1、 专题专题 1 17 7 二次函数的二次函数的面积面积问题问题 【考点【考点 1】二次函数二次函数的线段最值问题的线段最值问题 【例【例 1 1】如图，抛物线如图，抛物线 yax2+bx+c 经过经过 A（1，0） 、） 、B（4，0） 、） 、C（0，3）三点，）三点，D 为直线为直线 BC 上方抛上方抛 物线上一动点，物线上一动点，DEBC 于点于点 E （1）求抛物线的函数表达式；）求抛物线的函数表达式； （2）求线段）求线段 DE 长度的最大值长度的最大值 【答案】【答案】 （1）y 3 4 x2+ 9 4 x+3； （2）最大值是12 5 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据待定系
2、数法，可得函数解析式； （2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据相似三角形的 判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案 【详解】 解： （1）由题意得， 0 1640 3 abc abc c ， 解得， 3 4 9 4 3 a b c ， 抛物线的函数表达式为 y 3 4 x2+ 9 4 x+3； （2）过点 D 作 DMx 轴交 BC 于 M 点， 由勾股定理得，BC 22 OCOB 5， 设直线 BC 的解析是为 ykx+b， 则 40 3 kb b ， 解得 3 4 3 k b ， 直线 BC 的解析是为 y 3 4 x+
3、3， 设点 M 的坐标为（a， 3 4 a+3） ， DM（ 3 4 a2+ 9 4 a+3）（ 3 4 a+3） 3 4 a2+3a， DMEOCB，DEMBOC， DEMBOC， DEBO DMBC ，即 DE DM 4 5 ， 解得，DE 4 5 DM DE 3 5 a2+ 12 5 a 3 5 （a2）2+ 12 5 ， 当 a2 时，DE 取最大值，最大值是 12 5 【点睛】 本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次函数解析式、 一次函数解析式的一般步骤是解题的关键 【变式【变式 1 1- -1 1】已知抛已知抛物线物线 y=mx2+2mx
4、+m-1 和直线和直线 y=mx+m-1，且，且 m0 （1）求抛物线的顶点坐标；）求抛物线的顶点坐标； （2）试说明抛物线与直线有两个交点；）试说明抛物线与直线有两个交点； （3）已知点）已知点 T（t，0） ，且） ，且-1t1，过点，过点 T 作作 x 轴的垂线，与抛物线交于点轴的垂线，与抛物线交于点 P，与直线交于点，与直线交于点 Q，当，当 0m3 时，求线段时，求线段 PQ 长的最大值长的最大值 【答案】【答案】 （1） （-1，-1） ； （2）见解析； （3）PQ 的最大值为 6. 【解析】【解析】 【分析】 （1）化为顶点式即可求顶点坐标; （2）由 y=mx2+2mx+m-
5、1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）=0，即可知抛 物线与直线有两个交点; （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1） ， 点 Q 的坐标为（t，mt+m-1） 故分两种情况进行讨论：如图 1，当-1t0 时；如图 2，当 0t1 时， 求出对应的最大值即可 【详解】 解： （1）y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1， 抛物线的顶点坐标为（-1，-1） （2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1
6、， mx2+mx=0，mx（x+1）=0， m0， x1=0，x2=-1 抛物线与直线有两个交点 （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点， 点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1） ，点 Q 的坐标为（t，mt+m-1） 如图 1，当-1t0 时，PQ= 2 QP yymtmt= 2 11 () 24 m tm m0， 当 1 2 t 时，PQ 有最大值，且最大值为 1 4 m 0m3， 1 4 m 3 4 ，即 PQ 的最大值为 3 4 如图 2，当 0t1 时，PQ= 2 PQ yymtmt= 2 11 () 24 m tm m0， 当 t=1 时，P
7、Q 有最大值，且最大值为 2m 0m3， 02m6，即 PQ 的最大值为 6 综上所述，PQ 的最大值为 6 【点睛】 此题主要考查二次函数的应用， （1） （2）题相对简单， （3）题要分情况进行讨论方右解答，因此做此类题 型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答 【变式【变式 1 1- -2 2】如图如图 1，已知抛物线，已知抛物线 y=x2+mx+m2 的顶点为的顶点为 A，且经过点，且经过点 B（3，3） ） （1）求顶点）求顶点 A 的坐标的坐标 （2）若）若 P 是抛物线上且位于直线是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求上方的一个动点，求 OPB 的面积的最大
8、值及比时点的面积的最大值及比时点 P 的坐标；的坐标； （3）如图）如图 2，将原抛物线沿射线，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交于交于 C，D 两点，两点， 请问：在抛物线平移的过程中，线段请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理，请说明理 由由 【答案】【答案】 （1） （1，1） ； （2）P（ ， ） ； （3）. 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐
9、标； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点 Q 的坐标，根据三角形的面 积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得 P 点坐标； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 OA 的解析式，可得 C、D 点的横坐标，根据勾股 定理，可得答案 【详解】 解： （1）把 B（3，3）代入 y=x2+mx+m2得：3=32+3m+m2， 解得 m=2， y=x2+2x=（x+1）2+1， 顶点 A 的坐标是（1，1） ； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q. 直线 OB 的解析式为 y=x， 故设 P（n，n2+2n）
10、，Q（n，n） ， PQ=n2+2n（n）=n2+3n， S OPB=（n2+3n）=（n）+， 当 n=时，S OPB的最大值为 此时 y=n2+2n=， P（，） ； （3）直线 OA 的解析式为 y=x， 可设新的抛物线解析式为 y=（xa）2+a， 联立， （xa）2+a=x， x1=a，x2=a1， 即 C、D 两点间的横坐标的差为 1， CD= 【点睛】 本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积公式，利用二次函数求最值，勾股定理二次函数与一 次函数的交点问题，难度适中，是常见题型. 【考点【考点 2】二次函数二次函数的面积定值的面积定值问题问题 【例【例 2 2】已知二次函数
11、已知二次函数 2 248yxmxm （1）图象经过点）图象经过点1,1（ ）时，则时，则m_； （2）当）当2x时，函数值时，函数值 y 随随 x 的增大而减小，求的增大而减小，求 m 的取值范围；的取值范围； （3）以抛物线）以抛物线 2 248yxmxm的顶点的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N 两点两点 在抛物线上） ，请问：在抛物线上） ，请问：AMN的面积是与的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 【答案】【答案】 （1）4； （2）m2；
12、（3）AMN的面积是与 m 无关的定值，S AMN3 3. 【解析】【解析】 【分析】 （1）将点1,1（ ）代入二次函数解析式即可求出 m； （2）求出二次函数的对称轴为 xm，由抛物线的开口向上，在对称轴的左边 y 随 x 的增大而减小，可求 出 m 的取值范围； （3）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，可得到 AMN 的面积是 与 m 无关的定值 【详解】 解： （1）将点1,1（ ）代入 2 248yxmxm可得：1 1 248mm ， 解得：m=4； （2）二次函数 2 248yxmxm的对称轴是：xm， 当 x2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小
13、， m2； （3）AMN的面积是与 m 无关的定值； 如图：顶点 A 的坐标为（m，m24m8） ， AMN 是抛物线的内接正三角形，MN 交对称轴于点 B， tanAMBtan60 3 AB BM =， AB3BM3BN， 设 BMBNa，则 AB3a， 点 M 的坐标为（ma，3am24m8） ， 点 M 在抛物线上， 3am 24m8（ma）22m（ma）4m8， 整理得： 2 30aa-= ， 解得：a3或 a0（舍去） ， AMN 是边长为2 3的正三角形， AB=3，S AMN 1 2 3 33 3 2 ，与 m 无关. 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、
14、等边三角形的性质以及特殊角三角函数的应用， 其中（3）问有一定难度，根据点 M 在抛物线上，求出正三角形的边长是解题关键 【变式【变式 2 2- -1 1】如图， 已知抛物线交如图， 已知抛物线交 x 轴于轴于 A、 B 两点， 交两点， 交 y 轴于轴于 C 点，点， A 点坐标为 （点坐标为 （1， 0） ，） ， OC=2， OB=3， 点点 D 为抛物线的顶点为抛物线的顶点 （1）求抛物线的解析式；）求抛物线的解析式； （2）P 为坐标平面内一点，以为坐标平面内一点，以 B、C、D、P 为顶点的四边形是平行四边形，求为顶点的四边形是平行四边形，求 P 点坐标；点坐标； （3）若抛物线上
15、有且仅有三个点）若抛物线上有且仅有三个点 M1、M2、M3使得使得 M1BC、 M2BC、 M3BC 的面积均为定值的面积均为定值 S，求出，求出 定值定值 S 及及 M1、M2、M3这三个点的坐标这三个点的坐标 【答案】【答案】 （1）y= 2 3 x2+ 4 3 x+2；(2)见解析； （3）见解析. 【解析【解析】 【详解】 分析： （1）由 OC 与 OB 的长，确定出 B 与 C 的坐标，再由 A 坐标，利用待定系数法确定出抛物线解析式 即可； （2）分三种情况讨论：当四边形 CBPD 是平行四边形；当四边形 BCPD 是平行四边形；四边形 BDCP 是平 行四边形时，利用平移规律确
16、定出 P 坐标即可； （3）由 B 与 C 坐标确定出直线 BC 解析式，求出与直线 BC 平行且与抛物线只有一个交点时交点坐标，确 定出交点与直线 BC 解析式，进而确定出另一条与直线 BC 平行且与 BC 距离相等的直线解析式，确定出所 求 M 坐标，且求出定值 S 的值即可 详解： （1）由 OC=2，OB=3，得到 B（3，0） ，C（0，2） ， 设抛物线解析式为 y=a（x+1） （x3） ， 把 C（0，2）代入得：2=3a，即 a= 2 3 ， 则抛物线解析式为 y= 2 3 （x+1） （x3）= 2 3 x2+ 4 3 x+2； （2）抛物线 y= 2 3 （x+1） （x
17、3）= 2 3 x2+ 4 3 x+2= 2 3 （x1）2+ 8 3 ， D（1， 8 3 ） ， 当四边形 CBPD 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C（0，2） ，得到 P（4， 2 3 ） ； 当四边形 CDBP 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C（0，2） ，得到 P（2， 2 3 ） ； 当四边形 BCPD 是平行四边形时，由 B（3，0） ，C（0，2） ，得到 P（2， 14 3 ） ； （3）设直线 BC 解析式为 y=kx+b， 把 B（3，0） ，C（0，2）代入得： 30 2 kb b ， 解得： 2 3 2 k b ， y= 2 3 x+2， 设与直线 BC
18、平行的解析式为 y= 2 3 x+b， 联立得： 2 2 3 24 2 33 yxb yxx ， 消去 y 得：2x26x+3b6=0， 当直线与抛物线只有一个公共点时， =368（3b6）=0， 解得：b= 7 2 ，即 y= 2 3 x+ 7 2 ， 此时交点 M1坐标为（ 3 2 ， 5 2 ） ； 可得出两平行线间的距离为 9 13 26 ， 同理可得另一条与 BC 平行且平行线间的距离为 9 13 26 的直线方程为 y= 2 3 x+ 1 2 ， 联立解得：M2（ 33 2 2 ， 1 2 2 ） ，M3（ 3+3 2 2 ， 1 2 2 ） ， 此时 S=1 点睛：此题属于二次函
19、数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，利用了分 类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 【变式【变式 2 2- -2 2】如图：已知抛物线如图：已知抛物线 1 3(0) 2 yxmxmm m 与与x轴交于轴交于 A、B 两点（点两点（点 A 在点在点 B 左侧） ，与左侧） ，与y交于点交于点 C，抛物线对称轴与，抛物线对称轴与x轴交于点轴交于点 D， 9 3 ,0 2 E 为为x轴上一点轴上一点 （1）写出点）写出点 A、B、C 的坐标（用的坐标（用m表示） ；表示） ； （2）若以）若以 DE 为直径的圆经过点为直径的圆经过点 C 且与抛物线交于另一点且与
20、抛物线交于另一点 F， 求抛物线解析式；求抛物线解析式； P 为线段为线段 DE 上一动（不与上一动（不与 D、E 重合） ，过重合） ，过 P 作作PQEC作作PHDF，判断，判断 PQPH DCEF 是否为定值，是否为定值， 若是若是，请求出定值，若，请求出定值，若不是，请说明理由；不是，请说明理由； （3）如图）如图，将线段，将线段AB绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转 30 ，与，与y相交于点相交于点M，连接，连接BM.点点S是线段是线段AM的中的中点，点， 连接连接OS.若点若点N是线段是线段BM上一个动点，连接上一个动点，连接SN，将，将 SMN绕点绕点S逆时针旋转逆时针旋转60得到得
21、到 SOT，延长，延长 TO交交BM于点于点K若若 KTN的面积等于的面积等于 ABM的面积的的面积的 1 12 ，求线段，求线段MN的长的长 【答案】【答案】 （1）A(-3m，0)，B(m，0)，C(0， 3 2 m) （2） 2 3 3 3 12 yxx ， +1 PQPH DCEF ，理由见解析； （3）线段MN的长为 2 或2 5 【解析】【解析】 （1）A（-3m，0） ，B（m，0） ，C（0， 3 2 m） （2） DCE 为直角三角形 OC2=OD OE，m=2 3， 2 3 3 3 12 yxx DE 为直径，DCE=DFE=90 ，PQEC，PHDF，PQDC，PHEF
22、PQPE DCDE ， PHDP EFDE ，+1 PQPHPEDPDE DCEFDEDE （3）A（6 3 ，0） ，B（2 3，0） ，又OAM=60 ，cos30 = OM OA ，OM=6，M（0，6） 又 tanABM= OM OB = 3，OBM=60 ，AMB=90 ， S是线段AM的中点，OSM=60 ，AOS=30 ，又SOT=90 ，AOT=60 ， 直线 TK：y=- 3x；BM：y=3x-6，联立两个方程，解得：K（3，-3） 设 MN=a，TK=TO+OK=a+2 3，KTN 的高 h=TK sin60 = 3 3 2 a NK=2 3a，S KTN= 1 12 S
23、ABM 1 2 3 2 NK h， 13 2 332 3 22 aa（） a=2 或 a=2 5 点睛：本题考查二次函数综合题、旋转变换、解直角三角形等知识，平行线的性质，解题的关键是学会转 化，属于中考压轴题 【考点【考点 3】二次函数二次函数的面积最值的面积最值问题问题 【例【例 3 3】已知抛物线已知抛物线 22 yxxmm （1）求证：抛物线与）求证：抛物线与x轴必定有公共点；轴必定有公共点； （2）若）若 P（a，y1） ，） ，Q（2，y2）是）是抛物线上的两点，且抛物线上的两点，且 y1y2，求，求a的取值范围；的取值范围； （3）设抛物线与）设抛物线与 x 轴交于点轴交于点 1
24、,0 A x、 2,0 B x，点，点 A 在点在点 B 的左侧，与的左侧，与 y 轴负半轴交于点轴负半轴交于点 C，且，且 12 3xx， 若点， 若点 D 是直线是直线 BC 下方抛物线上一点， 连接下方抛物线上一点， 连接 AD 交交 BC 于点于点 E， 记， 记 ACE 的面积为的面积为 S1， DCE 的面积为的面积为 S2，求，求 2 1 S S 是否有最值？若有，是否有最值？若有，求出该最值；若没有求出该最值；若没有，请说明理由，请说明理由 【答案】【答案】 （1）见解析； （2）2a或3a ， （3） 2 1 S S 没有最小值； 2 1 S S 有最大值是 1 3 【解析】
25、【解析】 分析： （1）本题需先根据判别式解出无论 m 为任何实数都大于零，再判断出物线与 x 轴总有交点 （2）分两种情况：当点 P 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，得2a ；当点 P 在对称轴的右侧时， y随x的增大而增大， 3a ，故得解. 详解： （1）令0y 得 22 0xxmm 22 4441bacmm 2 21m 无论m取何值， 2 210m 抛物线与x轴必定有公共点 （2） 22 yxxmm，抛物线的对称轴是 1 2 x 当点 P 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， y1y2， 2a 当点 P 在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大， Q（2，y2）关于对称轴的对称点是
26、（3，y2） y1y2， 3a 综上所述：2a或3a （3） 1 1xm ， 2 xm 12 3xx 、 13mm ，解得1m或2m 2 2yxx 1,0A 、2,0B，0, 2C 直线 BC 的解析式是 2yx 设点 A 到直线 BC 的距离是 1 h，点 D 到直线 BC 的距离是 2 h， ACE 的面积 S1 1 1 2 CEh， DCE 的面积 S2 2 1 2 CEh 1 3 2 2 h ， 222 11 2 3 Shh Sh 求 2 1 S S 的最值转化为求 2 h的最值 设过点 D 与直线 BC 平行的直线解析式为yxb 当点 D 在直线 BC 下方的抛物线上运动时， 2 h
27、无最小值， 仅当直线yxb与抛物线 2 2yxx只有一 个公共点时， 2 h有最大值 即方程组 2 2yxx yxb 有两个相等的实数根 2 220xxb， 4 8 40b ， 3b，此时 2 2 2 h 2 1 S S 没有最小值； 2 1 S S 有最大值是 1 3 1,0A 、2,0B 点睛：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意找出各点的坐标问题，再把各点代入解析式 是解题的关键 【变式【变式 3 3- -1 1】如图， 直线如图， 直线 3 3 4 x y 与与x轴交轴交于点于点C， 与， 与y轴交于点轴交于点B， 抛物线， 抛物线 2 3 4 yaxxc经过经过B、 C两
28、点两点. 求点求点C的坐标；的坐标； 求抛物线的解析式；求抛物线的解析式； 如图，点如图，点E是直线是直线BC上方抛物线上的一动点，当上方抛物线上的一动点，当BEC面积最大时，请求出点面积最大时，请求出点E的坐标和的坐标和BEC面积面积 的最大值的最大值. 【答案】【答案】4,0C； 2 33 3 84 yxx ；点E的坐标是2,3时，BEC的面积最大，最大面积是 3. 【解析】【解析】 【分析】 利用利用 x 轴上点的坐标特点代入一次函数即可. 根据抛物线 2 3 4 yaxxc经过B、C两点，先求出 B 点坐标，再用待定系数法求解析式即可. 根据“铅垂高，水平宽”方法求面积.过点E作y轴的
29、平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F， 利用 E、M 横坐标相等及所在函数关系式设出坐标，求出 EM 的长，再利用 BECBEMMEC SSS ，把 EM 看作 BEM 和 MEC 的底，求出面积写出关系式，最后利用二次函数求最值即可. 【详解】 解：直线 3 3 4 x y 与x轴交于点C， 当 y=0 时，解得 x=4 C 点坐标为：4,0 直线 3 3 4 yx 与x轴交于点C，与y轴交于点B， 当 x=0 时，解得 y=3 点B的坐标是 0,3，点C的坐标是4,0， 抛物线 2 3 4 yaxxc经过B、C两点， 3 1640 4 3 ac c 解得 3 8 3 a c , 抛
30、物线的解析式为 2 33 3 84 yxx . 如图，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F， 已知点E是直线BC上方抛物线上的一动点，则可设点E的坐标是 2 33 ,3 84 xxx ， 点M的坐标是 3 ,3 4 xx ， 22 33333 33 84482 EMxxxxx . BECBEMMEC SSS ， 22 11333 4(2)3 22824 BEC SME OCxxx . 即当2x时，即点E的坐标是2,3时，BEC的面积最大，最大面积是3. 【点睛】 此题考查的是一次函数的与坐标轴的交点坐标；待定系数法求二次函数解析式；用“铅垂高，水平宽” 求面积最值问题.
31、【变式【变式 3 3- -2 2】如图，抛物如图，抛物线线 2 2yaxbx交交x轴于点轴于点30A ,和点和点10B ,，交，交y轴于点轴于点C. (1)求这个抛物线的函数表达式；求这个抛物线的函数表达式； (2)若点若点D的坐标为的坐标为1,0，点，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值 面积的最大值. 【答案】【答案】(1) 2 24 2 33 yxx ；(2)S的最大值为17 4 . 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据 A,B 两点坐标可得出函数表达式； （2）设点 2 24 ,2 33 P xxx ，根据 + AP
32、OCPOODCADCP SSSSS 四边形 列出 S 关于 x 的二次函数 表达式，再根据二次函数的性质求最值. 【详解】 解： （1）将 A,B 两点的坐标代入解析式得， 9320, 20, ab ab 解得 2 , 3 4 . 3 a b 故抛物线的表达式为： 2 24 2 33 yxx ； （2）连接OP，设点 2 24 ,2 33 P xxx ， 由（1）中表达式可得点0,2C， 则 + APOCPOODCADCP SSSSS 四边形 111 222 pP AOyOCxCOOD 22 2411 22 1 ()2 13= 3 32 3222 xxxxx ， 10 ，故S有最大值，当 3
33、2 x 时，S的最大值为17 4 . 【点睛】 本题主要考查二次函数表达式的求法以及二次函数的图像与性质，有一定的综合性.对于二次函数中的面积 问题，常需用到“割补法”. 【考点【考点 4】二次函数二次函数面积的其它问题面积的其它问题 【例【例 4 4】如图，在平面直角坐标系中，直线如图，在平面直角坐标系中，直线55yx 与与x轴、轴、y轴分别交于轴分别交于,A C两点，抛物线两点，抛物线 2 yxbxc经过经过,A C两点，两点，与与x轴交于另一点轴交于另一点B. （1）求抛物线解析式及）求抛物线解析式及B点坐标；点坐标； （2）连接）连接BC，求，求ABC的面积；的面积； （3）若点）若点
34、M为抛物线上一动点，连接为抛物线上一动点，连接,MA MB，当点，当点M运动到某一位置时，运动到某一位置时，ABM面积为面积为ABC的面的面 积的积的 4 5 倍，求此时点倍，求此时点M的坐标的坐标. 【答案】【答案】 （1） 2 65yxx，5,0B； （2）10 ABC S； （3）M点的坐标为 1 M， 2 M 3-2 2 4（， ） ， 3 M， 见解析. 【解析】【解析】 【分析】 （1）利用,A C两点是一次函数上的点求出,A C两点，再代入二次函数求解即可. （2）根据1,0A，5,0B，求出4AB ，求出 ABC. （3） 根据ABM面积为ABC的面积的 4 5 倍， 求出 4
35、4 108 55 ABMABC SS ， 得出16 44 M y ， 求出此时 M 的坐标即可. 【详解】 （1）解：直线55yx 令 0y ，则055x，解得1x 1,0A 令0x，则5y ，0,5C 将点1,0A，0,5C代入 2 yxbxc中得， 10 5 bc c ，解得 6 5 b c 抛物线的解析式为： 2 65yxx； 令0y ，则 2 650xx，解得 12 1,5xx 5,0B. （2）解：1,0A，5,0B 4AB 11 4 510 22 ABC SAB OC （3）ABM面积为 ABC的面积的 4 5 倍， 44 108 55 ABMABC SS AB=4 , 1644
36、M y， 2 2 6534yxxx 抛物线的顶点坐标为 1 3, 4M符合条件， 当4 M y时， 2 654xx，解的，x1=3-2 2，x2=32 2， M点的坐标为 1 M（3，-4） ， 2 M 3-2 2 4， 3 M 32 2 4，. 【点睛】 本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数是解题的关键. 【变式【变式 4 4- -1 1】如图，抛物线如图，抛物线 yax2bxc 经过原点经过原点 O，与，与 x 轴交于另一点轴交于另一点 N，直线，直线 ykx4 与两坐标轴与两坐标轴 分别交于分别交于 A、D 两点，与抛物线交于点两点，与抛物线交于点 B(1，m)、C(2，2) 1. 求
37、求直线与抛物线的解析式直线与抛物线的解析式 2.若抛物线在若抛物线在 x 轴上方的部分有一轴上方的部分有一动点动点 P(x，y)，设，设PON，求当，求当 PON 的面积最大时的面积最大时 tan的值的值 3. 若动点若动点 P 保持（保持（2）中的运动线路，问是否存在点）中的运动线路，问是否存在点 P，使得，使得 POA 的面积等于的面积等于 PON 的面积的的面积的？若存？若存 在，请求出点在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】(1) 所求的抛物线为 (2) (3) 存在点 ，其坐标为（1，3） 【解析】【解析】 【分析】 （1）根据
38、C 点的坐标可确定直线 AD 的解析式，进而可求出 B 点坐标，将 B、C、O 三点坐标代入抛物线 中，即可求得此二次函数的解析式； （2）此题的关键是求出 P 点的坐标； PON 中，ON 的长为定值，若 PON 的面积最大，那么 P 点离 ON 的距离最远，即 P 点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得 P 点的坐标，进而可求出 的正切值； （3）设出点 P 的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出 P 点的纵坐标；根据直线 AD 和抛物线的解析式可 求出 A、N 的坐标；以 ON 为底，P 点纵坐标为高可得到 OPN 的面积，以 OA 为底，P 点横坐标为高可得 到 OAP
39、的面积， 根据题目给出的 POA 和 PON 的面积关系即可求出 P 点的横坐标， 进而可求出 P 点的 坐标 【详解】 （1）将点 C（2，2）代入直线 y=kx+4，可得 k=-1 所以直线的解析式为 y=-x+4 当 x=1 时，y=3， 所以 B 点的坐标为（1，3） 将 B、C、O 三点的坐标分别代入抛物线 y=ax2+bx+c， 可得 解得， 所以所求的抛物线为 y=-2x2+5x （2）因为 ON 的长是一定值，所以当点 P 为抛物线的顶点时， PON 的面积最大， 又该抛物线的顶点坐标为（，此时 tan= （3）存在； 把 x=0 代入直线 y=-x+4 得 y=4，所以点 A
40、（0，4） 把 y=0 代入抛物线 y=-2x2+5x 得 x=0 或 x= ，所以点 N（ ，0） 设动点 P 坐标为（x，y） ， 其中 y=-2x2+5x （0x ） 则得：S OAP= |OA|x=2xS ONP= |ON|y= （-2x2+5x）= （-2x2+5x） 由 S OAP=S ONP， 即 2x= （-2x2+5x） 解得 x=0（舍去）或 x=1， 得 x=1，由此得 y=3 所以得点 P 存在，其坐标为（1，3） 【点睛】 此题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象与坐标轴交点坐标的求法、图形面积的求法等知 识，主要考查学生数形结合的数学思想方法 【变式【变式
41、 4 4- -2 2】如图如图1，抛物线，抛物线 2 3yxx 与直线与直线 22yx 交于交于A、B两点，过两点，过A作作/ /ACx轴交抛物轴交抛物 线于点线于点C，直线，直线AB交交x轴于点轴于点D 1求求A、B、C三点的坐标；三点的坐标； 2若点若点H是线段是线段BD上的一个动点， 过上的一个动点， 过H作作 / /HEy轴交抛物线于 轴交抛物线于E点， 连接点， 连接OE、OH， 当， 当 3 10 HEAC 时，求时，求 OEH S的值；的值； 3如图如图2， 连接， 连接BO，CO及及BC， 设点， 设点F是是BC的中点， 点的中点， 点P是线段是线段CO上任意一点， 将上任意一
42、点， 将BFP沿边沿边PF 翻翻折折得到得到GPF，求当，求当PC为何值时，为何值时，GPF与与CFP重叠部分的面积是重叠部分的面积是BCP面积的面积的 1 4 【答案】【答案】 （1）点A坐标1,4，点B坐标2,2，点C坐标4,4； （2） 33 3 8 OEH S ； （3）当 3 2PC 或 10时，GPF与CFO重叠部分的面积是BCP面积的 1 4 【解析】【解析】 【分析】 （1）列方程组可知 A、B 两点坐标，根据点 C 的纵坐标与点 A 的纵坐标相同，列方程可求得点 C 坐标 （2）如图 1 中，设, 22H mm，( 21)m ，则 2 ,3E mmm ，根据 3 10 HEA
43、C， 列出方 程求出点 H 的横坐标，根据三角形的面积公式计算即可解决问题 （3）分两种情形若翻折后，点 G 在直线 OC 下方时，连接 CG如图 2，可证四边形 PFCG 是平行四边 形，得10PBPGCF，在 Rt PBO 中，根据 22 OPPBBO ，即可解决问题若翻折后， 点 G 在直线 OC 上方时， 连接 CG 如图 3， 可证四边形 PFGC 是平行四边形， 得 1 2 PCFGBFBC即 可解决问题 【详解】 解： 1由 2 3 22 yxx yx 解得 2 2 x y 或 1 4 x y ， 点A坐标 1,4，点B坐标2,2， / /ACx轴， 点C纵坐标为4 ， 由 2
44、34xx ，解得4x或1， 点C坐标 4,4 2如图1中，设, 22H mm，( 2 1)m ，则 2 ,3E mmm ， 由题意 2 3 3225 10 mmm ， 解得 13 2 m 或 13 2 （舍弃） ， 131333 3 2228 OEH S 32,2B ，4,4C ， 22 262 10BC ，22OB ，42OC ， 222 OBOCBC， 90BOC 若翻折后，点G在直线OC下方时，连接CG如图2， 111 422 PFLPBCPFCPFG SSSS， PFLFCLPLG SSS， FLLGCLLP， 四边形PFCG是平行四边形， 10PBPGCF ， 在Rt PBO中， 22 2OPPBBO ， 4223 2PCOCOP 若翻折后，点G在直线OC上方时，连接CG如图3， 111 422 PFLPBCPFCPFG SSSS， PFLFCLPLG SSS， FLLGCLLP
