1、连续型随机变量的分布（优选）第六讲连续型随机变量的分布ABBAABA ()().aP A1 P A1 0703 （2）A,B相互独立，则相互独立，则 也相互独立，从而也相互独立，从而,A B()()()()()()()()P ABP AP BP ABP AP BP A P B .().().3071 a031 a03a7 即即四四 解：电路系统如图解：电路系统如图设设M为事件为事件“电路发生断电电路发生断电”，A,B,C分别为事分别为事件件“电池电池A,B,C正常正常”，则，则()()()()()()()()()()().P MP ABCP AP BCP ABCP AP B P CP A P
2、B P C03 02 02 03 02 020328 第六讲第六讲连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样,以指定它取每以指定它取每个值概率的方式个值概率的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的的方式方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法的描述方法.设设 X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积
3、函数可积函数 f(x),使得使得xttfxFxd)()(其中其中F(x)是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X 是连续型随机变量，是连续型随机变量，f(x)是它的概率密是它的概率密度函数度函数(p.d.f.)，简称为概率密度或密度函数，简称为概率密度或密度函数一、连续型随机变量的概念一、连续型随机变量的概念1、定义、定义-10-550.020.040.060.08xf(x)xF(x)分布函数分布函数F(x)与概率密度与概率密度 f(x)的几何意义的几何意义)(xfy 2、概率密度、概率密度 f(x)的性质的性质1)0)(xf2)1)(d)(Fxxf常利用这两个性质检验一个函数能否作常利用这两
4、个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的概率密度为连续型随机变量的概率密度，或求，或求其中的未知参数其中的未知参数 故故 X的密度的密度 f(x)在在 x 这一点的值，恰好是这一点的值，恰好是X落在区间落在区间 上的概率与区间长度上的概率与区间长度 之比的极限之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度相当于线密度.x,(xxx 若若x是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：xxxXxPxxFxxFxFxx)(lim)()(lim)(003.对对 f(x)的进一步理解的进一步理解:)()(lim0 xfxdttfxxxx3)在在 f(x)的连续点
5、处，的连续点处，)()(xFxf X在在 x 附近单位长度的区间内取值的概率附近单位长度的区间内取值的概率.,f(x)描述了描述了 当 时,f(x)描述了而 X=a 并非不可能事件因为XN(170,62),且 P 2 X 0 为常数为常数1xF(x)0 xf(x)0对于任意的对于任意的 0 a b,babaxeeaFbFxebXaP )()(d应用场合应用场合用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分
6、布的近似分布的近似若若 X(),则则所以，又把指数分布称为所以，又把指数分布称为“永远年轻永远年轻”的分布的分布tXPsXtsXP 指数分布的指数分布的“无记忆性无记忆性”事实上事实上,sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP )(1)(111)(tXPeeesFtsFsXPtsXPtsts 例例4 假定一大型设备在任何长为假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生的时间内发生故障的次数故障的次数 N(t)服从参数为服从参数为 t 的的Poisson分布分布,求相继两次故障的时间间隔求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布的概率分布(2)求设备已经无故障运行小时的情况下，再求设备已经无故障
7、运行小时的情况下，再无故障运行无故障运行 10 小时的概率小时的概率.解解(1)(tTPtFT 0,10,0ttTPt0)(tNPtTPtteet !0)(0 0,10,0)(tettFt 0,0,0)(tettft 即即)(ET8108818 TTPTTP 1010 eTP(2)由指数分布的由指数分布的“无记忆性无记忆性”3、正态分布正态分布若若X 的概率密度为的概率密度为xexfx222)(21)(则称则称 X 服从参数为服从参数为 ,2 的正态分布的正态分布记作记作 X N(,2),为常数，为常数，0N(-3,1.2)-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.33f
8、 x()f(x)的性质：的性质：q 图形关于直线图形关于直线 x=对称：对称：f(+x)=f(-x)在在 x=时时,f(x)取得最大值取得最大值21在在 x=时时,曲线曲线 y=f(x)在对应的点处有在对应的点处有拐点拐点(,f().曲线曲线 y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线曲线曲线 y=f(x)的图形呈单峰状的图形呈单峰状21)(1)(XPFFXP-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3q f(x)的两个参数：的两个参数：位置参数位置参数即固定即固定 ,对于不同的对于不同的 ,对应的对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同的形状不变化，只是位置不同 形状参数
9、形状参数固定固定 ，对于不同的，对于不同的 ，f(x)的形状不同的形状不同.若若 1 2 则则212121比比x=2 所对应的拐点更靠近直线所对应的拐点更靠近直线 x=附近值的概率更大附近值的概率更大.x=1 所对应的所对应的拐点拐点前者取前者取 Showfn1,fn3-6-5-4-3-2-10.10.20.30.40.5 大大 小小一种重要的正态分布一种重要的正态分布：N(0,1)标准正态分布标准正态分布xexx2221)(它的分布函数记为它的分布函数记为 (x)，其值有专门的表可查，其值有专门的表可查 (x)是偶函数，其图形关于纵轴对称是偶函数，其图形关于纵轴对称xtexxtd21)(22
10、5.0)0()(1)(xx1)(2|aaXP 5.0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4对一般的正态分布对一般的正态分布：X N(,2)其分布函数其分布函数xttexFd21)(222)(作变量代换作变量代换ts2xs21F xeds2()baP aXbF bF a()()aP Xa1F a1()x ts 即若即若X N(,2),则则XN(0,1)3 原理原理设设 X N(,2),求求)3|(|XP解解333|XPXP33 33 13219987.029974.0在一次试验中在一次试验中,X 落入
11、区间落入区间(-3 ,+3 )的概率为的概率为 0.9974,而超出此区间的可能性很小而超出此区间的可能性很小由由3 原理知原理知，1)(3,0)(3bbaa时时当当标准正态分布的上标准正态分布的上 分位数分位数 z 设设 X N(0,1),0 1,称满足称满足 zXP的点的点 z 为为X 的上的上 分位数分位数 z 常用的几个数据常用的几个数据645.105.0z96.1025.0z-3-2-11230.10.20.30.4 例例5 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的.设男子设男子身高身高XN(170,
12、62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.看一个应用正态分布的例子看一个应用正态分布的例子:例4 假定一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是求相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布)，简称为概率密度或密度函数所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是例3 设X的概率密度为则称 X 服从 参数为的指数分布常利用这两个性质检验
13、一个函数能否作为连续型随机变量的概率密度，或求其中的未知参数即 h=170+13.称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.若x是 f(x)的连续点，则：它的分布函数记为(x)，其值有专门的表可查记作 X N(,2)x=1 所对应的拐点当 时例5 公共汽车车门的高度是按男子与车门例3 设X的概率密度为设事件 A 表示一只晶体管的寿命小1500小时的点 z 为X 的上 分位数因为因为XN(170,62),),)1,0(6170NX)6170(h故故 P(X0.996170h所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门
14、碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.例例6 设设 X N(1,4),求求 P 0 X 1.6,P|X|4解解 210216.16.10 XP 5.03.0 5.013.0 6915.016179.0 3094.0 PXPX|4 44 414122 1.52.5 1.512.5 0.933210.99380.9270 （等于以曲线y=f(x)为曲边，底为(a,b的曲边梯形的面积)身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?使EF 与AB间的距离为x的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)
15、的点 z 为X 的上 分位数,f(x)描述了分布函数F(x)与概率密度 f(x)的几何意义即 h=170+13.连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.看一个应用正态分布的例子:对 f(x)的进一步理解:(3)已知一只收音机上装有3只这样的晶体管，例2 在高为h 的 ABC 中任取一点M,点M到当 时连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的
16、方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?由P(A)=0,不能推出即固定 ,对于不同的 ,对应的 f(x)下面我们来求满足上式的最小的 h.即 h=170+13.设M为事件“电路发生断电”，A,B,C分别为事件“电池A,B,C正常”，则下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.其中F(x)是它的分布函数对 f(x)的进一步理解:的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.X落在区间 上的概率与区间长度(x)是偶函数，其图形关于纵轴对称对 f(x)的进一步理解:（等于以曲线y=f(x)为曲边，底为(a,b的曲边梯形的面积)所以 =2.而 X=a 并非不可能事件例3 设X的概率密度为可积函数 f(x),使得它的分布函数记为(x)，其值有专门的表可查下面我们来求满足上式的最小的 h.看一个应用正态分布的例子:它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .例例7 已知已知),2(2NX且且 P 2 X 4 =0.3,求求 P X 0.解一解一 200XP 21 222442XP)0(2 3.0 8.02 2.00 XP
