1、第六章第六章 弹性力学问题的变分解法弹性力学问题的变分解法?6-l 基本概念基本概念?6-2 弹性体的虚功原理弹性体的虚功原理?6-3 位移变分方程位移变分方程 最小势能原理最小势能原理?6-4 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小势能原理的近似计算方法?6-5 应力变分方程应力变分方程 最小余能原理最小余能原理?6-6 基于最小余能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法?6-7 6-7 弹性力学边值问题的两种描述方法弹性力学边值问题的两种描述方法 6-l 基本概念基本概念?从以上各章可以发现，在弹性力学中，即使对于像平面问题、柱形杆的扭转和弯曲等特殊的问题，当边界条件比较复杂时，
2、要求得精确解答是十分困难，甚至是不可能的。因此，对于弹性力学的大量实际问题，近似解法就具有极为重要的意义。本章要介绍的变分方法变分方法，不仅是近似解法中最有成效的方法之一，而且是有限单元法等近似解法的理论基础。一、弹性力学中的变分法一、弹性力学中的变分法?变分法变分法主要是研究 泛函泛函及其极值的求解方法。所谓泛函，就是以函数为自变量的一类函数，简单地讲，泛函就是函数的函数泛函就是函数的函数。弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量。因此，弹性力学中的变分法又称为能量法。这种方法就其本质而言，是要把弹性力学基本方程的定解问题，变为求泛函的极值（或驻值）问题。而在求问题近似解时，泛函的极值
3、（或驻值）问题又进而变成函数的极值（或驻值）问题。因此，最后把问题归结为求解线性代数方程组。?弹性力学的变分法建立在能量守恒定律的基础上。W=V 二、应变能与应变余能二、应变能与应变余能?应变能密度或比能 10?2v?01v?(?x?x?y?y?z?z?yz?yz?xz?xz?xy?xy)21V?v?dV?(?x?x?y?y?z?z?yz?yz?xz?xz?xy?xy)dV2vV1?1222222v?(?x?y?z)?(?x?y?y?z?z?x)?(?yz?xz?xy)2EE2 GE?12222222?v?(?x?y?z)?(?yz?xz?xy)?2(1?)?(1?2?)2?余能的概念余能的概
4、念?当应力、应变之间呈线性关系时：v?vc?对于线性弹性关系的问题，对于复杂应力状态下的应变余能密度可以表示为 v?(?x)?xd?x0?xv?vc?x?xvc(?x)?xd?x0?x1?1?222222vc?(?x?y?z)?(?x?y?y?z?z?x)?(?xy?yz?zx)2EEE1?1222222v?(?x?y?z)?(?x?y?y?z?z?x)?(?yz?xz?xy)2EE2 GVc?vcdVV三、能量形式的物理方程三、能量形式的物理方程?格林（Green）公式?卡斯蒂利亚诺（Castingliao,A）公式?v?x,?x?v?yz,?yz?v?y,?y?v?xz?xz?v?z,?z
5、?v?xy?xy?v?ij?ij?vc?ij?ij6-2 弹性体的虚功原理弹性体的虚功原理?一、静力可能的应力一、静力可能的应力?二、几何可能的位移二、几何可能的位移?三、弹性体的虚功原理三、弹性体的虚功原理 一、静力可能的应力一、静力可能的应力?静力可能的应力静力可能的应力 未必未必是是真实的应力真实的应力，因为，因为真实的应力在体内还真实的应力在体内还须满足以应力表示的须满足以应力表示的应变协调方程，而对应变协调方程，而对应的位移还须满足应的位移还须满足Su上的位移边界条件。上的位移边界条件。但反之，真实的应力但反之，真实的应力必然是静力可能的。必然是静力可能的。?ij,j?Fi?0fi?
6、ijnj?Sij二、几何可能的位移二、几何可能的位移?几何可能的位移几何可能的位移 未必是未必是真实的，因为真实的，因为真实的位真实的位移移，还须在体内满足以，还须在体内满足以位移表示的平衡微分方位移表示的平衡微分方程，在面力已知的边界程，在面力已知的边界S S上，须满足以位移上，须满足以位移表示的应力边界条件。表示的应力边界条件。但反之，真实的位移必但反之，真实的位移必然是几何可能的。然是几何可能的。1?ij?(ui,j?uj,i)2ui?uiuki?kij三、弹性体的虚功原理三、弹性体的虚功原理?恒等式恒等式（证明略）（证明略）F udV?f udS?dV?Vi?Si?V其中 在S上 ki
7、skisijkij（6-8）fi?njfi?fisssij在Su上 u?uiki 在弹性体上，外力在任意一组几何可能位移上作的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能位移所对应的应变上所作的功。讨论?功的前面加一个“虚”字，只是用以指明作功的双方彼此独立无关这一特征，而没有别的含义。注意！?第一，在证明弹性体的虚功原理时，只用到小变形假设，而未涉及到材料的性质，因此，在小变形的前提下，这个原理适用于任何性质的材料。?第二，从平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条件出发，可证明虚功原理的成立，反之，也可利用虚功原理推导平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和位移边界条件。?第三，式
8、（6-8）中的静力可能的应力和几何可能的位移及其对应的应变，可以是同一弹性体的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而无任何的关系。这正是虚功的含义。真实应力、应变和位移情况?但当静力可能的应力和几何可能的应变服从物理方程时，即为真实的应力、应变和位移。skk?ij?ij,?ij?ijui?ui?此时，式（6-8）变为 （f）虚功原理是弹性力学中的一个普遍的能量原理，我们将由此导出弹性力学的两个重要的变分原理。VF udV?f udS?n udS?dViiiiijjiijij?S?SuV6-3 位移变分方程位移变分方程 最小势能原理最小势能原理?如果如果取真实的应力取真实的应力 为静力可能
9、的应力，则可导出弹为静力可能的应力，则可导出弹性体的虚位移原理。性体的虚位移原理。kui?ui?ui（a a）?设几何可能的位移为设几何可能的位移为?u表示真实位移邻近的位表示真实位移邻近的位?这里的这里的u ui i为真实位移，而为真实位移，而 i移的微小改变量，我们称之为虚位移。因为真实位移的微小改变量，我们称之为虚位移。因为真实位k满足位移满足位移移移u ui i满足位移边界条件，所以，要求满足位移边界条件，所以，要求 ui边界条件，必须有边界条件，必须有?ui?0（在（在Su上）上）（b b）?u?ui?uikijki（a)a)将式（a）代入几何方程 1kk?(ui,j?uj,i)21
10、1?(ui,j?uj,i)?(?ui,j?uj,i)22真实应变 虚应变虚应变 将式（a）和式（c）代入式（6-8），并取真实应力作为静力可能的应力?ijsij?ij（c）k?ij?ij?ij位移变分方程位移变分方程?VFi(ui?ui)dV?S?f(uii?ui)dS?ijnjuidS?V?ij(?ij?ij)dVSu将上式与6-2中的式（f）相减，得 F?udV?Vii?S?fi?uidS?V?ij?ijdV（6-10）式（6-10）称为位移变分方程位移变分方程，又称虚位移方程虚位移方程。它表示外力在虚位移上作的虚功，等于弹性体的真实内力在相应虚位移上作的虚功。从6-2中的论述和本节的推导
11、可知，它等价于平衡它等价于平衡微分方程和应力边界条件微分方程和应力边界条件。VF u dV?f u dS?n u dS?dViiiiijjiijij?S?SuV（f）最小势能原理最小势能原理 从位移变分方程出发，可以推出弹性力学中一个重要的原理，即所谓的最小势能原理。F?udV?Vii?vdV?FudV?f udS?V?Vii?ii?0S?S?fi?uidS?V?v?dV?（6-10）?Ep?0Ep?Vv?dV?VFiuidV?fiuidS（6-11）S?（6-12）在所有几何可能的位移中，真实的在所有几何可能的位移中，真实的位移使总势能位移使总势能Ep取最小值。取最小值。（6-10）?VFi
12、?uidV?S?fi?uidS?V?ij?ijdV讨论?综上所述，以位移作为基本未知函数求解弹性力学问题时，按过去的方法是要求解以位移表示的平衡微分方程，使所求的位移分量，在Su上满足位移边界条件，在S上满足以位移表示的应力边界条件。而现在可归结为求解位移变分方程（6-10），或者去求总势能Ep的极值。在利用方程（6-10）和（6-12）时，所设的位移毋须事先满足应力边界条件，而只要满足位移边界条件就可以了，因应力边界条件是会自动满足的。?最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和最小势能原理等价于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的应力边界条件。以位移表示的应力边界条件。(平衡律）平衡律
13、）?例6-1 图示为一直梁，其横截面有一铅直的对称轴，分布荷载q(x)就作用在包含该轴的铅直平面内。在梁的端面上，施加适当的约束，使梁不能产生整体的刚性位移，或者作用适当的剪力和弯矩，使梁保持平衡。现在，要用最小势能原理推导用梁的挠度表示的平衡微分方程和应力边界条件。6-4 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小势能原理的近似计算方法?根据最小势能原理，首先必须列出所有满足位移边界根据最小势能原理，首先必须列出所有满足位移边界条件的位移条件的位移(可能位移），然后求出其中使总势能可能位移），然后求出其中使总势能Ep取最小取最小值的那组位移，就是所要求的真正的位移。但问题在于要值的那组位移，就是
14、所要求的真正的位移。但问题在于要 列列出所有满足位移边界条件的位移是非常困难的出所有满足位移边界条件的位移是非常困难的，甚至是不可，甚至是不可能的。因此，在计算工程实际问题时，只能根据受力特点和能的。因此，在计算工程实际问题时，只能根据受力特点和边界条件，凭经验和直觉在缩小范围内寻找一簇位移，从中边界条件，凭经验和直觉在缩小范围内寻找一簇位移，从中求得一组使总势能求得一组使总势能Ep取得最小值的位移。虽然，一般来说，取得最小值的位移。虽然，一般来说，这组位移不是真正的位移，但可以肯定它是在缩小范围后的这组位移不是真正的位移，但可以肯定它是在缩小范围后的一簇位移中与真正位移最接近的一组，从而可以
15、作为问题的一簇位移中与真正位移最接近的一组，从而可以作为问题的近似解。下面介绍基于最小势能原理的两种近似解法近似解。下面介绍基于最小势能原理的两种近似解法瑞瑞利利-李兹（李兹（Rayleigh-Ritz）法和伽辽金（）法和伽辽金（a pk ）法。）法。（一）瑞利-李兹法?由式（6-13）给出的位移，不论Am，Bm和Cm取何值，它们在Su上总是满足位移边界的。?u?u0(x,y,z)?Amum(x,y,z)?m?v?v0(x,y,z)?Bmvm(x,y,z)?m?w?w0(x,y,z)?Cmwm(x,y,z)?m?（6-13）u0?uum?0v0?vvm?0w0?wwm?0变泛函极值问题为求函数
16、的极值问题?现在的问题是要适当地选择Am，Bm和Cm，使总势能在以式（6-13）所表示的这簇位移中取最小值。为此，先将式（6-13）代入几何方程求应变分量，再代入总势能Ep的表达式（6-11）中，注意到右边的第一个积分中v是应变分量的齐二次函数，因此，代入后，这个积分是Am，Bm和Cm的齐二次函数。于是，总势能Ep本来是自变函数u，v，w的泛函，而现在变成待定系数Am，Bm和Cm的二次函数。这样，就把求泛函的极值问题变成求函数的极值问题。Ep?Vv?dV?VFiuidV?fiuidS（6-11）S?Ep?Vv?dV?VFiuidV?fiuidSS?总势能Ep取极值的条件为?Ep?Am?Ep?B
17、m?Ep?Cm?0?0?0?V?FxumdV?fxumdS?Am?vS?V?FyvmdV?fyvmdS?BmvS?V?FzwmdV?fzwmdS?Cm?vS?这是一组以Am，Bm和Cm（m=1,2,3,）为未知数的线性非齐次代数方程组，解出了系数Am，Bm和Cm，代入式（6-13），就得到位移的近似解答。这种方法称为瑞利-李兹法。伽辽金法伽辽金法?VVFi?uidV?ij?ijdV?V?ijS?1?fi?uidS?V?ij?ijdV(?ui,j?uj,i)dV（6-10）2?V?ij?ui,jdV?V(?ij?ui),jdV?V?ij,j?uidV?S?ijnj?uidS?V?ij,j?uid
18、V?V(?ij,j?Fi)?uidV?S?(fi?ijnj)?uidS?0（a）?如果所选择的位移函数式（6-13）不仅满足不仅满足Su上的位移边界上的位移边界条件，而且还满足条件，而且还满足S上的静力边界条件上的静力边界条件，则方程（a）简化为 (?F)?udV?0Vij,jii?（b）伽辽金法伽辽金法?V(?ij,j?Fi)?uidV?0（b）?x?yx?zx?xy?y?zy?F?u?F?v?xy?x?y?z?y?z?x?V?xz?yz?x?F?w dV?0?z?x?y?z?u?um?Amm?v?vm?Bmm?w?wm?Cmm?(?G)?xV?(?G)?y?V?(?G)?zV?x?yx?z
19、x?Fu dV?0?xm?x?y?z?V?xy?yxy?Fv dV?0?y?m?x?y?z?V?XZ?yx?x?Fw dV?0zm?x?y?z?V?(m?1,2,3,?)?2?G?u?Fx?umdV?0?2?G?v?Fy?vmdV?0?2?G?w?Fz?wmdV?0?(m?1,2,3,?)?例6-2 两端简支的等截面梁，受均布荷载q作用（图6-3），试求挠度w（x）。Ep?w?EIy2?L0L?d w?dx?qw dx?dx2?0?22?mm?xCmsinL平面问题 u?u0(x,y)?Amum(x,y)?m?v?v0(x,y)?Bmvm(x,y)?m?V?Fxumdxdy?fxumdS?Am
20、?V?Fyvmdxdy?fyvmdS?Bm?(m?1,2,3,?)V?E?x?(?x?y)?21?E?y?(?y?x)?21?E?xy?xy?2(1?)?1(?x?x?y?y?xy?xy)dxdy222?E?u?v?u?v?V?2?2?x?y?x?y2(1?)?21?v?u?dxdy?2?x?y?平面问题的应变能表达式 22?E?u?v?u?v?V?2?2?x?y?x?y2(1?)?21?v?u?dxdy?2?x?y?平面应变问题?EV?2(1?)?1?2?u?v?u?v?x?y?x?y?22221?v?u?dxdy?2?x?y?例6-3 图6-4所示为一边固定、另三边自由的薄板，三自由边受均
21、布剪应力 作用。不计体力，试用瑞利-李兹法求薄板的位移。u?x(A1?A2x?A3y?)?v?x(B1?B2x?B3y?)?aa?V?fxu1dS?(?)xdx?xdx?000?A1S?aa?V?2?fxu2dS?(?)xdx?x2dx?000?A2S?aa?V?12?fxu3dS?(?)x?0 dx?xdx?a b00?A3S?2b?V?fyv1dS?ady?ab0?B1S?b?V?fyv2dS?a2dy?a2b0?B2S?b?V?1?fyv3dS?ay dx?ab20?B3S?22(1?)A1?A2?A3?B2?B3?0,B1?E u=0 2(1?)?v?xE薄板弯曲问题?z?xz?yz?
22、02222?E?w?w?w?222?dxdydzV?z?(?w)?2(1?)?2?2?2?x?y?2(1?)?x?y?2222?w?等厚薄板 V?D?(?2w)2?2(1?)?w?w?dxdy?22?2?x?y?x?y?1V?2?(?xx?y?y?xy?xy)dxdydz对于四条边上w=0的矩形板 D22V?(?w)dxdy2例6-4 边长分别为a和b的矩形薄板，前、后两对边为简支，左边固定，右边自由，受均布荷载q作用，坐标选取如图6-5所示，求板的挠度w。?y?x?w?A1?sinb?a?22?Dab?2?y?y?2V?A1sin?22A1x sin?2(1?)2?002ba bb?a?2?
23、2?222?y4?2222?y?a4b2A1x sinb?a4b2A1x cosb?dxdy?242?DA11?a?b?4?a?2?2?32?b?10?b?3?a22222?D?22?w?w?w?dxdyV?(?w)?2(1?)?2?2?2?x?y?x?y?6-5 应力变分方程应力变分方程 最小余能原理最小余能原理?取几何可能的位移为真实位移?弹性体的稳定平衡状态 （6-33）Suui?ijnjdS?V?ij?ijdV?式（6-33）称为应力变分方程应力变分方程，又称虚应力方程虚应力方程。它表示在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真实变形中所作的功。?最小余能
24、原理最小余能原理?应力变分方程还可以表成另一种形式。?在所有静力可能的应力中，真实的应力使总余能取最小值。?Ec?0Ec?VvcdV?Su?ijnjuidS6-6 基于最小余能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法?6-7 6-7 弹性力学边值问题的两种描述方法弹性力学边值问题的两种描述方法?微分描述与变分描述微分描述与变分描述 微分描述微分描述?平衡律平衡律?ij,j?Fi?0(V)?i,jnj?fi(S?)（6-44）?协调律协调律?本构律本构律?ij?或 1?ij?(ui,j?uj,i)2?ui?ui(V)（6-45）(Su)（6-46）?bijkl?kl?ij?dijkl?k
25、l(V?S)变分描述变分描述?最小势能原理中的极值条件就是用能量形式表示物体的平衡2律?Ep?0,?Ep?0（6-47)?总势能Ep是容许位移函数uik的函数，又称为势能泛函。uik是自变函数，但不是完全自由变化的，而是“容许”的位移，1?即受协调律的约束的位移?(u?u)(V)Ep?Vv?dV?VFiuidV?fiuidSS?ij2?ui?uii,jj,i(Su)?应用最小势能原理可以直接求出物体的位移，若选取的ui事先满足协调律，分析过程中又遵循本构律，则由式（6-47）求得的ui必是真解，这就说明式（6-47）反映的恰是物体的平衡律，它与式（6-44）完全等价。变分描述变分描述?最小余能
26、原理的极值条件则是反映物体的协调律?ij,j?Fi?0(V)?约束条件为?ijnj?fi?0(S?)?c?条件等价于协调律式（6-45）?Ec?0,?Ec?02（6-48)?E?0广义变分原理?对于可以直接表达连续体的物理本质的变分原理，如最小势能原理、最小余能原理等，称之为“自然自然”变分原理变分原理。这类变分原理往往带有约束条件的，且对自变函数的连续性和可导性有一定的要求，为此也限制了这类变分原理的应用范围。?为了消除或放松约束条件，引进某种方法（如待定的Lagrange乘子法等）“人造”出一类变分原理，使得自变函数的变化不受或少受限制，称这类变分原理为广义变分原理广义变分原理.如“人造”一个新的泛函，并采用Lagrange乘子法，将反映约束的条件吸收到新的泛函中.作业?14-8?14-9 Dead Sea 请大家批评指正！请大家批评指正！谢谢谢谢 ！
