度eki（5）.学生对导师的满意度sik=1*hik+2*li
29、+3*eki得到学生对老师的满意度矩阵sik导师1导师2导师3导师4导师5导师6导师7导师8导师9导师10学生10.33 0.30 0.42 0.64 0.57 0.52 0.47 0.42 0.37 0.31 学生20.55 0.52 0.64 0.31 0.24 0.63 0.58 0.53 0.38 0.31 学生30.65 0.61 0.74 0.52 0.45 0.30 0.25 0.20 0.37 0.31 学生40.33 0.29 0.42 0.31 0.24 0.51 0.46 0.42 0.69 0.63 学生50.33 0.29 0.42 0.52 0.45 0.62 0.
30、57 0.53 0.37 0.31 学生60.33 0.29 0.41 0.30 0.24 0.61 0.57 0.53 0.58 0.52 学生70.65 0.61 0.74 0.31 0.24 0.51 0.46 0.42 0.37 0.31 学生80.33 0.29 0.42 0.63 0.56 0.30 0.25 0.20 0.59 0.52 学生90.54 0.50 0.63 0.30 0.23 0.29 0.25 0.20 0.69 0.63 学生100.33 0.30 0.42 0.31 0.24 0.62 0.58 0.53 0.59 0.53 3.建立0-1规划模型xik为0
31、-1变量，当xik=1时，表示学生i选择导师k，当xik=0时，表示学生i不选择导师k总体满意度max=s.t. (i=1,10)五、模型的评价与推广5.1 模型的评价（1）在数据的量化与处理上,我们采用相同的量纲，对初试和复试分数进行正规化处理,即统一化为100分制,保证了结果的科学性。（2）5.2 模型的推广此研究生录取双向选择模型基本适用于一般的研究生招生。六、参考文献1姜启源，谢金星，叶俊等.数学模型（第四版）M.北京：高等教育出版社，2011.2王红霞,朱喜林,赵丽平.研究生录取问题的数学建模J.太原理工大学学报,2007,05:467-470.3高亮,徐伟,潘宏亮,杨锐,孟高峰.研究生录取问题的数学模型J.数学的实践与认识,2006,09:15-22.4操保华,陈焰周,郭兰英,高成修.研究生录取问题的双向选择策略J.数学的实践与认识,2005,07:106-114.5林瑞祥.研究生录取建模分析D.南京航空航天大学,2005.七、附录
