1、晶体结构晶体结构 教学内容教学内容1 1.晶体结构的周期性，点阵与晶胞晶体结构的周期性，点阵与晶胞讲授晶体微观结构的周期性周期性或平移不变性或平移对称性；根据周期性如何从晶体结构中抽象出点阵点阵，什么是结构单元结构单元，如何提取结构单元；进一步如何从点阵划分晶体的晶胞晶胞，如何给出原子分数坐标原子分数坐标。本节内容主要就是如何根据晶体对称性抽象出简单的几何体-晶胞来描述晶体的结构。2 2.晶体结构的对称性，晶族晶系与空间点阵型式晶体结构的对称性，晶族晶系与空间点阵型式,晶体的点晶体的点群和群符号群和群符号本节讲授晶体中所可能拥有的各种对称元素与对称操作对称元素与对称操作，包括点操作及其与平移操
2、作的组合。进一步，根据晶体的对称性将自然界中的所有晶体进行分类描述，包括7大晶系大晶系，32个个晶体学点群晶体学点群，然后根据对称性对各大晶系选取合适的标准标准晶胞晶胞以形成国际通用标准；同一晶系中点阵点在空间的分布方式也可以不同，从而将晶体划分为14种空间点阵形式种空间点阵形式。3.3.点阵与平面间距离点阵与平面间距离介绍点阵点、直线点阵与平面点阵的数学表示方法，用晶面指标计算晶面间距的公式。4.4.空间群及晶体结构的表达空间群及晶体结构的表达*5.5.晶体的结构和晶体的性质晶体的结构和晶体的性质*6.6.晶体的晶体的X射线衍射原理射线衍射原理介绍晶体X射线衍射的基本原理，主要是确定衍射方向
3、的布布拉格方程与劳埃方程拉格方程与劳埃方程。理解晶体结构的周期性特征，掌握点阵与晶体结构的关系以及点阵的平移对称性，掌握晶胞的概念与晶胞内原子的分数坐标，了解晶体结构的对称性，掌握根据晶体对称性划分的七大晶系、六种正当晶胞与十四种空间点阵型式，了解晶面指标与晶面间距。了解晶体衍射方向的两个基本方程布拉格方程与劳埃方程。教学要求教学要求重点难点重点难点 1重点：晶体的周期性结构，点阵和晶胞，晶胞内原子的分数坐标，晶体的对称性，七大晶系、六种正当晶胞与十四种空间点阵型式。2难点：晶体结构的对称性和晶面指标，确定衍射方向的两个方程。晶体周期性晶体周期性,点阵与晶胞点阵与晶胞固态物质分为二类固态物质分
4、为二类人工宝石人工宝石一类是晶体。自然界存在大量的晶体物质，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰川,金属、合金,水泥制品,食盐和糖等。晶体有确定的熔点，有均匀性，各向异性，能自发地形成凸多面体外形，有特定的对称性，能使X射线、电子流与中子流产生衍射。晶体中的原子、分子都按一定的规律周期性地重复排列。另一类是非晶态或叫玻璃体或叫无定形态。如玻璃、明胶、碳粉、塑料制品等。晶体拥有的特性非晶体都没有，如没有确定的熔点，没有对称性，不能产生衍射等。非晶体内部的原子、分子排列杂乱无章，没有周期性规律。1.晶体的结构特征晶体的结构特征 晶体晶体是原子、离子或分子在空间按照一定的规律周期性地重复是原子、离
5、子或分子在空间按照一定的规律周期性地重复排列所构成的固体物质。排列所构成的固体物质。晶体的基本特性晶体的基本特性：周期性：周期性周期性周期性：是指在任意方向上，晶体中的原子每隔一定的距：是指在任意方向上，晶体中的原子每隔一定的距离就重复出现的性质。离就重复出现的性质。(忽略晶体的表面效应忽略晶体的表面效应)周期性是晶体结构最基本的特征。周期性是晶体结构最基本的特征。周期周期：某方向上原子重复出现的最小距离。：某方向上原子重复出现的最小距离。例例1.一维周期性一维周期性(1).伸展的聚乙烯(CH2CH2)n aa周期为a (2).NaCl晶体的一条晶棱 例例2.二维周期性二维周期性(1).金属铜
6、 (2).B(OH)3aa周期为2asin(/3)=31/2aab两个方向的周期分别为a,b例例3.三维周期性三维周期性(1).金属Po (2).CsCl 边长方向的周期为a,面对角线方向的周期为21/2a,体对角线方向的周期为31/3a。aa等价原子等价原子:晶体中每隔相等的距离就重复出现的原子。等价原子有完全相同的化学环境。平移对称性平移对称性在某给定方向上，相距最近的两个等价原子之间的距离为a，则将晶体沿该方向平行移动距离na(n为整数)晶体就复原，这种性质就是晶体的平移对称性。周期性周期性 平移对称性，或平移不变性平移对称性，或平移不变性连接晶体中任意两个等价原子得一矢量a，将晶体沿着
7、该矢量平移a或a的整数倍na，晶体复原。例例4.一维一维 平移对称性平移对称性平移对称性平移对称性：晶体平移na而复原。(1).石墨(2).Se 例例5.二维二维 平移对称性平移对称性平移对称性平移对称性：晶体沿：晶体沿a方向平移方向平移na复原，沿复原，沿b方向平移方向平移mb复原复原(1).石墨烯abT平移矢量平移矢量：na+mbT=2a+babT(2).NaCl 的一个晶面例例6.三维三维 平移对称性平移对称性平移对称性平移对称性：晶体沿a方向平移na复原，沿b方向平移mb复原,沿c方向平移lc复原。(1).金属Na (2).金属铜 abcbbac平移矢量平移矢量：na+mb+lc (3
8、).NaCl (4).金刚石金刚石abcabc(5).石墨石墨 abc2.点阵和结构单元点阵和结构单元 重复单位重复单位:晶体内部原子、离子或分子,在三维空间作周期性重复排列。每个重复单位的化学组成相同，空间结构相同，若忽略晶体的表面效应，重复单位周围的环境也相同。重复单位:单个原子或分子，离子团或多个分子。结构单元结构单元=重复单位重复单位结构单元结构单元是晶体中所有不等价原子构成的最小集合体。是晶体中所有不等价原子构成的最小集合体。Se点阵点点阵点将每个结构单元用一个点来表示，这样的点称为点阵点点阵点。将表示结构单元的点阵点放置在空间等价的位置，如一组等价原子的位置，则得到一个点的空间序列
9、，称为点阵点阵。点阵点阵平移对称性或平移不变性平移对称性或平移不变性：连结任意两个点阵点得一矢量，按此矢量平移,点阵能够复原。点阵的基本特性点阵的基本特性(1)所有点阵点都是等价的(2)每个点阵点都具有完全相同的周围环境点阵点点阵点=结构单元结构单元Se如果在晶体的点阵中的各个点阵点上，按照同一种方式安置结构单元，则得到整个晶体结构。晶体结构晶体结构 =点阵点阵 +结构单元结构单元例例7.一维直线点阵一维直线点阵aa(a).Cu:点阵点=结构单元=1个铜原子 (b).石墨:点阵点=结构单元=两个C原子(d).NaCl:点阵点 结构单元=1Na+1Cl-aaa(c).Se:点阵点 结构单元=3个
10、Se原子 (e).伸展的聚乙烯(CH2CH2)n:点阵点 结构单元=CH2CH2例例8.二维平面点阵二维平面点阵ab(1).石墨片层石墨片层点阵点点阵点:黑点,放在某一类等价原子,或者其他等价位置 结构单元结构单元=两个不等价碳原子=虚线的平行四边形ab(2).NaCl结构单元结构单元=虚线的正方形虚线的正方形=1Na+1Cl-(3).Cu(黑点代表点阵点黑点代表点阵点)结构单元结构单元=虚线的平行四边虚线的平行四边形形=1个个Cu原子原子(3).B(OH)3结构单元结构单元=虚线的平行四边形虚线的平行四边形=2个个B(OH)3点阵点点阵点：黑点，或者：黑点，或者红叉园红叉园，或，或绿叉园绿叉
11、园例例9.三维空间点阵三维空间点阵Po 点阵点：黑点结构单元=1立方体=1个Po CsCl 点阵点：黑点或红点结构单元=1立方体=1个CsCl 点阵点位于立方体的顶点点阵点位于立方体的顶点Na 点阵点点阵点：黑点，位于立方体的顶点与体心位于立方体的顶点与体心结构单元=1个Na=1个平行六面体=立方体Cu点阵点：黑点，位于立方体的顶点与面心位于立方体的顶点与面心结构单元=1个Cu=斜平行六面体NaCl 点阵点：Cl(顶点与面心)或Na(体心与边心)结构单元=1个NaCl=1个平行六面体金刚石金刚石结构单元=2个C=1个平行六面体点阵点=黑点(顶点与面心)石墨石墨abc点阵点：红点，位于平行六面体
12、的顶点结构单元=4个C(四种不同颜色的原子各一个)=1个平行六面体3.点阵单位点阵单位晶胞晶胞(1).直线点阵直线点阵在点阵中以直线连结各个点阵点，形成直线点阵。相邻两个点阵点之间的矢量a是直线点阵的单位矢量，矢量的长度a=|a|，称为点阵参数点阵参数。平移对称性平移对称性：将直线点阵沿着a的方向平行移动na(n为整数)，点阵复原。(2).平面点阵平面点阵平面点阵必可划分为一组平行的直线点阵。选择两个不相平行的单位矢量a和b，它们分别确定两组平行的直线点阵，这两组点阵将平面点阵划分成并置的平行四边形单位，点阵中各点阵点都位于平行四边形的顶点上。矢量a和b的长度a=|a|,b=|b|及其夹角称为
13、平面点阵参数。二维点阵二维点阵ab晶胞：a,b构成的平行四边形平移对称性平移对称性：将平面点阵平行移动na+mb(m,n为整数)，点阵复原。(3).空间点阵空间点阵晶轴矢量晶轴矢量(a,b,c)：选择3个不相平行的单位矢量a,b,c。晶胞晶胞：晶轴矢量a,b和和c构成的平行六面体单位称为晶胞。晶胞是晶体的点阵单位，晶胞沿着a,b和和c方向无限延伸并置就形成晶体的点阵结构。点阵参数或晶胞参数点阵参数或晶胞参数：晶轴矢量a,b与与c的长度a,b,c及其相互间的夹角,。a=|a|b=|b|c=|c|=bc =ac =ab晶体的坐标轴晶体的坐标轴:x,y和z轴分别和a,b和和c平行，3个晶轴按右手定则
14、关系安排，成为右手坐标轴系。平移对称性平移对称性：将平面点阵平行移动na+mb+lc(m,n,l为整数)，点阵复原。素晶胞与复晶胞素晶胞与复晶胞晶轴矢量的选取是任意的，因此晶胞的形状也很任意。按照晶胞中包含的点阵点的数目，晶胞可以划分为素晶胞与复晶胞。只包含一个点阵点的晶胞称为素晶胞；包含不止一个点阵点的晶胞称为复晶胞。晶胞中的点阵点数晶胞中的点阵点数处于晶胞顶点的点阵点，每个晶胞分得1/8处于边上的点，每个晶胞分得1/4处于面上的点，每个晶胞分得1/2 三维点阵三维点阵Po 晶胞：简单立方 素晶胞素晶胞CsCl 晶胞：简单立方 素晶胞素晶胞 Na晶胞：体心立方晶胞：体心立方 复晶胞复晶胞(2
15、)Cu 晶胞：面心立方 复晶胞(4)平行六面体 素晶胞素晶胞 金刚石金刚石 晶胞：面心立方 复晶胞(4)NaCl 晶胞：面心立方 复晶胞(4)石墨石墨 晶胞：平行六面体 素晶胞abc原子坐标原子坐标例例(1).NaCl xyz将晶胞的晶轴a,b,c的方向取作三个坐标轴x,y,z的方向(按右手定则)，从晶胞的坐标原点指向原子的位置矢量r可以表示为：r=xa+yb+zc(x,y,z)称为该原子的坐标。Na(0,1/2,0),(1/2,0,0),(0,0,1/2)(1/2,1/2,1/2)Cl(0,0,0),(0,1/2,1/2),(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2)(2).CsCl Cs
16、(1/2,1/2,1/2)Cl(0,0,0)(3).金刚石金刚石xyz(0,0,0),(0,1/2,1/2),(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2);(1/4,1/4,3/4),(3/4,3/4,3/4),(3/4,1/4,1/4),(1/4,3/4,1/4)(0,0,0),(0,1/2,1/2)(1/2,1/2,0),(1/2,0,1/2)(1/4,1/4,1/4),(3/4,3/4,1/4)(3/4,1/4,3/4),(1/4,3/4,3/4)xyz(4).石墨石墨xyzabc(0,0,0)(2/3,1/3,0)(0,0,1/2)(1/3,2/3,1/2)晶体结构的对称性晶体结构的
17、对称性晶体结构的对称性涉及下面几个方面的内容晶体结构的对称性涉及下面几个方面的内容 晶体结构中可能存在的对称元素晶体结构中可能存在的对称元素 晶胞晶胞 晶系晶系 空间点阵型式空间点阵型式 晶体学点群晶体学点群 空间群空间群1.晶体结构的对称元素与对称操作晶体结构的对称元素与对称操作 晶体结构内部结构具有一定的对称性，可用一组对称元素来描晶体结构内部结构具有一定的对称性，可用一组对称元素来描述。述。晶体的对称性及所具有的特征对称元素是对晶体进行晶体的对称性及所具有的特征对称元素是对晶体进行分类的基础。分类的基础。晶体最基本的对称性是晶体最基本的对称性是平移对称性平移对称性，即晶体在特定的平移操作
18、，即晶体在特定的平移操作下复原。平移操作所依赖的对称元素就是晶体的空间点阵下复原。平移操作所依赖的对称元素就是晶体的空间点阵结构。它此外晶体还有其他的对称元素，如对称中心，对结构。它此外晶体还有其他的对称元素，如对称中心，对称面，旋转轴和映轴等，但与分子对称性不同，分子的所称面，旋转轴和映轴等，但与分子对称性不同，分子的所有对称元素必须交于一点，是一种点对称性。由于晶体的有对称元素必须交于一点，是一种点对称性。由于晶体的微观结构是无限的周期性结构，除了分子对称所拥有的旋微观结构是无限的周期性结构，除了分子对称所拥有的旋转轴、对称面、对称心等对称元素外，还存在其他对称元转轴、对称面、对称心等对称
19、元素外，还存在其他对称元素，如滑移面和螺旋轴等。素，如滑移面和螺旋轴等。A.晶体的对称性除了具有分子对称性的晶体的对称性除了具有分子对称性的4种类型的对称操作和对种类型的对称操作和对称元素外，还具有与平移操作有关的称元素外，还具有与平移操作有关的3种类型的对称操作和对种类型的对称操作和对称元素。称元素。(a).旋转轴旋转轴旋转操作旋转操作 (b).镜面镜面反映操作反映操作(c).对称中心对称中心反演操作反演操作 (d).反轴反轴旋转反演操作旋转反演操作(e).点阵点阵平移操作平移操作(f).螺旋轴螺旋轴螺旋旋转操作螺旋旋转操作 (g).滑移面滑移面反演滑移操作反演滑移操作B.晶体的对称操作和对
20、称元素受到点阵的制约：旋转轴、螺旋晶体的对称操作和对称元素受到点阵的制约：旋转轴、螺旋轴和反轴的轴次只能为轴和反轴的轴次只能为1、2、3、4、6等几种；螺旋轴和滑移等几种；螺旋轴和滑移面的滑移量也只能是符合点阵结构的几种平移量。面的滑移量也只能是符合点阵结构的几种平移量。晶体结构中可能存在的对称元素有晶体结构中可能存在的对称元素有对称中心对称中心()镜面镜面(m)反轴反轴()旋转轴旋转轴(1,2,3,4,6):轴次为轴次为1、2、3、4、6的旋转轴的旋转轴滑移面滑移面(a,b,c,n,d,e)螺旋轴螺旋轴(21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65)16,4,3旋转旋转旋
21、转轴旋转轴(1,2,3,4,6)如果晶体绕一轴转动如果晶体绕一轴转动2/n角度能够复原，则称该轴为角度能够复原，则称该轴为n重旋转轴。重旋转轴。晶体结构中习惯用国际符号，晶体结构中习惯用国际符号，n表示表示n重旋转轴。晶体中能够重旋转轴。晶体中能够和空间点阵共存的旋转轴只有和空间点阵共存的旋转轴只有1,2,3,4,6重旋转轴。重旋转轴。晶体结构只允许存在晶体结构只允许存在1,2,3,4,6五种旋转轴。五种旋转轴。证明：在晶体结构中取一平面点阵证明：在晶体结构中取一平面点阵N1 N2 N7 N8点阵点间点阵点间最近间隔单位最近间隔单位a，有一，有一n重旋转轴位于各点阵点且垂直于平面重旋转轴位于各
22、点阵点且垂直于平面点阵。绕点阵。绕N2顺时针方向旋转顺时针方向旋转2/n使使N1点转到点转到N5位置，同时饶位置，同时饶N3逆时针方向旋转逆时针方向旋转2/n使使N4点转到点转到N7位置。位置。N5N7a2acos(2/n)=ma cos(2/n)=(m 1)/2 1 (m 1)/2 1反演反演对称中心对称中心()反映反映镜面镜面(m)旋转反演旋转反演反轴反轴()绕轴旋转绕轴旋转2/n后，再按轴上的给定点进行反演，点阵能复原。后，再按轴上的给定点进行反演，点阵能复原。我们称这轴为我们称这轴为反轴反轴，记为，记为 。1次反轴次反轴 =对称中心对称中心 2次反轴次反轴 =镜面镜面(m)3次反轴次反
23、轴 =3+4 次反轴次反轴 独立独立6次反轴次反轴 =3+m1n16,4,312346平移平移点阵点阵平移操作平移操作 Tmnpmanbpc (m,n,p为任意整数为任意整数)平移平移Tmnp使晶体点阵点在使晶体点阵点在a方向平移方向平移m单位，单位，b方向平移方向平移n单位，单位，c方向平移方向平移p单位后，点阵结构仍能复原。单位后，点阵结构仍能复原。螺旋旋转螺旋旋转螺旋轴螺旋轴复合操作复合操作,由旋转加平移组成。由旋转加平移组成。螺旋轴螺旋轴：符号：符号nm(m1,2,n 1)nm的基本的基本对称操作对称操作：晶体在螺旋轴作用下，先转动晶体在螺旋轴作用下，先转动2/n，然后，然后沿着旋转轴
24、平移沿着旋转轴平移m/n个单位。个单位。21:先转动先转动180,接着沿轴方向平移接着沿轴方向平移1/2个单位。个单位。31,32:先旋转先旋转120，接着分别平移，接着分别平移1/3和和2/3个单位。个单位。41,42,43:先旋转先旋转90，接着分别平移，接着分别平移1/4,2/4和和3/4个单位。个单位。61,62,63,64,65:先旋转先旋转60，接着分别平移，接着分别平移1/6,2/6,3/6,4/6和和5/6个单位。个单位。注：注：nm的基本对称操作中，旋转与平移可以交换次序。的基本对称操作中，旋转与平移可以交换次序。21NaCl21反映滑移反映滑移滑移面滑移面 反映反映+平移平
25、移对称元素对称元素：滑移面：滑移面对称操作对称操作：按对称面反映后，再沿着反映面的某方向平移：按对称面反映后，再沿着反映面的某方向平移1/n个个单位而复原。单位而复原。滑移面分四类滑移面分四类：(1).轴滑移面轴滑移面(a,b,c):反映后沿着反映后沿着a、b、c晶轴平移晶轴平移1/2个单位个单位(2).对角滑移面对角滑移面(n):反映后沿着反映后沿着a、b轴或轴或a、c轴或轴或b、c轴对角线轴对角线方向平移方向平移1/2个单位个单位(3).d滑移面或金刚石滑移面滑移面或金刚石滑移面:是在金刚石结构中存在的滑移面是在金刚石结构中存在的滑移面,反映后沿反映后沿(ab),(bc)或或(ac)方向平
26、移方向平移1/4单位。单位。(4).双向滑移面双向滑移面(e):注：平移，螺旋轴与滑移面的阶次都是无限的。对称中心，旋注：平移，螺旋轴与滑移面的阶次都是无限的。对称中心，旋转轴，镜面与反轴的阶次则是有限的。转轴，镜面与反轴的阶次则是有限的。a滑移滑移面面NaCla滑移面滑移面d滑移滑移面面cabc/87c/8平行于平行于xy平面，滑移量为平面，滑移量为(a+b)/42.晶族晶族,布拉维晶系与惯用坐标系布拉维晶系与惯用坐标系 晶系晶系：根据晶体的特征对称元素，晶体可以划分为：根据晶体的特征对称元素，晶体可以划分为7类，每类称类，每类称为一个晶系，即为一个晶系，即7个布拉维晶系个布拉维晶系。包括：
27、立方晶系，六方晶系，包括：立方晶系，六方晶系，三方晶系，四方晶系，正交晶系，单斜晶系与三斜晶系。三方晶系，四方晶系，正交晶系，单斜晶系与三斜晶系。每每个晶系都有其特征对称元素，确定一个晶体是否属于某个晶个晶系都有其特征对称元素，确定一个晶体是否属于某个晶系，就看其是否具有该晶系的特征对称元素。系，就看其是否具有该晶系的特征对称元素。注意注意：在划分晶系时，对称轴包括旋转轴，反轴与螺旋轴；对称：在划分晶系时，对称轴包括旋转轴，反轴与螺旋轴；对称面包括镜面与滑移面。面包括镜面与滑移面。晶胞与晶族晶胞与晶族：晶胞为平行六面体，当确定了一个晶体的晶系后，：晶胞为平行六面体，当确定了一个晶体的晶系后，晶
28、胞的选取要符合以下原则：晶胞的选取要符合以下原则：(1).晶胞要尽可能反映晶体的对晶胞要尽可能反映晶体的对称性；称性；(2).晶胞参数中的夹角晶胞参数中的夹角,尽可能为尽可能为90；(3).晶胞的晶胞的体积尽可能小。体积尽可能小。这样得到的晶胞这样得到的晶胞可以是素晶胞和复晶胞可以是素晶胞和复晶胞。按照这种方式选取晶胞，按照这种方式选取晶胞，7个晶系有个晶系有6种晶胞，分别对应于种晶胞，分别对应于6个晶个晶族，分别是立方，六方，四方，正交，单斜与三斜。族，分别是立方，六方，四方，正交，单斜与三斜。(1).立方晶系立方晶系(cubic)特征对称元素特征对称元素：4 4个三重轴个三重轴C C3 3
29、按立方体的对角线取向按立方体的对角线取向晶族晶族：立方：立方 c c(cubic)(cubic)晶胞参数晶胞参数：a=b=c a=b=c =90=90 晶轴晶轴(即坐标轴即坐标轴)：让：让4 4个三重轴与立方体的对角线平行，这样个三重轴与立方体的对角线平行，这样立方体的立方体的3 3个互相垂直的边即为晶轴个互相垂直的边即为晶轴a,ba,b和和c c的方向的方向 (2).六方晶系六方晶系(hexagonal)特征对称元素特征对称元素：1个六重轴个六重轴C6 晶族晶族：六方：六方 h(hexagonal)晶胞晶胞：等于：等于1/3正六方棱柱的平行六正六方棱柱的平行六面体。面体。a=b =90 =1
30、20晶轴晶轴：c/六重轴六重轴 如果晶体有二重轴，则取如果晶体有二重轴，则取a,b/二重二重轴轴;如果晶体没有二重轴而有对称面，如果晶体没有二重轴而有对称面，则取则取a,b 对称面对称面;如果晶体没有二重轴和对称面，则如果晶体没有二重轴和对称面，则取取a,b为为 c的适当晶棱。的适当晶棱。(3).三方晶系三方晶系(trigonal)特征对称元素特征对称元素：1个三重轴个三重轴C3 晶族晶族：六方：六方 h(hexagonal)晶胞：晶胞：等于等于1/3正六方棱柱的平正六方棱柱的平行六面体行六面体 a=b =90 =120晶轴晶轴：c/三重轴三重轴 如果晶体有二重轴，则取如果晶体有二重轴，则取a
31、,b/二二重轴；重轴；如果晶体没有二重轴而有对称面，如果晶体没有二重轴而有对称面，则取则取a,b 对称面；对称面；如果晶体没有二重轴和对称面如果晶体没有二重轴和对称面,则取则取a,b为为 c的适当晶棱的适当晶棱(4).四方晶系四方晶系(tetragonal)特征对称元素特征对称元素：1个四重轴个四重轴C4 晶族晶族：四方：四方 t(tetragonal)晶胞晶胞：具有正方形底面的长方体：具有正方形底面的长方体 a=b =90晶轴晶轴：c/四重轴四重轴 如果晶体有二重轴，则取如果晶体有二重轴，则取a,b/二二重轴重轴;如果晶体没有二重轴而有对称面，如果晶体没有二重轴而有对称面，则则取取a,b 对
32、称面对称面;如果晶体没有二重轴和对称面，如果晶体没有二重轴和对称面，则取则取a,b为为 c的适当晶棱。的适当晶棱。(5).正交晶系正交晶系(orthorhombic)特征对称元素特征对称元素：3个互相垂直的二重轴个互相垂直的二重轴C2 或者两个互相垂直的对称面或者两个互相垂直的对称面晶族晶族：正交：正交 o(orthorhombic)晶胞晶胞：长方体：长方体 =90晶轴晶轴：如果晶体有：如果晶体有3个互相垂直的二重个互相垂直的二重轴，则取轴，则取a,b,c/二重轴二重轴;如果晶体有如果晶体有两个互相垂直的对称面，则取两个互相垂直的对称面，则取a,b 对称面，对称面，c为对称面的交线为对称面的交
33、线(6).单斜晶系单斜晶系(monoclinic)特征对称元素特征对称元素：1个二重轴个二重轴C2或者或者1个对称面个对称面晶族晶族：单斜：单斜 m(monoclinic)晶胞晶胞：=90晶轴晶轴：如果晶体有：如果晶体有1个二重轴，则取个二重轴，则取b/二重轴；如果晶体有二重轴；如果晶体有1个个对称面，则取对称面，则取b 对称面。对称面。a,c取取 b的适当晶棱的适当晶棱(7).三斜晶系三斜晶系(triclinic)特征对称元素特征对称元素：无：无晶族晶族：三斜：三斜 a(anorthic)晶胞晶胞：一般平行六面体：一般平行六面体晶轴晶轴：a,b,c取三个不共面的适当晶棱取三个不共面的适当晶棱
34、晶体所属晶系的确定晶体所属晶系的确定7个晶系，从立方晶系到三斜晶系，对称性逐渐降低。因此，确个晶系，从立方晶系到三斜晶系，对称性逐渐降低。因此，确定一个晶体的晶系时，首先确定该晶体具有的所有对称元素；定一个晶体的晶系时，首先确定该晶体具有的所有对称元素；然后按照对称性由高到低的顺序，从立方晶系到三斜晶系，然后按照对称性由高到低的顺序，从立方晶系到三斜晶系，逐个判定该晶体属于哪个晶系。当晶体同时具有几个晶系的逐个判定该晶体属于哪个晶系。当晶体同时具有几个晶系的特征对称元素时，总是将它归属于对称性最高的那个晶系。特征对称元素时，总是将它归属于对称性最高的那个晶系。例：晶体的晶系例：晶体的晶系(1)
35、.CsCl 立方晶系 素晶胞(2).Na 立方晶系复晶胞(2)(3).NaCl 立方晶系复晶胞(4)(4).金刚石金刚石 立方晶系复晶胞(4)abc(5).石墨石墨 六方晶系素晶胞3.晶体学点群晶体学点群 宏观对称性宏观对称性：晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对：晶体的理想外形及其在宏观观察中表现出来的对称性。称性。宏观对称元素与微观对称元素平行。由于宏观观察区分不了平宏观对称元素与微观对称元素平行。由于宏观观察区分不了平移的差异，因此微观结构中的螺旋轴、滑移面，在宏观中表移的差异，因此微观结构中的螺旋轴、滑移面，在宏观中表现为旋转轴和对称面。但由于晶体点阵平移性质的限制，旋现为旋转轴
36、和对称面。但由于晶体点阵平移性质的限制，旋转轴只能有转轴只能有1，2，3，4，6次轴。次轴。晶体中的宏观对称元素晶体中的宏观对称元素：对称中心：对称中心,镜面镜面,轴次为轴次为1,2,3,4,6的旋转轴和的旋转轴和4 次反轴等。次反轴等。晶体学点群晶体学点群：晶体中可能存在的各种宏观对称元素通过一个公：晶体中可能存在的各种宏观对称元素通过一个公共点，将它们按一切可能性组合起来，得到共点，将它们按一切可能性组合起来，得到32种形式，和这种形式，和这些形式对应的对称操作群就是些形式对应的对称操作群就是32种晶体学点群种晶体学点群。32个晶体学点群符号个晶体学点群符号：(1).Schoenflies
37、符号符号;(2).国际符国际符号号:3个位置表示某方向的对称元素。个位置表示某方向的对称元素。国际符号中国际符号中3个位置代表的方向个位置代表的方向 4.14种空间点阵型式种空间点阵型式 晶体的空间点阵形式晶体的空间点阵形式是指根据晶体的对称性，将点阵点在空间的分布按照晶族规定的晶胞形状和带心形式晶胞形状和带心形式进行分类，共有14种点阵形式，称为布拉维点阵形式。空间点阵型式的含义空间点阵型式的含义：在同一晶系中，所有晶体的点阵的对称性都相同，但不同晶体的点阵型式不一定相同。所谓点阵点阵型式是指点阵点在空间分布的方式型式是指点阵点在空间分布的方式。以立方晶系中的CsCl、金属Na和NaCl晶体
38、为例，考察同一晶系中不同晶体的晶胞与体积最小的素晶胞的异同。CsClNaNaCl(或金刚石)立方晶系中三种不同晶体的空间点阵型式 在CsCl中，可以划出立方体形的素晶胞；在金属Na和NaCl晶体中，无法划出立方体形的素晶胞。为了反映其立方晶系的对称性，必须用立方体形的晶胞。而其立方体形的晶胞必然是复晶胞，分别包含2个与4个点阵点，为带心的点阵形式(体心与面心)。14种空间点阵型式及其推求种空间点阵型式及其推求(1).7个晶系总共有个晶系总共有14种点阵型式，包括带心和不带心的。种点阵型式，包括带心和不带心的。(2).带心只能有面心、体心、带心只能有面心、体心、C心和心和R心四中型式心四中型式(
39、3).带心后的点阵型式必须不破坏所属晶系的对称性带心后的点阵型式必须不破坏所属晶系的对称性 aP mP mC oP oC oI oF 单斜单斜C hP hR tP tI cP cI cF 说明说明:(a).P简单 I体心 F面心 CC心 c立方(cubic)h六方(hexagonal)t四方(tetragonal)o正交(orthorhobic)m单斜(monoclinic)a三斜(anorthic)(b).六方晶系总可以划分出素的晶胞。(c).三方晶系按六方晶胞划分晶胞，可得到两种晶胞：一是素晶胞；一是带R心的晶胞(d).C心 abcaR心坐标：心坐标：(2/3,1/3,1/3);(1/3,
40、2/3,2/3)例：晶体的空间点阵型式例：晶体的空间点阵型式CsCl 立方晶系简单立方(cP)Na 立方晶系 体心立方(cI)NaCl 立方晶系面心立方(cF)金刚石金刚石 立方晶系面心立方(cF)石墨 六方晶系简单六方(hP)abc点阵的标记与点阵平面间距点阵的标记与点阵平面间距坐标系的建立坐标系的建立选取一点阵点为坐标原点，三个互不平行的单位矢量选取一点阵点为坐标原点，三个互不平行的单位矢量a,b,c为为晶轴矢量。晶轴矢量。1.点阵点指标点阵点指标 uvw 空间某点阵点都坐标原点的矢量为空间某点阵点都坐标原点的矢量为r，r=ua+vb+wc 该点阵点的指标为该点阵点的指标为uvw.2.直线
41、点阵指标直线点阵指标 uvw直线点阵中任意两个点阵点之间连一矢量直线点阵中任意两个点阵点之间连一矢量r,设设r=xa+yb+zc,设设x:y:z=u:v:w,uvw为互质的整数为互质的整数,则则uvw就是该直线就是该直线点阵的指标点阵的指标.显然该直线点阵显然该直线点阵/矢量矢量ua+vb+wc.3.平面点阵指标与晶面指标平面点阵指标与晶面指标 (hkl)平面点阵指标平面点阵指标:设有一平面点阵与设有一平面点阵与3个坐标轴个坐标轴x,y,z相交，在相交，在3个个坐标轴上的截距分别为坐标轴上的截距分别为r,s,t(以以a,b,c为单位的截距数目为单位的截距数目).设截设截距倒数比距倒数比1/r:
42、1/s:1/t可以成互质整数比可以成互质整数比 h:k:l,则平面点阵指标用则平面点阵指标用(hkl)表示表示。r,s,t=2,2,31/r:1/s:1/t=1/2:1/2:1/3=3:3:2晶面指标晶面指标:(332)平面点阵平面点阵(332)平面点阵平面点阵(553)几组平面点阵及其指标几组平面点阵及其指标(100):与a轴相截,与b轴,c轴平行(110):与a和b轴相截,与c轴平行(111):与a,b,c轴相截,截距之比为1:1:1和和z轴平行的各组点阵面在投影中的取向轴平行的各组点阵面在投影中的取向ab晶面指标晶面指标:晶体外形的晶面与一组平面点阵族平行晶体外形的晶面与一组平面点阵族平
43、行,可用该平可用该平面点阵族的指标面点阵族的指标(hkl)作为该晶面的指标。作为该晶面的指标。一般将坐标原点放在晶体的中心一般将坐标原点放在晶体的中心,晶面指标中的负号表示与坐标晶面指标中的负号表示与坐标轴的负向相截轴的负向相截.两个平行晶面的指标就分别为两个平行晶面的指标就分别为(hkl)与与().lkh)100)(010)(001)(001)(010)(100(立方体立方体NaCl的的6个晶面个晶面)111)(111)(111)(111)(111)(111)(111)(111(正八面体明矾的正八面体明矾的6个晶面个晶面4.平面间距平面间距 d(hkl)平面点阵族平面点阵族(hkl)中相邻两
44、个平面间的距离用中相邻两个平面间的距离用d(hkl)表示，表示，d(hkl)又称又称晶面间距，它与晶胞参数和晶面指标有关。晶面间距，它与晶胞参数和晶面指标有关。h,k,l数值越小，晶面间距越大，实际晶体外形中这个晶面出现数值越小，晶面间距越大，实际晶体外形中这个晶面出现的机会越大。实际晶体外形中出现的晶面，其晶面指标都是的机会越大。实际晶体外形中出现的晶面，其晶面指标都是简单的整数。简单的整数。立方晶系立方晶系222lkhadhkl212222234clakhkhdhkl六方晶系六方晶系正交晶系正交晶系21222222clbkahdhkl空间群与晶体结构的表达空间群与晶体结构的表达1.空间群的
45、推导和表达空间群的推导和表达空间群空间群:晶体结构具有空间点阵式的周期结构晶体结构具有空间点阵式的周期结构,点阵结构的全点阵结构的全部空间对称操作的集合构成一个群部空间对称操作的集合构成一个群,称为称为空间群空间群。空间对称操作的组合空间对称操作的组合：将点操作和平移操作组合在一起，可得：将点操作和平移操作组合在一起，可得到螺旋旋转到螺旋旋转(包括纯旋转包括纯旋转)，滑移反映和旋转倒反，滑移反映和旋转倒反(或旋转反映或旋转反映)三类复合操作，以及这些复合操作的对称元素出现的位置。三类复合操作，以及这些复合操作的对称元素出现的位置。如图如图:在在A点有对称中心点有对称中心,垂直纸面的垂直纸面的2
46、,3重轴重轴,通过平移通过平移t后后,在在A 与与B处都产生相应的对称元素处都产生相应的对称元素.AA BttAA BAA Bt空间群的推导空间群的推导(1).点式空间群和非点式空间群点式空间群和非点式空间群(2).点式空间群点式空间群:在在14种空间点阵型式基础上，将点阵型式和点种空间点阵型式基础上，将点阵型式和点群进行组合得到。群进行组合得到。(3).非点式空间群：在点式空间群的基础上，将其中的旋转轴非点式空间群：在点式空间群的基础上，将其中的旋转轴和镜面逐一地换成同形的对称元素，即将旋转轴换成同轴次和镜面逐一地换成同形的对称元素，即将旋转轴换成同轴次的螺旋轴，将镜面换成滑移面，抛弃其中不
47、可能的组合，把的螺旋轴，将镜面换成滑移面，抛弃其中不可能的组合，把其中相同的归并到一起。其中相同的归并到一起。得到得到73种点式空间群，与种点式空间群，与157种非点式空间群，共种非点式空间群，共230种空间群。种空间群。空间群的记号空间群的记号(1).Schoenflies符号符号(2).国际符号国际符号:第一个大写字母是空间点阵型式，其余三个位置第一个大写字母是空间点阵型式，其余三个位置的记号表示晶体中三个方向的对称元素。的记号表示晶体中三个方向的对称元素。amnPDh111162222空间群的对称元素分布空间群的对称元素分布C2h5 P 21/c的对称元素分布图的对称元素分布图对称中心对
48、称中心:晶胞顶点,边心,面心,与体心21螺旋轴螺旋轴:平行于b,通过点(0,0,1/4),(0,0,3/4),(1/2,0,1/4),(1/2,0,3/4)c滑移面滑移面:平行于ac面,位于b/4,3b/4处.等效点系等效点系晶胞中由所有对称操作相联系的一组点称为晶胞中由所有对称操作相联系的一组点称为一个等效点系一个等效点系.从晶胞中一个点出发从晶胞中一个点出发,在晶体所有的对称操作作用下得到的位于在晶体所有的对称操作作用下得到的位于晶胞中的所有点就构成一个等效点系晶胞中的所有点就构成一个等效点系.C2h5P21/c的等效点系的等效点系一般等效点系一般等效点系(x,y,z)(x,+y,z)(x
49、,y,+z)(x,y,z)特殊等效点系特殊等效点系(0,0,0)(0,)2.晶体结构的表达及应用晶体结构的表达及应用描述与表达晶体的结构描述与表达晶体的结构:晶胞大小与形状晶胞大小与形状,晶体内部原子坐标晶体内部原子坐标,晶晶体的对称性体的对称性.由于晶体的对称性由于晶体的对称性,晶体内原子坐标只需要不等价原子坐标晶体内原子坐标只需要不等价原子坐标.这里这里的的不等价原子不等价原子是只没有任何对称操作相联系的原子是只没有任何对称操作相联系的原子,而由对称而由对称操作相联系的原子为操作相联系的原子为等价原子等价原子.例例:二水合草酸二水合草酸(HOOC COOH 2H2O)(1).晶体结构表述晶
50、体结构表述 晶系晶系:单斜单斜 空间群空间群:C2h5 P 21/n 晶胞参数晶胞参数:a=609.69pm,b=349.75pm,c=1194.6pm =105.78,Z=2。原子坐标：原子坐标：(2).晶体的化学问题晶体的化学问题一般等效点系一般等效点系 分子中的化学键分子中的化学键 氢键氢键应用应用(1).利用晶胞参数可计算晶胞体积利用晶胞参数可计算晶胞体积(V)，根据相对分子质量，根据相对分子质量(M)、晶胞中分子数晶胞中分子数(Z)和和Avogadro常数常数N，可计算晶体的密度，可计算晶体的密度D：D=ZM/NV(2).利用晶胞参数和利用晶胞参数和2个原子在晶胞中的坐标参数个原子在
