1、第三单元第三单元 函数函数 第 14 课时 二次函数的综合应用 点对点课时内考点巩固60 分钟 1. (2019 陕西黑白卷)已知抛物线 C1： yax24xc 与 x 轴交于 M(4， 0)和 N 两点， 且抛物线过点 A( 2，4) (1)求抛物线 C1的表达式； (2)抛物线 C2与抛物线 C1关于直线 xm(m2)对称，点 M 的对应点为 P，若AMP 是等腰三角形， 求 m 的值及抛物线 C2的表达式 第 1 题图 2. 如图，抛物线 L：yax2bxc 与 x 轴交于 A(2，0)、B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C(0，2) (1)求抛物线 L 的表达式； (2)如何平移抛物
2、线 L， 使平移后的抛物线 L经过点 A， 且在抛物线 L上有一点 M， 使CBM 是以CBM 为直角的等腰直角三角形 第 2 题图 3. 已知抛物线 L： yax25 2xc 经过点 A(0， 2)、 B(5， 2)， 且与 x 轴交于 C、 D 两点(点 C 在点 D 左侧) (1)求点 C、D 的坐标； (2)判断ABC 的形状； (3)把抛物线 L 向左或向右平移，使平移后的抛物线 L与 x 轴的一个交点为 E，是否存在以 A、B、C、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出抛物线 L的表达式；若不存在，请说明理由 4. (2018 西安铁一中模拟)二次函数 yax2bxc(a0
3、)的图象顶点为 A(5，4)，与 x 轴交于点 B( 2，0) (1)求二次函数的表达式； (2)将原抛物线绕坐标平面内的某一点旋转 180 ，得到的新抛物线与 x 轴的一个交点为点 C，若新抛物 线上存在一点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形是以 AB 为边的菱形，求新抛物线的表达式 5. (2019 陕西黑马卷)如图，已知抛物线 L：yax2bx4 与 x 轴交于 A(1，0)，B(4，0)两点，与 y 轴交于点 C. (1)求抛物线 L 的表达式； (2)若抛物线 L 关于原点对称的抛物线为 L，求抛物线 L的表达式； (3)在抛物线 L上是否存在一点 P，使得 SABC2SA
4、BP，若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由 第 5 题图 6. 在平面直角坐标系 xOy 中，将抛物线 C1：yx2沿 x 轴翻折，再平移得到抛物线 C2，恰好经过点 A(3，0)、B(1，0)，抛物线 C2与 y 轴交于点 C，抛物线 C1与抛物线 C2的对称轴交于点 D. (1)求抛物线 C2的表达式； (2)在抛物线 C2的对称轴上是否存在一点 M， 使得以 M、 O、 D 为顶点的三角形与BOD 相似？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由 参考答案参考答案 第 14 课时 二次函数的综合应用 点对面跨板块考点迁移 1. 解：(1)抛物线 C1：yax24xc
5、过点 M(4，0)和点 A(2，4)， 16a16c0 4a8c4，解得 a1 c0， 抛物线 C1的表达式为 yx24x； (2)令 x24x0，解得 x10，x24， 点 N 的坐标为(0，0) 易得抛物线 C1的对称轴为直线 x2，且点 A(2，4)为抛物线 C1的顶点 若AMP 是等腰三角形， 分为以下三种情况：如解图，设点 P 的坐标为(x，0)， 当 AMAP1时， 点 M 与点 P1关于直线 x2 对称， 直线 xm 与抛物线 C1的对称轴 x2 重合， m2，此时不符合题意，故舍去； 当 MP2AP2时， 有(x4)2(x2)216， 解得 x1， P2(1，0)， m41 2
6、 3 2. 顶点 A 关于直线 x3 2对称的点为 A1(1，4) ， 抛物线 C2的表达式为 y(x1)24； 当 MP3AM，MP4AM 时， 有(x4)22242， 解得 x4 2 5， P3(42 5，0)，P4(42 5，0)， m4 5， 顶点 A 关于直线 x4 5，x4 5的对称点分别为 A2(62 5，4)，A3(62 5，4)， 抛物线 C2的表达式为 y(x62 5)24 或 y(x62 5)24. 综上所述，当AMP 是等腰三角形时，m 的值为3 2，4 5或4 5，此时抛物线 C2 的表达式分 别为 y(x1)24 或 y(x62 5)24 或 y(x62 5)24.
7、 第 1 题解图 2. 解：(1)设抛物线 L 的表达式为 ya(x2)(x4)， 代入 C(0，2)得8a2， 解得 a1 4， 抛物线 L 的表达式为 y1 4(x2)(x4) 1 4x 21 2x2； (2)如解图，过点 M 作 MDx 轴，垂足为点 D. 第 2 题解图 CBM 是以CBM 为直角的等腰直角三角形， BCOMBD, MDBO4，BDOC2， 若点 M 在第一象限，则 M1(6，4)； 若点 M 在第四象限，则 M2(2，4) 设平移后的抛物线 L表达式为 y1 4( )xh 2k. 把 A(2，0)及点 M 坐标分别代入得 1 4( )2h 2k0 1 4( )6h 2
8、k4 或 1 4( )2h 2k0 1 4( )2h 2k4， 解得 h3 k25 4 或 h2 k0 ， 平移后的抛物线 L的表达式为 y1 4( )x3 225 4 或 y1 4( )x2 2， 抛物线 L 的表达式为 y1 4x 21 2x2 1 4( )x1 29 4， 将抛物线 L 先向右平移 2 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度或先向左平移 3 个单位长度，再向 下平移9 4个单位长度，即可得到符合题意的抛物线 L. 3. 解：(1)将点 A(0，2)、B(5，2)代入 yax25 2xc， 得 c2 25a25 2 c2，解得 a1 2 c2 . 抛物线 L 的表达式为 y
9、1 2x 25 2x2， 令 y0，即1 2x 25 2x20， 解得 x11，x24. C(1，0)，D(4，0)； (2)A(0，2)、B(5，2)、C(1，0)， AB5， AC 12（2）2 5， BC （51）2222 5， AB2AC2BC2， ABC 为直角三角形； (3)存在 设抛物线 L的表达式为 y1 2(xm) 25 2(xm)2， 以 A、B、C、E 为顶点的四边形为平行四边形，且点 E 在 x 轴上， CEAB，CEAB5， C(1，0)， 点 E 的坐标为(6，0)或(4，0)， 当点 E 的坐标为(6，0)时，1 2(6m) 25 2(6m)20， 解得 m12，
10、m25. 此时抛物线 L的表达式为 y1 2x 29 2x9 或 y 1 2x 215 2 x27； 当点 E 的坐标为(4，0)时，1 2(4m) 25 2(4m)20， 解得 m15，m28. 此时抛物线 L的表达式为 y1 2x 25 2x2 或 y 1 2x 211 2 x14. 4. 解：(1)顶点为 A(5，4)， 二次函数表达式可写为 ya(x5)24. 将点 B(2，0)代入得 9a40. 解得 a4 9. 该二次函数的表达式为 y4 9(x5) 244 9x 240 9 x64 9 ； (2)点 A(5，4)，B(2，0)， AB5， 以点 A、B、C、D 为顶点且以 AB
11、为边的四边形是菱形，分以下两种情况讨论： 当 CD 在 x 轴上方时， 点 C 在 x 轴上， ABAC5， 当点 C 在点 B 左侧时， 点 A 为原抛物线的顶点，由抛物线对称性可知，点 C 为原抛物线与 x 轴的另一个交点，如解图， C(8，0)， 此时，点 D 与点 A 关于 x 轴对称， D(5，4)， 此时新抛物线的表达式为 y 4 9(x5) 244 9x 240 9 x64 9 ； 当点 C 在点 B 右侧时，此时点 C 与点 B 重合，不合题意； 当 CD 在 x 轴下方时，BCAB5，分点 C 在点 B 的右侧和左侧两种情况，如解图，当点 C 在点 B 的右侧时，点 C的坐标
12、(3，0)， 以 A、B、C、D 为顶点的四边形是菱形， D(0，4)， 原抛物线绕坐标平面内某一点旋转 180 得到新抛物线， 设新抛物线表达式为 y4 9x 2mxn， 点 C，D均在新抛物线上， 4 993mn0 n4 ， 解得 m8 3 n4 ， 新抛物线的表达式为 y4 9x 28 3x4； 同理，当点 C 在点 B 的左侧时，点 C的坐标为(7，0)，此时 D的坐标为(10，4)， 此时新抛物线的表达式为 y4 9x 256 9 x196 9 . 综上所述，新抛物线的表达式为 y4 9x 240 9 x64 9 或 y4 9x 28 3x4 或 y 4 9x 256 9 x196
13、9 . 第 4 题解图 5. 解：(1)将点 A(1，0)，B(4，0)代入 yax2bx4 中得， ab40 16a4b40，解得 a1 b3 ， L：yx23x4； (2)点 A(1，0)，B(4，0)，C(0，4)关于原点对称的点坐标分别为(1，0)，(4，0)，(0，4)， 设 L的抛物线解析式为 ym(x1)(x4)， 将点(0，4)代入得，m1， L：y(x1)(x4)x23x4； (3)存在 AB5， SABC1 2AB OC10， SABC2SABP， SABP5， 1 2AB |yP|5， |yp|2， yp 2， 将 yp2 代入 yx23x4 中得， x13 33 2 ，
14、x23 33 2 ， 点 P 的坐标为(3 33 2 ，2)或(3 33 2 ，2)； 将 yp2 代入 yx23x4 中得， x33 17 2 ，x43 17 2 ， 点 P 的坐标为(3 17 2 ，2)或(3 17 2 ，2) 综上所述，点 P 的坐标为(3 33 2 ，2)，(3 33 2 ，2)，(3 17 2 ，2)，(3 17 2 ，2) 6. 解：(1)设抛物线 C2的表达式为 ya(x3)(x1)， 由翻折及平移的性质可知抛物线 C1与抛物线 C2的开口大小相同，方向相反， 抛物线 C2的二次项系数为 1，即 a1， 抛物线 C2的表达式为 y(x3)(x1)x22x3； (
15、2)存在如解图，设抛物线 C2的对称轴与 x 轴交于点 E. 第 6 题解图 抛物线 C2的对称轴为直线 x1， 点 E 的坐标为(1，0)， 将 x1 代入 yx2，得 y1， D(1，1)， OEDE1， OED 为等腰直角三角形， OD 2，EODEDO45 ， DOB180 EOD135 ， 在 RtEDB 中，DB EB2ED2 5， DOB135 ，EDO45 ， 点 M 只能在点 D 下方 ODMBOD135 ， 当MD OD OD OB时， MD 2 2 1 ，解得 MD2， 点 M 的坐标为(1，3)， 当MD OD OB OD时， MD 2 1 2，解得 MD1， 点 M 的坐标为(1，2) 综上所述，存在满足题意的点 M，点 M 的坐标为(1，3)或(1，2)
