1、14.3小波变换小波变换2傅立叶变换的局限性傅立叶变换的局限性只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此只能确定信号中有哪些频率，但不能确定此频率何时发生。频率何时发生。3傅立叶变换的局限性傅立叶变换的局限性 在实际中在实际中,时变信号是常见的，如语音信号、时变信号是常见的，如语音信号、地震信号、雷达回波等。地震信号、雷达回波等。在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时在这些信号的分析中，希望知道信号在突变时刻的频率成份刻的频率成份 在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应在实际应用中，也不乏不同的时间过程却对应着相同的频谱的例子。着相同的频谱的例子。45 4.3.1 Gabor变换变换 由于由于
2、FourierFourier变换存在着不能同时进行时间频率变换存在着不能同时进行时间频率局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。局部分析的缺点，曾出现许多改进的方法。19461946年年D.GaborD.Gabor提出一种加窗的提出一种加窗的FourierFourier变换方法，它在非变换方法，它在非平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的平稳信号分析中起到了很好的作用。是一种有效的信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似信号分析方法，而且与当今的小波变换有许多相似之处。之处。6 换句话说，该变换是用一个窗函数换句话说，该变换是用一个窗函数 g(tg(t-)与信号与信号f(tf(t)相乘
3、实现在相乘实现在 附近开窗和平移，附近开窗和平移，然后施以然后施以FourierFourier变换，这就是变换，这就是GaborGabor变换也称变换也称短时短时FourierFourier变换或加窗变换或加窗FourierFourier变换。变换。GaborGabor变换的定义由下式给出：对于变换的定义由下式给出：对于 f(tf(t)L)L2 2(R)(R)7 (1).Gabor变换的定义变换的定义在在GaborGabor变换中，把非平稳过程看成是一系列短变换中，把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗时平稳信号的叠加，而短时性是通过时间上加窗来实现的。整个时域的
4、覆盖是由参数来实现的。整个时域的覆盖是由参数的平移达的平移达到的。到的。8 (,)()()jtff t g tedt G其中其中 是积分核。该变换在是积分核。该变换在 点附近点附近局部测量了频率为局部测量了频率为 的正弦分量的幅度。通常的正弦分量的幅度。通常g(t)选择能量集中在低频处的实偶函数；选择能量集中在低频处的实偶函数；()j tg te（1）9 D.Gabor采用高斯(Gauss)函数作窗的函数，相应的Fourier变换仍旧是Gauss函数，从而保证窗口Fourier变换在时域和频域内均有局部化功能。10令窗口函数为令窗口函数为)(tgaataea tg4/221)()(tga则有则
5、有：式中式中a决定了窗口的宽度，决定了窗口的宽度，的的FourierFourier变换变换用用 表示。表示。()aG（2）11 显然信号显然信号f(t t)的的GaborGabor变换按窗口宽度分解了变换按窗口宽度分解了f(t(t)的频谱的频谱 F(F()。提取出它的局部信息。提取出它的局部信息。当当 在整个时间轴上平移时，就给出了在整个时间轴上平移时，就给出了FourierFourier的完整变换。的完整变换。12相应的重构公式为：相应的重构公式为：1()()()2j taf tGg ted dt窗口窗口FourierFourier变换是能量守恒变换，即变换是能量守恒变换，即:221()()
6、2af tdtGd d（3）（4）13 但但GaborGabor变换的时频口是固定不变的，窗口没变换的时频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是高效算法，这是GaborGabor变换的主要缺点，因此也变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。就限制了它的应用。14 小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地小波的概念是由法国的从事石油勘测信号处理的地球物理学家球物理学家J.Morlet于于1984年提出的。他在分析地年提出的。他在
7、分析地震波的时频局部特性时震波的时频局部特性时,希望使用在希望使用在高频处时窗变窄高频处时窗变窄,低频处频窗变窄低频处频窗变窄的自适应变换。但的自适应变换。但Fourier变换很难变换很难能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，能满足这一要求，随后他引用了高斯余弦调制函数，将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为将其伸缩和平移得到一组函数系，它后来被称之为“Morlet小波基小波基”。3.4.2 小波变换小波变换15 Morlet这一根据经验建立的公式当时并未得到数这一根据经验建立的公式当时并未得到数学家的认可，幸运的是学家的认可，幸运的是A.Caldron的发现、的发现、Hardy
8、空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作空间原子分解的深入研究已为小波变换的诞生作了理论上的准备。了理论上的准备。16 后来，后来，J.o.Stromberg构造了第一个小波基。构造了第一个小波基。1986年著名的数学家年著名的数学家Y.Meyer构造了一个真正构造了一个真正的小波基，并与的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波合作建立了构造小波基的统一方法多尺度分析。基的统一方法多尺度分析。17 从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得从此，小波分析开始了蓬勃发展的阶段。值得一提的是比利时女数学家一提的是比利时女数学家I.Daubechies的的“Ten lectures on W
9、avelet”一书对小波的普及应用起一书对小波的普及应用起了重要的推动作用。了重要的推动作用。18 19861986年年S.JafferdS.Jafferd、Y.MeyerY.Meyer与从事信号处理的与从事信号处理的S.mallatS.mallat合作指出小波正交基的构造可纳入一个统合作指出小波正交基的构造可纳入一个统一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造一框架，引入多分辨分析的概念，统一了前人构造的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波的具体小波，并给出了多分辨分析的构造正交小波基的一般化方法。基的一般化方法。S.MallatS.Mallat还提出了小波变换的快还提出了小波变换的
10、快速分解与重构算法，现在称之为速分解与重构算法，现在称之为MallatMallat算法算法。小波变换的快速算法小波变换的快速算法Mallat19 为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适为了提取高频分量，时域窗口应尽量窄，频域窗口适当放宽。当放宽。对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽对于慢变的低频信号，时窗可适当加宽，而频窗应尽量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。量缩小，保证有较高的频率分辨率和较小的测量误差。总之，对多尺度信号希望时频窗口有自适应性，高总之，对多尺度信号希望时频窗口有自适应性，高频情况下，频窗大，时窗小，低频情况下，频窗小，频情况下，频窗大，时窗小
11、，低频情况下，频窗小，时窗大。时窗大。20 但但GaborGabor变换的时频口是固定不变的，窗口没变换的时频口是固定不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现过程，而且其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是高效算法，这是GaborGabor变换的主要缺点，因此也变换的主要缺点，因此也就限制了它的应用。就限制了它的应用。211.1.小波小波 形如下式的形如下式的函数称之为小波函数称之为小波。,1()a btbtaa其中其中a为尺度参数，为尺度参数，b是定位参数。是定位参数。4.3.3 连续
12、小波变换连续小波变换（5）22若若a1，函数函数 具有伸展作用，具有伸展作用，若若0a1，函数函数 具有收缩作用。而其具有收缩作用。而其FourierFourier变换变换 则恰好相反。伸缩参数则恰好相反。伸缩参数a对对小波小波 的影响见下图。小波的影响见下图。小波 随伸缩参数随伸缩参数a平移参数平移参数b而变化如下图所而变化如下图所示。示。a bt,()()(,tbaa bt,()a bt,()23a:a1。24)(tabba,小波的波形随参数变化的情形)(10,5.0ta btt,()()2 15252)(ttetabtt,()()215)(10,5.0t图中小波函数为 。当a=2,b=1
13、5时，的波形 从原点向右移至t=15且波形展宽，a=0.5,b=-10时，则是从原点向左平移至t=-10处且波形收缩。)(t26 随着参数随着参数a的减小，的减小，的支撑区也随之变窄，的支撑区也随之变窄，而而 的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。的频谱随之向高频端展宽，反之亦然。这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率这就有可能实现窗口大小自适应变化，当信号频率增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于增高时，时窗宽度变窄，而频窗宽度增大，有利于提高时域分辨率，反之亦然。提高时域分辨率，反之亦然。a bt,(),()a b27小波小波 的选择既不是唯一的，也不是任意的。的选择既不是唯一的，
14、也不是任意的。这里这里 是归一化的具有单位能量的解析函数是归一化的具有单位能量的解析函数，它应满足如下几个条件：它应满足如下几个条件：()t()t(1)(1)定义域应是紧支撑的定义域应是紧支撑的(Compact Support)(Compact Support)，换句，换句话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就话说就是在一个很小的区间之外，函数为零，也就是函数应有是函数应有速降特性速降特性。28(2)平均值为零，即：tt dtkNk(),0011 该条件也叫该条件也叫小波的容许条件小波的容许条件(Admissibility Condition)其高阶矩也为零。其高阶矩也为零。()t dt
15、0（6）（7）29式中 ,是有限值 C它意味着 处 连续可积2()Cd()()j tt edt()00)()0(dtt（8）（9）30 上面两个条件可概括为，上面两个条件可概括为，小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。由上式可以看出，小波 在 t 轴上取值有正有负才能保证式上式积分为零。所以 应有振荡性。()t()t31 小波变换：dtabtatfdtttfbaWbaf1)()()(),(,af tLR02,()()设函数 具有有限能量，即:)(tff tLR()()2（10）则小波变换的定义如下：32其中，积分核就是函数族：其中，积分核就是函数族：如果如果 是复变函数时，上式采用复共轭函是复
16、变函数时，上式采用复共轭函数数 。a bt,()a bt,()abtatba1)(,（11）33对于所有的 ，连续小波逆变换由式（11）给出。)(tf()()tLR2f tCaWa bt dadbfa b()(,)(),12(11)2()Cd 其中34 图 3加窗Fourier分析和小波分析的时频特性比较35a)f7f8f9f6f5f4f2f3f频率恒定带宽(STFT)b)2f8ff4f频率恒定相对带宽(小波变换WT)图 4 Gabor）变换特性（a）和小波滤波特性(b)36 图图4 4显示了显示了GaborGabor变换与小波变换的滤波特变换与小波变换的滤波特性。性。由图可见由图可见Gabo
17、r滤波是恒定带宽滤波，滤波是恒定带宽滤波，而小波滤波随着中心频率增加而带宽加大。而小波滤波随着中心频率增加而带宽加大。37 3.3.几种典型的一维小波几种典型的一维小波 小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均小波的选择是灵活的，凡能满足条件的函数均可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的可作为小波函数，这里仅介绍几种具有代表性的小波以供参考。小波以供参考。38该正交函数是由该正交函数是由A.HaarA.Haar于于19101910年提出的，对年提出的，对t t平移时平移时可得到：可得到：0 121 1210 1 )(其他tttH(12)（1）Haar小波小波39HHttn dtn()(),
18、0012 (13)其波形如图 5所示：图 5 Haar 小波 40（2）Mexico Hat小波Mexico Hat小波是Gauss函数的二阶导数，即：222)1(4132)(tett(13)Mexico Hat小波也叫Marr小波，Mexico Hat小波是实值小波，它的更普遍的形式由下式给出：即由Gauss分布的n阶导数给出：41 4.4.小波变换的基本性质小波变换的基本性质（1）线性小波变换是线性变换。设 为 的小波变换,Wa bf 1(,)ft1()则有:f tftft()()()12 ),(),(),(21baWbaWbaWfff(14),(2baWf)(2tf 为 的小波变换,42
19、（2）平移和伸缩的共变性）平移和伸缩的共变性连续小波变换在任何平移连续小波变换在任何平移 b0 之下是共变的，即：之下是共变的，即：如果如果 是小波变换关系，则是小波变换关系，则也是小波变换关系。也是小波变换关系。),()(baWtff),()(00bbaWbtff43 4.3.4 离散小波变换离散小波变换 1.离散小波的定义：离散小波的定义：在连续小波变换中，伸缩参数和平移参数连续取值，在连续小波变换中，伸缩参数和平移参数连续取值，连续小波变换主要用于理论分析，在实际应用中离连续小波变换主要用于理论分析，在实际应用中离散小波变换更适于计算机处理。散小波变换更适于计算机处理。44离散小波的定义
20、可由下式表示：mnmmmmmtatnb aaaatnb,()100 000200 (15)45dtnbtatfadtttfafmmnmmnm0020,20,)()()(,(16)相应的离散小波变换可由下式定义相应的离散小波变换可由下式定义：46l在Fourier变换中，基函数是 ，理论上基函数的支撑区无论在时间上还是在频率域都是无限的，而小波变换的支撑区是有限的，甚至是紧支集，只有这样才能使小波变换具有局域特性。j te47l但是，与Fourier变换相比，小波变换的基函数 l 却不是唯一的，满足一定条件下的函数均能作为小波基函数，因而，寻找具有优良特性的小波基函数就成为小波理论的一个重点研究
21、课题。)(,tba48由离散小波的定义，如果把由离散小波的定义，如果把 t 也离散化，并选择也离散化，并选择 a0=2,b0=1，则可得到二进小波，则可得到二进小波:)2(22221)(2,ntnttmmmmmnm (17)49661 二维连续小波二维连续小波(1)二维连续小波变换的定义 二维连续小波以变换的定义如下：(18),1212,1212121212,12,(,)(,)(,),0(,)(,)1(,)()a bfa ba bfWa b bf t tt t dt dtat tb bf t tdt dtaa5031212,121201(,)(,)(,)fa baf t ta Wa b bt t dadbdbC逆变换为 (19)
