1、一、杨辉三角形的构造：一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他性质：三、杨辉三角形的其他性质：1.1.递推法递推法2.2.通项公式法通项公式法1.1.对称性对称性2.2.增减性增减性3.3.拆并性拆并性4.4.可和性可和性109 109 杨辉三角形及组合数的性质杨辉三角形及组合数的性质 1.1.杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏弹子游戏)2.2.杨辉三角与纵横图杨辉三角与纵横图 3.3.其他其他 概率与统计简述概率与统计简述 总总 体体样样 本本抽样抽样估计估计推断推断回 归 分 析回 归 分 析相 关 分 析相 关
2、 分 析分布列及期望分布列及期望概率概率计数计数计数问题总述计数问题总述 复杂的计数问题复杂的计数问题简单的计数问题简单的计数问题排列组合型排列组合型计数原理计数原理型型十 大 题 型十 大 题 型两理两数四原则两理两数四原则 十大题型递推法十大题型递推法相邻相邻捆绑法捆绑法错排：错排：二元二元1 1种；三元种；三元2 2种；四元种；四元9 9种种 不邻不邻(相离相离)插空法插空法分组分组 相同元素相同元素0-10-1法法 不同元素不同元素公式法公式法 染色染色递推法递推法 定序定序倍缩法倍缩法(等概率法等概率法)；插空法插空法 两理两数四原则两理两数四原则 十大题型十大题型递推法递推法在与不
3、在在与不在 含与不含含与不含 至多与至少至多与至少 特殊优先直接法特殊优先直接法 正难则反间接法正难则反间接法 分配分配 均匀分配均匀分配 非均匀分配非均匀分配 先分组后分配先分组后分配 !22nnnnCC分分 组组 1.1.相同相同元素的元素的分组：分组：2.2.不同不同元素元素的的非均匀非均匀分组：分组：3.3.不同不同元素元素的的均匀均匀分组：分组：4.4.不同不同元素元素的的混合混合分组：分组：将将2 2n个不同元素均匀的分成个不同元素均匀的分成2 2组组,共有共有 种分法种分法 将将3 3n个不同元素均匀的分成个不同元素均匀的分成3 3组组,共有共有 种种分法分法 !323nnnnn
4、nCCC先均匀后非均匀先均匀后非均匀 参分配参分配 常规法处理常规法处理 分分 配配 1.1.不同不同元素元素的分配：的分配：2.2.相同相同元素的分配元素的分配(分组分组)：先分组后分配先分组后分配 将将n个相同元素个相同元素分成分成 k 组，共有组，共有 种分法种分法 11knC注：注：将将n个相同元素看成是个相同元素看成是n个个“0”0”然后将然后将k-1-1个隔板个隔板“1”1”插入插入n-1-1个空位即可个空位即可 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0所以称为所以称为0101法；法；隔板法；挡板法隔板法；挡板法0101法法 含与不含含与不含：在与不在在与不在：至多与至少至多与
5、至少：特殊优先直接法特殊优先直接法 正难则反间接法正难则反间接法 定定 序序 1.1.倍缩倍缩(等概率等概率)法：法：本质上、是不尽相异元素的全排列本质上、是不尽相异元素的全排列 !nNm已知已知n个元素中，有个元素中，有m1个元素相同，又个元素相同，又有有m2个元素相同个元素相同 不尽相异元素的全排列公式不尽相异元素的全排列公式 则这则这n个元素所有的排列个元素所有的排列数为：数为：12!knNmmm称其为不尽相异元素的全排列称其为不尽相异元素的全排列 又有又有mk个元素相同个元素相同(m1+m2+mkn)含与不含含与不含：在与不在在与不在：至多与至少至多与至少：特殊优先直接法特殊优先直接法
6、 正难则反间接法正难则反间接法 定定 序序 1.1.倍缩倍缩(等概率等概率)法：法：本质上、是不尽相异元素的全排列本质上、是不尽相异元素的全排列 N!nm2.2.逐个逐个插空法：插空法：1n mmNA1111211n mmmn mmNAAAAL相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法 1.1.定义：定义：n元中有元中有m个元素个元素要求要求排在一起的排在一起的排列排列 2.2.解法：解法：先捆可邻成大元先捆可邻成大元 次变个数全排列次变个数全排列 )!1(!mnmN不邻不邻(相离相离)问题插空法问题插空法1.1.定义：定义：n元中有元中有m个元素个元素都不能都不能排在一起的排列排在一起的排列 2.2.解法
7、：解法：先排可邻后插空先排可邻后插空 多元切忌间接法多元切忌间接法 二元可用间接法二元可用间接法 亮灯空位是变式亮灯空位是变式 mmnAmnN1)!(相间问题位置法相间问题位置法 相邻相离综合体相邻相离综合体 一般解法位置法一般解法位置法 错错 排排 1.1.定义：某排列所有元素不在原位置的排列定义：某排列所有元素不在原位置的排列 2.2.解法：解法：背诵法：背诵法：递推法：递推法：a2 21 1；a3 32 2；a4 49 9；a5 54444 参新课课件参新课课件244 244 的内容的内容 条型域染色条型域染色,相邻相邻3 32 2n1 11)1(nnkkt区域不能同色区域不能同色,则共
8、有则共有 种染法种染法如图如图,用用k种颜色染种颜色染n块区域，块区域，给涂圆中给涂圆中n块区域涂色块区域涂色 相邻的区域不同色，则相邻的区域不同色，则 1A2A3AnA1nA4A环环型型域染色域染色 无心环型域无心环型域:公式法：公式法：递推法：递推法：参新课课件附录参新课课件附录3737的内容的内容 )1()1()1(kkhnnn如图，用如图，用k种不同的颜色种不同的颜色给涂圆中给涂圆中n块区域涂色块区域涂色 相邻的区域不同色，则相邻的区域不同色，则 1A2A3AnA1nA4A环环型型域染色域染色 无心环型域无心环型域:公式法：公式法：递推法：递推法：参新课课件附录参新课课件附录3737的
9、内容的内容 )1()1()1(kkhnnn如图，用如图，用k种不同的颜色种不同的颜色有心有心环型域环型域无心无心环型域环型域 先染心先染心其他其他型域型域 ：两理两数四优先：两理两数四优先 传球传球(踢毽子踢毽子)问题问题 注注1 1：该类问题；解法甚多，该类问题；解法甚多，可参新课件附录可参新课件附录3737的内容的内容 注注2 2：该类问题等价于无心环型域的染色问题该类问题等价于无心环型域的染色问题 可转换成：可转换成：k种颜色种颜色n块区域的无心环型块区域的无心环型域的域的染色问题染色问题 k个人进行传球游戏，由甲先传，经过个人进行传球游戏，由甲先传，经过n次次传球后，球仍回到甲手中的传
10、球方法数传球后，球仍回到甲手中的传球方法数 )1()1()1(kkhnnn(1)(1)(1)nnnkCkk 复杂的计数问题复杂的计数问题简单的计数问题简单的计数问题排列组合型排列组合型计数原理计数原理型型十 大 题 型十 大 题 型计数问题与二项式定理计数问题与二项式定理组合数的性质及证法组合数的性质及证法二项式定理二项式定理通项公式通项公式展开式展开式两理两数四原则两理两数四原则 十大题型递推法十大题型递推法通项公式是重点通项公式是重点 前项为前项为1 1赋值法赋值法nnaa110anmnmaaannnbaba)(nba)(nmnmaaamnnmnmaaa)()(nnbanmnmaannnb
11、aba)()3,2(时，背诵之当n二项式定理时当时，背诵之当,43,2nn异底幂异底幂同底幂同底幂特殊幂特殊幂幂的运算性质幂的运算性质二项式定理的展开式二项式定理的展开式 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(前项后项前项后项“”相连相连 展开共有展开共有n1 1三块组成每一项三块组成每一项 前降后升和为前降后升和为nnnnrrnrnnnnnnCCCC110)(注注1 1：注注2 2：小指数小指数(n(n6)6)的的展开式：展开式：(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a4b+6a2b2+4a
12、b3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b51 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 11 11 2 11 2 11 3 3 11 3 3 11 4 6 4 11 4 6 4 1注注3 3：nnnnnnnCCCC2210)1(rrnrnrbaCT1上上下上下后前 CTr 1nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110)(注注2 2：上下前后及某项上下前后及某项 知四有一两头同知四有一两头同(中间差中间差)二项式定理二项式定理通项公式通项公式注注1 1：有关概念：有关概念：系数与二项式系数系数与二项式系数：项与项数：项与项数：类似于
13、学号与同学的关系类似于学号与同学的关系;容斥关系容斥关系rnC称为二项式系数称为二项式系数一、求指定项：一、求指定项：三、整除：三、整除：二、求系数：二、求系数：1.1.要灵活选用展开式与要灵活选用展开式与通项公式通项公式：四、证明等式四、证明等式(不等式不等式)：五、五、近似计算近似计算：2.2.要灵活选用先变形后展开要灵活选用先变形后展开：1.1.求指定项的系数求指定项的系数：2.2.求系数和求系数和(差差)：赋值法、导数法赋值法、导数法 等同于求指定项等同于求指定项 二项式定理的应用二项式定理的应用 欲证欲证A An能被能被x整除整除 然后将然后将 (kxb)n 展开整理成展开整理成 ,
14、先构造：先构造：A An n(kxb)n (kxb)n n x()+()+x0 的形式即可的形式即可 一、杨辉三角形的构造：一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他性质：三、杨辉三角形的其他性质：1.1.递推法递推法2.2.通项公式法通项公式法1.1.对称性对称性2.2.增减性增减性3.3.拆并性拆并性4.4.可和性可和性109 109 杨辉三角形及组合数的性质杨辉三角形及组合数的性质 1.1.杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏弹子游戏)2.2.杨辉三角与纵横图杨辉三角与纵横图 3.3.其他其他 1 1 1 一、杨辉
15、三角形的构造：一、杨辉三角形的构造：1.1.递推法：递推法：1 4 6 4 11 2 1 1 3 3 11 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 每行除两端每行除两端1 1以外的每一个数以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和都等于它肩上的两个数的和2.2.通项公式法通项公式法0 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5
16、C C0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CnC Cr中的上下标，类似于点的坐标中的上下标，类似于点的坐标 nC Cr横看，斜看横看，斜看 如图，在由二项式系数如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，所构成的杨辉三角形中，第第_行中行中从左至右第从左至右第1414个个数与第数与第1515个数的比为个数的比为2323(1)(2004(1)(2004年上海春考）年上海春考）析：析：第第n行从左到右的数分别为行从左到右的数
17、分别为 则则nn2n1n0nC,C,C,C解得解得 n343432CC14n13n!13!(13)!nn23!14!(14)!nn即即23即即1413n二、杨辉三角形与组合数的性质：二、杨辉三角形与组合数的性质：1.1.对称性对称性2.2.增减性增减性3.3.拆并性拆并性4.4.可和性可和性左右对称抛物线左右对称抛物线 左增右减中间大左增右减中间大拆并要连同拆并要连同 上大下上大下1 1 111rnrnrnCCC1rnr1-nr2rr1rrrCCCCC系数求和赋值法系数求和赋值法 方法要熟正负方法要熟正负1 1 nnn3n2n1n0n2CCCCC1-n5n3n1n4n2n0n2CCCCCC2.
18、2.将三角形内的某些数将三角形内的某些数或或“挖去挖去”如何利用杨辉三角形来推断有关性质？如何利用杨辉三角形来推断有关性质？1.1.有横看，纵看，斜看；有横看，纵看，斜看；有连续看，隔行看，有连续看，隔行看，用其他数代换用其他数代换等手段变形后等手段变形后 再观察其性质再观察其性质 有局部看，整体看；有局部看，整体看；立体看立体看 1 5 5 11 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 6 15 6 1 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC 11nC2nC1 nnC 1520101064rnCrnnrnCC对称性对称性114增减性增减性110 01 1C C1 11 1C
19、 C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C C0 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C0
20、 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C C0 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C C0 01 1C C1 11 1C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C C0 05 5C C1 15
21、 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C左右对称抛物线左右对称抛物线 左增右减中间大左增右减中间大 1 5 5 11 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 6 15 6 1 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC 11nC2nC1 nnC 1520101064rnCrnnrnCC对称性对称性114增减性增减性11rnrnrnCCC111拆并性拆并性拆并要连同拆并要连同 上大下上大下1 1 rnrnrnCCC1
22、11拆并性拆并性102018C?C112019C?CC 91020172017CC(2)(2)101120182018CC(3)(3)证明：证明：111rnrnrnCCC法法1 1：用阶乘式展开用阶乘式展开 法法2 2：从从n1 1个不同元素中取出个不同元素中取出r1 1个元素的个元素的 11rnC其中含其中含A A元素的组合数是元素的组合数是 rnC不含不含A A元素的组合数是元素的组合数是 1rnC所以所以 111rnrnrnCCC组合数是组合数是 1 5 5 11 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 6 15 6 1 111 nC21 nC11 rnCrnC1 21 nnC 11nC
23、2nC1 nnC 1520101064rnC114111rnr1-nr2rr1rrrCCCCC拆并性的推广：拆并性的推广：1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 02122232+nnn3n2n1n0n2CCCCC可和性可和性(4)(4)证明：证明：系数求和赋值法系数求和赋值法 方法要熟正负方法要熟正负1 1 nnn3n2n1n0n2CCCCC1-n5n3n1n4n2n0n
24、2CCCCCC01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN证明证明：令令a=b=1,代入代入即得即得nnn3n2n1n0n2CCCCC证明证明：令令a=b=1,代入代入01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN得得即即0123(1 1)(1)nnnnnnnnCCCCC 5n3n1n4n2n0nCCCCCC1-n2可和性：可和性：(5)(5)选修选修2-32-3课本课本P P：35 35 练习练习 1 1 1351111111111CCCC0123nnnnnn012n 1n 1n 1n 1n 1CCCCC=CCCC12解解：原
25、式原式 1021024解解：原式原式 nn 122一、杨辉三角形的构造：一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角形的其他应用：三、杨辉三角形的其他应用：1.1.杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏弹子游戏)杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板 (选修选修2-32-3P P：70)70)高尔顿高尔顿18221911，英国科学家，达尔文的表弟，英国科学家，达尔文的表弟 他是一位医生和人类学家他是一位医生和人类学家一、杨辉三角形的构造：一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉三角
26、形的其他应用：三、杨辉三角形的其他应用：1.1.杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏弹子游戏)2.2.杨辉三角与纵横图杨辉三角与纵横图 A AB B(6)(6)某城市的部分街道如图，纵横各有三条路某城市的部分街道如图，纵横各有三条路 从从A A走到走到B B有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？(只能由左到右，由上向下行走只能由左到右，由上向下行走)析析1 1：将上图顺时针转将上图顺时针转4545度，使度，使A A在正上方，在正上方，B B在正下方在正下方 然后在交叉点标上相应的杨辉三角数然后在交叉点标上相应的杨辉三角数 AB111112336析析2 2：有趣的是有趣的是B B
27、点点所所标标的的杨辉三角数杨辉三角数6 6，正好是答案，正好是答案6 6 析析3 3：可见可见杨辉三角与纵横路线图有着天然的联系杨辉三角与纵横路线图有着天然的联系 如图，纵横各分别为如图，纵横各分别为m、n条路条路 Cmm nA AB B杨辉三角与纵横图杨辉三角与纵横图 从从A A走到走到B B的最短不同路径的最短不同路径 (只能由左到右，由上向下行走只能由左到右，由上向下行走)有有 条条 =!mnm n(7)(7)如图，如图，A A地到地到B B地的道路类似地的道路类似“田字格田字格”则从则从A A走到走到B B的最短路径的条数为的最短路径的条数为析：析：如图，如图，A A36 36 B B
28、48 48 C C70 70 D D5858A AB BC CD D若若C C、D D点之间的直线路径是通畅的点之间的直线路径是通畅的 则则A A到到B B的最短路径是的最短路径是48C70其中经过其中经过C C、D D点的路径有点的路径有14C13C12故满足条件的最短路径的条数是故满足条件的最短路径的条数是N N7070121258 58【D D】17273747A A B B C C D D(8)(8)如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于 一个一个2 22 233 的长方体框架，一个建筑工人的长方体框架，一个建筑工人 欲从欲从A A处沿脚手架攀登至
29、处沿脚手架攀登至B B处，则其处，则其 最近的行走路线中，不连续向上最近的行走路线中，不连续向上 攀登的概率为攀登的概率为【B B】析析1 1：从从A A到到B B的最短路径条数是的最短路径条数是27C25C21033C析析2 2：若只考虑在平面若只考虑在平面(底面底面)上行走上行走24C6356 C6027B B0 0 故不连续向上攀登的路径有故不连续向上攀登的路径有则从点则从点A A到点到点B B0 0的最短路径条数是的最短路径条数是析析3 3：故所求概率为故所求概率为60210一、杨辉三角形的构造：一、杨辉三角形的构造：二、杨辉三角形与组合数的性质：二、杨辉三角形与组合数的性质：三、杨辉
30、三角形的其他应用：三、杨辉三角形的其他应用：1.1.杨辉三角与高尔顿钉板杨辉三角与高尔顿钉板(弹子游戏弹子游戏)2.2.杨辉三角与纵横图杨辉三角与纵横图 3.3.其他其他 详细内容、参新课课件详细内容、参新课课件 附录附录38 38 针对训练：针对训练：1.1.精炼精炼案案P P：84 84 Ex13 Ex13 2.2.精炼精炼案案P P：84 84 Ex16Ex163.(20163.(2016年全国年全国II)II)如图，小明从街道的如图，小明从街道的E E处出发处出发 先到先到F F处与小红会合，再一起到位于处与小红会合，再一起到位于G G处的老年处的老年 公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以 选择的最短路径条数为选择的最短路径条数为A A24 B24 B18 18 C C12 D12 D9 9预习：预习：抽抽 样样总体总体 样本样本
