1、1 2020 年安庆市高三模拟考试年安庆市高三模拟考试 数学试题（理科）数学试题（理科） 第第 I 卷卷 一、 选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知集合01xxA，065 2 xxxB，则AB = A.1 1 ，B.1 2 ，C.1 3 ，D.1 6 ， 【考查目标【考查目标】考查集合的表示方法和集合交集的运算考查集合的表示方法和集合交集的运算，同时也考查一元一次不等式同时也考查一元一次不等式、 一元二次不等式解集的计算方法一元二次不等式解集的计算方法. 1.A.解析：1xxA，16xxB，所以AB =1
2、1xx.故选 A. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足 3 1 i2z，则下列判断正确的是 A.z的虚部为iB.2z C.2z zD. 2 2z 【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质【考查目标】考查复数的概念、运算及其性质. 2. C.解析：i1 i1 2 i1 2 3 z，其虚部为1，A 错； 22 112z ，B 错； 2) i1)(i1 (zz，C 正确；2i 2) i1 ( 22 z，D 错误.故选 C. 3. 设p： 2 0log1x，q：21 x ，则p是q成立的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，
3、简单的逻辑用语【考查目标】考查对数函数、指数函数的性质，简单的逻辑用语.考查考生的计算能力考查考生的计算能力. 3.A.解析：p：12x，q：0x ，而 120xxx x ，所以p是q成立的充 分不必要条件.故选 A. 4. 函数 1 sin )( 2 x xx xf的大致图象是 2 【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力【考查目标】考查函数的概念、奇偶性，考查考生对函数图像的分析及计算能力. 4.A.解析：函数)(xf的定义域为1xRx，且为偶函数，排除选择支,C D；当 1,x时，( )0f x ，排除 B，故选 A. 5.等比数列 n a的前n项和为 n
4、S.若 2 563 2aaa， 2 15 4 S，则 42 aa A. 2 3 B. 2 5 C.32D.40 【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前【考查目标】考查等比数列的概念、通项公式与前n项和公式等基础知识，考查学项和公式等基础知识，考查学 生的逻辑思维能力和运算求解能力生的逻辑思维能力和运算求解能力. 5.B.解析：设公比为q，则 2 554 2aaa，所以 2 1 4 5 a a q， 2 15 1 )1 ( 4 1 q qa ，解得4 1 a， 2 2 a， 2 1 4 a， 2 5 42 aa，故选 B. 6. 改革开放 40 多年来，城乡居民生活从解决温饱的物质需求为主
5、逐渐转变到更多元化的精 神追求，消费结构明显优化.下图给出了 19832017 年部分年份我国农村居民人均生活 消费支出与恩格尔系数（恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重）统计 图. 对所列年份进行分析，则下列结论错误 的是 3 A. 农村居民人均生活消费支出呈增长趋势 B. 农村居民人均食品支出总额呈增长趋势 C. 2011 年至 2015 年农村居民人均生活消费支出增长最快 D. 2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率大于人均食品支出总额增长比率 【考查目标】考查统计图的应用，考查学生【考查目标】考查统计图的应用，考查学生“读图识图读图识图”的能力和从统计
6、图中提取数的能力和从统计图中提取数 据的能力据的能力. 6. D.解析：从图中可以看出，农村居民人均生活消费支出呈增长趋势，故 A 正确；根据“农 村居民人均食品支出总额=农村居民人均生活消费支出恩格尔系数”， 2122834927368959422016340874869050 67616156525052494243 142.04172.63300.12412.16465.44711048.321669.923144.123891.5 计算可得农村居民人均食品支出总额呈增长趋势，故 B 正确； 71209244159471074139240781564 2011 年至 2015 年农村居民
7、人均生活消费支出增长 4078 元，为最快；故 C 正确；2015 年到 2017 年农村居民人均生活消费支出增长比率为 90507486 =20.892% 7486 ，人均食品支出 总额增长比率为 9050 0.437486 0.42 =23.771% 7486 0.42 ，故 D 错误.选 D. 7.已知矩形ABCD，24ABAD，E，F分别为AB，CD的中点，将四边形AEFD 沿EF折起,使 120AEB，则过A，B，C，D，E，F六点的球的表面积为 A. 5 2 B.5C.10D.20 【考查目标】考查了直棱柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以【考查目标】考查了直棱
8、柱和球的相关概念，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以 及分析问题和解决问题的能力及分析问题和解决问题的能力. 4 7. D 解析：方法一：折起的如图所示，其中 1 O， 2 O分别为正方形AEFD和BCFE的中心, O为过A，B，C，D，E，F六点的球的球心，G为EF中点，则 1 OO， 2 OO分别垂 直于这两个平面，且 12 60OGOOGO ，所以 111 tan3OOOGOGO， 而 1 1 2 2 O AAF，所以 22 11 5OAOOO A，所以球的表面积为 2 420OA. 方法二：易知折叠后图形为三棱柱，将其补形为四棱柱，底面为菱形，且 120AEB， 2HDHFHCGA
9、GEGB，因此球心为GH的中点， 22 =5DODHHO，所以球的表面积为 2 420OA.故应选 D. 8. 已知函数xxf 2 sin2)(，（0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移 m（0m）个单位，所得图象关于 3 x 对称，则实数m的最小值为 A 4 B 3 C 3 4 D 【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单【考查目标】本题考查考生对正弦型三角函数的图像与性质（对称性、周期性、单 调性）的掌握情况调性）的掌握情况.考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解 与转换与转换.
10、考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算 求解能力求解能力. 8.B.解析：12cos)(xxf， 由其最小正周期为， 有1， 所以12cos)(xxf， 将其图象沿x轴向右平移m（0m）个单位，所得图象对应函数为 1)22cos(mxy，其图象关于 3 x 对称，则有1)2 3 2 cos( m， Zkkm,2 3 2 ，Zk k m, 2 3 ，由0m，实数m的最小值为 3 .选 B. 9. 今年（2020 年）是闰年. 如图所示是判断 20003000（包括 2000，但不包括 3000）年中 哪
11、些年份是闰年的程序框图， 那么由框图可知，在 20003000 年中年份是闰年的个数 5 是 A.241 B.242 C.243 D.244 【考查目标【考查目标】本题考查考生对程序框图本题考查考生对程序框图 基本逻辑结构的理解和掌握基本逻辑结构的理解和掌握，考查算法考查算法 的含义和算法思想的含义和算法思想. 9C.解析：根据框图可知，判断是闰年的条件是年份能被 4 整除但不能被 100 整除，或者 能被 400 整除 由2000(1) 43000n，得251n ，所以在 20003000 年中，年份能被 4 整 除个数是 250. 同理可得， 在 20003000 年中， 年份能被 100
12、、 400 整除个数分别是 10 和 3， 所以闰年的个数为250 103243，故应选 C. 10. 已知抛物线 2 :2C ypx（0p ）的焦点为F，准线与x轴交于点K，过点K作圆 2 2 2 24 pp xy 的切线，切点分别为点A，B. 若3AB ，则p的值为 A.1B.3C.2D.3 【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思【考查目标】考查抛物线的标准方程、焦点、准线以及圆有关的概念，考查数形结合的思 维方法和考生对数量关系的分析能力维方法和考生对数量关系的分析能力. 10.C.解析：连接FA，因为F就是圆 2 2 2 24 pp xy 的圆心
13、， 所以FAKA，且 2 p FA . 又KFp，所以30AKF，那么60AKB， 所以AKB是等边三角形，所以 3 2 ABAKp . 又3AB ，所以2p .故应选 C. 11. 棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD 中，QP,分别为BCDC, 11 的中点，现有下列结 6 论： 1 / BDPQ；/PQ平面DDBB 11 ；PQ平面CAB1；四面体PQBD 1 的 体积等于 24 1 .其中正确的是 A. B. C. D. 【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以【考查目标】本题侧重于考查考生对立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系
14、以 及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力及空间几何体的体积的计算，考查考生的空间想象能力和转化能力. 11.C.解析：取AD中点M，连接 1 MD与MQ，则 11 MQ/D C，B 平面 11 MQC D，则PQ 与 1 BD异面，矛盾，故错误； 取CD中点R，易得平面/PQR平面DDBB 11 ，故正确；若正确，则CBPQ 1 ,则 CBQC 11 ，矛盾，故错误；（另解：由结论 1 BD 平面CAB1和知 1 PQBD，不平行 也可判断错误）. 111 11111 (1) 322224 DPQBCPQBP C QB VVV 三棱锥三棱锥三棱锥 ，故 正确 （也可以这样
15、判断：过点B作 1 C Q的垂线，垂足为H， 11 BHC D，因此，BH 平 面 1 D PQ， 5 5 BH ， 1 5 2 C Q ， 11 11 1 1551 33 2 22524 DPQD PQB VSBH 三棱锥 . 或者 QBCPQBCDPQBD VVV 1111 三棱锥三棱锥三棱锥 24 1 2 1 4 1 3 1 3 1 1 1 PDS QBC ）.故选 C. 12. 函数axxxf ln)(恰有两个零点 1 x， 2 x，且 1 x 2 x. 则 1 x所在区间为 7 A. 3 1 0 e ，B. 32 11 ee ，C. 2 11 ee ，D. 1 1 e ， 【考查目标
16、】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求【考查目标】本题考查对数函数的概念与性质，考查考生的逻辑推理能力、运算求 解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想解能力以及综合运用数学知识灵活解决问题的能力，考查数形结合的思想. 12. D.解析：方法一：当0a时不符合题意；当0a时，考查函数xxgln)(与axxh)(图 象易知，)(xg与)(xh图象在区间) 1 , 0(上必有一个交点，则在区间), 1 ( 上有且仅有一个公共 点，当), 1 ( x时，axxxf ln)(， x ax xf 1 )( ，则)(xf在 ) 1 , 0( a 上单调递增，
17、在), 1 ( a 上单调递减，所以 1 1 ln) 1 ()( max aa fxf， 则只需01 1 ln a ， 故 e 1 a， 当) 1 , 0(x 时，xxxf e 1 ln)(，易知0 e 1 1) e 1 ( 2 f，0 e 1 ) 1 (f，可 知），（1 e 1 1 x. 方法二：令( )ln0f xxax， ln 1 ln ln ,01 x x x x a xx x x ， 作出图形如下，可知函数 ln x y x 在(1,e)上单调递增，在(e,+ )单调递减， ln x y x 在(0,1)上单调递减， 由题意可知， lne1 ee a ，而 32 32 32 111
18、 lnlnln 1 eee =3e2e=e 111 e eee 故应选 D. 第第卷卷 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知向量(13)a = ，1ba，a与ba的夹角为 60，则ba. 【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考【考查目标】本题考查平面向量的概念，代数运算以及向量模的基础知识，考查考 生的逻辑思维能力和运算求解能力生的逻辑思维能力和运算求解能力. 8 13.3.解析：由于2a，160cos baabaa，所以1 2 baa，所以3ba. 14. 等差数列 n a中， 111162 32aaaa， n S是其前
19、n项和，则使 n S取最大值的n的值 为. 【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力【考查目标】考查等差数列的概念，考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力. 14.16.解析：方法 1：设公差为d，由 111162 32aaaa得dad30231 1 ，故 015 116 daa，0312 11716 daaa，即0 1617 aa，所以16n时， n S取 得最大值. 方 法 2 ： 设 公 差 为d， 由 111162 32aaaa得dad30231 1 ， 故0d， 且 2 31 15 1 d a ， 又因为n d an d Sn) 2 ( 2 1 2 ， 其对
20、应为二次函数x d ax d y) 2 ( 2 1 2 的 图像开口向下，对称轴为 d a x 1 2 1 16, 2 31 ，故16n时， n S取得最大值. 15. 鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质. 如 图，若点 C 为线段 AB 的三等分点且2ACCB，分别以线段 AB，AC，BC 为直径且 在 AB 同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）. 现等可能地从以 AB 为直径的半圆内任取一点，则该点落在鞋匠刀形内的概率为 _. 【考查目标】本题考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解【考查目标】本题
21、考查几何概型与几何概率的计算，考查学生的逻辑思维能力、运算求解 能力以及分析问题和解决问题的能力能力以及分析问题和解决问题的能力. 15. 4 9 . 解析：设 12 2 ,2ACr BCr，则 12 22ABrr， 21 2rr ，于是阴影部分的面积 为： 21 2 2 2 1 2 21 222 )( rr rrrr ，于是所求概率为 9 4 )3( 4 )( 2 2 )( 2 2 2 2 2 21 21 2 21 21 r r rr rr rr rr P . 9 16. 已知双曲线 22 22 :100 xy Cab ab ，的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，双曲线C的一 条渐近线方程
22、记为 tan(0) 2 yx，直线l:tan 2 yx 与双曲线C在第一 象限交于点P，若 2 OPPF，则双曲线C的离心率为. 【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合【考查目标】本题考查双曲线的定义、标准方程、焦点等相关概念，考查数形结合 的思维方法和考生对数量关系的分析能力的思维方法和考生对数量关系的分析能力. 16.51.解析： 延长 2 F P交直线tan(0) 2 yx 于点M,则由角平分线的性质可 得P为 2 MF的中点， 2 OMOFc，易得( , )M a b，(, ) 22 ac b P 代入双曲线 22 22 :1 xy C ab 有 22
23、 22 ()( ) 22 :1 acb C ab ，解得51 c e a . 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60 分. 17.（本小题满分 12 分） 在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 sin sinsin bcA acBC . （）求角B的大小； （）若ABC的周长等于15，面积等于 15 3 4 ，求a，b，c的值 【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运【考查目标】考查正弦定理
24、、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况，考查考生的运 算求解能力算求解能力. 解析：（）由 sin sinsin bcA acBC ，根据正弦定理得 10 222222 bca bcaacacbac acbc ， 根据余弦定理得 222 1 cos 22 acb B ac ，由 B0，所以 2 3 B . 5 分 （）由 1315 3 sin 244 ABC SacBac ，得15ac . 又15abc， 由（）知 22222 ()15(15)15bacacacb，所以7b ， 化简得8ac.得35ac，或者53ac，. 所以37,5abc，或者57,3abc，. 12 分 18.（本小题满
25、分 12 分） 如图，在四面体ABCD中，E是线段AD的中点， o 90ABDBCD ，ABBD， BCDCEC （）证明：BDEC； （）求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值 【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本 方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关方法，通过空间的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关 系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，通过二面角的概念及 计算考查考生的运算求解能力计算考查考生的运算求解能力. 解析
26、：（）取线段BD的中点F，连接EF、CF. 因为E是线段AD的中点，所以/ /EFAB又ABBD，所以EFBD 因为BCDC，F是BD的中点，所以CFBD 因为EF 平面ECF，CF 平面ECF，EFCFF，所以BD 平面ECF，CE 平面ECF ，所以BD EC 5 分 （）令BCDCECa，则2ABBDa，那么 12 22 EFABa， 12 22 CFBDa，所以 2222 EFCFaEC，所以 EFCF 又EFBD，CFBD， 故可以点F为原点， 射线FC、FD、 11 FE分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示则 2 00 2 Ba ， 2 00 2 Ca ， 2
27、 00 2 Da ， 2 0 0 2 Ea ， 所以 22 0 22 BCaa ， 22 0 22 DCaa ， 22 0 22 ECaa ， 设平面BEC、平面DEC的法向量分别为 111 mxyz ， ， 222 nxyz ， ， 由 0 0 m BC m EC ，得 11 11 22 0 22 22 0 22 axay axaz ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则11 1m ， ，. 由 0 0 ECn DCn ，得 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 22 22 azax ayax ，取 1 1 1 1 1 1 x y z ，则1 1 1n ，. 所以 222 1 1
28、1 1 1 11 cos 1113 m n m n m n ，. 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 .12 分 解法二：令BCDCECa，由已知及（）可得：aEDBE ， 所以BCE，CDE均为棱长为a的正三角形. 取CE中点G，则CEBG ,CEDG ，故BGD为二面角DCEB的平面角，在 BEG中，aDGBG 2 3 ，aBD2，由余弦定理可 得： 3 1 2 cos 222 DGBG BDDGBG BGD, 故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为 1 3 . 19.（本小题满分 12 分） 某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不
29、受影响，小区超 市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民 12 户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图. （I）从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户. 若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3 4)，（单位：kg)的概率是多少？ 若抽取的 5 户中购买量在3 6，（单位：kg)的户数为 2 户，从 5 户中选出 3 户进行生 活情况调查，记 3 户中需求量在3 6，（单位：kg)的户数为，求的分布列和期望； （II） 将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较， 当超出平均购买量不少于 0.5kg 时，
30、则称该居民户称为“迫切需求户”， 若从小区随机抽取 10 户， 且抽到 k 户为“迫切需求户” 的可能性最大，试求 k 的值. 【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和 应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率应用、样本估计总体的思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率 的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力的计算与应用，考查考生应用所学的统计与概率知识分析问题、解决问题的能力. 解析：（I）由题意，事件“从小区超市
31、购买甲类生活物资的居民户中任意选取 1 户，购买量 在)4 , 3”发生的概率为 4 1 p.1 分 记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取 5 户，则至少有两户购买量在 )4 , 3”为A，则 128 47 ) 4 1 1 () 4 1 1 ( 4 1 1 541 5 CAP）（ . 3 分 随机变量所有可能的取值为 0，1，2.则 3 3 3 5 1 0 10 C P C （）, 21 32 3 5 3 1 5 C C P C （）, 12 32 3 5 3 2 10 C C P C （）, 13 012 ）（P 1 105 33 10 所以 336 ( )12 5105 E
32、 7 分 （II）每天对甲类生活物资的需求平均值为 5 . 315. 05 . 520. 05 . 425. 05 . 330. 05 . 210. 05 . 1（kg） 8 分 则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为6 , 4，从小区随机抽取中随机抽取一户为 “迫切需求户”的概率为35. 0p，若从小区随机抽取 10 户，且抽到X户为“迫切需求户”， )35. 0 ,10( BX，若 k 户的可能性最大，则10, 1 , 0,)1 ()( 10 10 kppCkXP kkk ) 1()( ) 1()( kXPkXP kXPkXP ，得 101111 1010 10119 1010 (0
33、.35) (0.65)(0.35)(0.65) (0.35) (0.65)(0.35)(0.65) kkkkkk kkkkkk CC CC ， 解得85. 385. 2 k，由于 * Nk ,故3k. 12 分 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab （0ab）的离心率为 1 2 ，F是E的右焦点，过点F的直 线交E于点 11 ()A xy，和点 22 ()B xy，（ 12 0y y ）当直线AB与x轴垂直时， 3AB （）求椭圆E的方程； （）设直线:2l xa交x轴于点G，过点B作x轴的平行线交直线l于点C求证： 直线AC过线段FG的中点 【考查目标】
34、本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结【考查目标】本题主要考查椭圆的方程、离心率以及直线与椭圆的位置关系，考查数形结 合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何合的数学思想和考生的逻辑思维能力与运算求解能力以及应用解析几何方法解决几何 问题的能力问题的能力. 解析：（）由 1 2 c e a ，得 1 2 ca，所以 22 3 2 baca 因为直线AB经过点F，且 12 0y y ，所以根据对称性，不妨设 12 0yy 14 当直线AB与x轴垂直时， 12 1 2 xxca， 2 12 2 1 3332 1 224 a ybaaay
35、 a ，所以 1 3 2 2 ABya 由 3 3 2 ABa，得2a ，所以 3 3 2 ba，1c 所以椭圆E的方程为 22 1 43 xy 4 分 （）证法一：当直线AB与x轴垂直时， 3 1 2 A ， 3 1 2 B ， 3 4 2 C ， 这时直线AC的方程为 33 3 22 1 24 1 yx ，即 5 2 yx 令0y ，得 5 2 x ，点 5 0 2 ，恰为线段FG的中点 因为1 0F， 当直线AB不与x轴垂直时， 可设其方程为1yk x， 代入 22 1 43 xy ， 整理得 2222 348430kxk xk 所以 2 12 2 8 34 k xx k ， 2 12
36、2 43 34 k x x k 因为 11 A xy， 22 B xy， 2 4Cy， 所以直线AC的方程为 21 11 1 4 yy yxxy x 因为 11 1yk x， 22 1yk x， 所以 21 21 1111 11 55 1 4242 k xxyy xyxk x xx 21 11 1 5 1 42 xx kxx x 21111 1 5 41 2 4 xxxxx k x 15 1212 1 5 4 2 4 xxx x k x 2 2 22 1 43 58 4 2 3434 4 k k kk k x 222 2 1 20434 34 0 434 kkk k xk ，这说明直线AC过点
37、 5 0 2 ， 综上可知直线AC过线段FG的中点 12 分 证法二：连接 AC 交 x 轴于点 M，过点 A 作 l 的垂线于点 D，则 AC/FG/AD 所以, MFAMMGCMBFCGBCCM BCACADACAFGDADMA , AM BCCM AD MFMG ACAC , 1 1 BFCGBC AFGDAD AM BCCM AD MF ACAC AM BC MFAM BCAMBCBC AC CM ADCM MGCM ADCMADAD ACAM 故直线AC过线段FG的中点 21.（本小题满分 12 分） 已知 2 1 ( )ln11 2 f xaxax（Ra）. （）讨论( )f x的
38、单调性； （）当1a 时，对任意的 1 x， 2 0x ，且 21 xx ，都有 21 21 1221 )()( xmx xx xfxxfx ，求实数m的取值范围 【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活【考查目标】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活 运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑 推理能力、运算求解能力和推理论证能力推理能力、运算求解能力和推理论证能力. 解析：（） 2 1 ( )1 axaa fxax xx （0x ）
39、16 （1）当1a 时，( )0fx，( )f x在0 ，上单调递增； （2）当01a时， 1 11 ( ) aa axx aa fx x ， 所以当 1 a x a 时，( )0fx，当0 1 a x a 时，( )0fx， 所以( )f x在0 1 a a ，上单调递增，在 1 a a ，上单调递减； （3）当0a 时，( )0fx，( )f x在0 ，上单调递减. 5 分 （）当1a 时，1ln)( 2 xxxf,不妨设 21 0xx ，则 21 21 1221 )()( xmx xx xfxxfx 等价于)( )()( 12 1 1 2 2 xxm x xf x xf ，考察函数 x
40、xf xg )( )(，得 2 2 2ln )( x xx xg ，令 2 2 2ln )( x xx xh ， 3 ln25 )( x x xh ， 则)e0( 2 5 ，x时，0)( xh，)e ( 2 5 ，x时，0)( xh，所以)(xh在区间)e0( 2 5 ， 上是单调递增函数，在区间)e ( 2 5 ，上是单调递减函数.故 01 e2 1 )e ( )( 5 2 5 gxg，所以)(xg在), 0( 上单调递减. 从而)()( 21 xgxg，即 1 1 2 2 )()( x xf x xf ，故)( )()( 12 2 2 1 1 xxm x xf x xf ， 所以 2 2
41、2 1 1 1 )()( mx x xf mx x xf ，即 2211 )()(mxxgmxxg恒成立， 设mxxgx)()(，则)(x在), 0( 上恒为单调递减函数， 从而0)( )( mxgx恒成立！故01 e2 1 )( )( 5 mmxgx， 故 5 e2 1 1m. 12 分 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 17 一题计分. 22.选修 44：坐标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系 中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为0sin4，
42、直线l的参数方程为 1 2 3 1 2 xt yt ， （t为参数）. （）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （）若直线l与曲线C交于A，B两点，(0 1)M，且MBMA ，求 MBMA 11 的 值 【考查目标】本题考查考生对圆的参数方程、直线的参数方程的掌握与应用和对曲【考查目标】本题考查考生对圆的参数方程、直线的参数方程的掌握与应用和对曲 线的参数方程与普通方程之间的转换公式的应用，考查直线与圆的位置关系，考查线的参数方程与普通方程之间的转换公式的应用，考查直线与圆的位置关系，考查 考生的运算求解能力考生的运算求解能力. 解析：（）由直线l的参数方程消去参数t，得直线l的普通方
43、程为13 xy， 2 分 将xcos，ysin代入0sin4 得， 曲线C的直角坐标方程为04 22 yyx5 分 （）设BA,对应的参数为 21,t t，将 ty tx 2 3 1 2 1 代入04 22 yyx， 033 2 tt，所以3 21 t t，. 3 21 tt7 分 由于直线l过) 1 , 0(M，且MBMA ，所以. 0, 0 21 tt 于是 11 ttMA， 22 ttMB.故 3 31111 21 21 21 t t tt ttMBMA . 10 分 18 23.选修 45：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知0a ，0b ，且. 1 22 ba （）若对于任意的正数a，b，不等式 22 11 12 ba x恒成立，求实数x的取值范 围； （）证明：.
