1、一、使用的前提：一、使用的前提：二、配凑技巧：二、配凑技巧：三、三元不等式的最值：三、三元不等式的最值：四、幂均值不等式：四、幂均值不等式：附录附录24 24 均值不等式求最值均值不等式求最值五、对数均值不等式：五、对数均值不等式：(1)(2004年全国)若a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2 则ab+bc+ca的最小值为A.B.C.D.故213 321213 213 解：？没有答案21222baab1222cbbc1222caca因25cabcab错误错误1 1：解答过程中的：解答过程中的“=”=”，没有可加性，没有可加性错误错误2 2：最值定理：最值定理“正常等正常等”，缺一不，
2、缺一不可可三元问题，三个方程三元问题，三个方程一、使用的前提：一、使用的前提：一般的，变量 正常等(1)若a2+b2=1,b2+c2=2,c2+a2=2,则ab+bc+ca的最小值为A.B.C.D.故当 最小时有最小值213 321213 213 正解：b2+c2=2a2+b2=1c2+a2=2212a212b232c2)()(2222cbacbacabcab452)(2cba2)(cba显然当c为负，a,b为正或c为正，a,b为负时【B】2)(cba最小因故而(2)已知a0,b0,a+b=1,则 的最小值为_bbaa11故而错误错误1 1：解答过程中的：解答过程中的“=”=”，没有可加性，没
3、有可加性错误错误2 2：最值定理：最值定理“正常等正常等”，缺一不，缺一不可可析析2 2：等价于求等价于求 的最小值呢的最小值呢21aa因a0,b0.21bb411bbaaba11大作：消元法、嵌积法或柯西不等式法大作：消元法、嵌积法或柯西不等式法小作：抓小作：抓“等等”字：字：【5】析析1 1：(3)(2005年重庆)若x，y是正数，则22)21()21(xyyx2729的最小值是A3 B C4 DA3 B C4 D【C】小作抓小作抓“等等”字字大作大作“正常等正常等”yxyx24)21(2xyxy24)21(2xyyxxyyx22)21()21(224yx21xy21yx 22 yx练习练
4、习2.2.均值不等式的配凑技巧：均值不等式的配凑技巧：连用三次三个等号，解：因x，y是正数，故即当且仅当即时，等号成立.0ab211aaba ab(4)(2010年四川)设,则的最小值是当且仅当即时，等号成立【D】（A）1 （B）2 （C）3 （D）4211aaba ab)()(2baabbbaa)(12baba224aa 422,2ab2)(2abab法法1 1：0ab211aaba ab211()aabababa ab11()2+2=4()aba ababa ab1,()1.aba ab22,2ab(4)(2010年四川)设,则的最小值是当且仅当即时，等号成立.（A）1 （B）2 （C）3
5、 （D）4211aab a a b法法2 2：11()2+2=4()aba ababa ab(5).求函数 的最小值)20(xxxxfsin22sin)(析：因xxxfsin22sin)(xxsin22sin22当且仅当 时等号成立xxsin22sin即当 时等号成立2sinx孟子孟子梁惠王梁惠王：挟泰山以超北海，语人曰：我不能挟泰山以超北海，语人曰：我不能,是诚不能也；是诚不能也；为长者折枝为长者折枝,语人曰：我不能，是不为也，非不能也。语人曰：我不能，是不为也，非不能也。最值定理：最值定理：正常等三条件缺一不可正常等三条件缺一不可是不为也，非不能也是不为也，非不能也(5).求函数 的最小值
6、)20(xxxxfsin22sin)(析：因xxxxfsin23sin212sin)(当且仅当即当 时等号成立1sinxxsin231xxsin212sin25sin231x当 时1sinx综上25)(xf(6)已知a0，b0,且ab1,求 的最小值)1)(1(bbaay小作抓小作抓“等等”字：字：21ba425miny大作大作“正常等正常等”:缺一不可缺一不可误解误解1 1：“等等”不成不成立立因因21aa4)1)(1(bbaa21,bb,故故1,1aaa1,1bbb且且错误错误1 1：此题中的：此题中的“=”=”，没有可乘，没有可乘性性错误错误2 2：最值定理：最值定理“正常等正常等”，缺
7、一不，缺一不可可因因21,bb)()1(baababab4y)1)(1(bbaay21abab2baab11babaab(6)已知a0，b0,且ab1,求 的最小值)1)(1(bbaay误解误解2 2：因因故故又因又因，422)()1(baababab,即即“等等”不成不成立立错误错误1 1：此题中的：此题中的“=”=”，没有可加，没有可加性性错误错误2 2：最值定理：最值定理“正常等正常等”，缺一不，缺一不可可)()1(baababab4y)1)(1(bbaay11babaab2)1(abab2)1(abab 4(6)已知a0，b0,且ab1,求 的最小值)1)(1(bbaay误解误解3 3
8、：因因故故“等等”不成不成立立错误错误1 1：此题中的：此题中的“=”=”，没有可加，没有可加性性错误错误2 2：最值定理：最值定理“正常等正常等”，缺一不，缺一不可可)()1(baababab)1)(1(bbaay114baabba2)1(abab2)1(abab 425(6)已知a0，b0,且ab1,求 的最小值)1)(1(bbaay正解：正解：因因2)314(ababab223142baabab当且仅当即时，等号成立.21 ba(6)已知a0，b0,且ab1,求 的最小值)1)(1(bbaay另法：另法：也可利用：也可利用：a+b=1,先消元22340 xxyyz xyz212xyz94
9、则当取得最大值时,(8)(2013年山东)设正实数x,y,z满足的最大值为A0 B1 C D3243yxyxxyzxy243yxyxzyy212解：由题意得,故341xyyx1341当且仅当即时等号成立xyyx4yx2将 代入yx2243yxyxz得22yz 故212xyz1)11(12y)1(y【B】练习练习3.3.三元不等式的最值三元不等式的最值(9)(2013年湖南)已知222,236,49a b cabcabc则的最小值为【12】222,236,49a b cabcabc则的最小值为222,236,49a b cabcabc则的最小值为R+_ 小作抓小作抓“等等”字：字：232cba大
10、作大作“正常等正常等”:3)3()2(222cba调和平均值几何平均值算数平均值幂幂平均值三元的幂平均值的结构是？3)3()2(333cba3 3实际上两个均可幂平均不等式幂平均不等式，即所谓的：1111()()nniiiixxnn则，0,00ix 若 ,且nxxxxn321nxxxxn321幂平均不等式幂平均不等式 nxxxxn321nxxxxn3211 1（）(9)(2013年湖南)已知222,236,49a b cabcabc则的最小值为222,236,49a b cabcabc则的最小值为222,236,49a b cabcabc则的最小值为R+_ 大作大作“正常等正常等”:3)3()
11、2(332222cbacba因且632cba故43)3()2(222cba即12222,236,49a b cabcabc则的最小值为一、使用的前提：一、使用的前提：二、配凑技巧：二、配凑技巧：三、三元不等式的最值：三、三元不等式的最值：四、幂均值不等式：四、幂均值不等式：附录附录24 24 均值不等式求最值均值不等式求最值五、对数均值不等式：五、对数均值不等式：0ab若 lnl2nabaababb，则 附加作业：附加作业：2.求函数 的最小值 21(1)2(1)yxxx3.求函数 的最大值 2sincos(0)2yxxxRyxa,yxayx221.若 ，且 恒成立 则 a 的最小值是A.B.C.2 D.1 2
