1、2019 年山西省八校高三上学期第一次联考 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 1 |10, 2 R x Ax xBy yx ，则AB （ ） A1,) B(1,) C(, 1 D(, 1) 1答案：B 解析： 2 |10 |11(, 1)(1,)Ax xx xx 或， 1 , |0(0,) 2 x By yxy y R，则(1,)AB 2已知1 i i ( ,) 12i R b aa b ，则2ab（ ）
2、A4 B4 C5 D5 2答案：D 解析： 211 1i i1i(12i)(i)2(1 2 )i, 1 2312i aa b abaaa abb ，25ab 3如图所示的折线图表示某一商场一年中各月的收入、支出情况，则下列说法中错误的是（ ） A全年收入 1 至 2 月份增速最快 B全年中 2 月份支出最高 C四个季度中第二季度的月平均支出最低 D利润最低的月份是 5 月份（利润收入支出） 3答案：D 解析：从折线图看出 1 至 2 月份收入数据的连线斜向上，且最陡，故 A 正确； 从折线图可以看出支出的最高点是 2 月份，故 B 正确； 由折线图可看出第二季度的总支出最低，故第二季度的月平均
3、支出最低，故 C 正确； 5 月份的利润为30 1020（万元） ，8 月份的利润为504010（万元） ，2010，故 D 错误 4若 2 cos 63 ，则 5 cos2 3 （ ） A 7 9 B 7 9 C 1 9 D 1 9 4答案：C 解析： 2 541 cos2cos 22cos22cos121 366699 5已知实数, x y满足约束条件 1 22 y xy xym ，若2zxy的最小值为3，则实数m （ ） A0 B2 C1 D5 5答案：A 解析： 作出 1 22 y xy 表示的平面区域如图所示， 作直线23xy ， 与可行域的边界交于点( 1,1)A ， 则直线xym
4、必过点( 1,1)A ，所以0m x y 1y 22xy xym 23xy A 6 九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” 已知某“堑堵”的三视图如图所示， 在该“堑堵”的表面积为（ ） A1 394 B1 322 C1 800 D1 650 6答案：C 解析：将正视图中的直角三角形记为ABC，如图，90ACB，过点C作CDAB，垂足为D， 则16,25 169BDAD， 由ACDCBD， 得 ADCD CDBD ， 即 2 9 16144CDAD BD ， 12CD，由勾股定理可得15,20ACBC，所以 1 25 12150 2 ABC S ，所以三棱柱的表面积 为2 1502
5、5 (152025)1800 A C B D 7函数 2 ( )2 x f xx的图象大致为（ ） 7答案：C 解析：由题意知，当0x 时，( )2 ln2 x fxax，当0x 时，21, 20,( )ln20 x xfx， 说明函数( )f x的图象在y轴右侧开始时是单调递增的，故排除选项 A，B，D，选 C 8某工厂安排 6 人负责周一至周六的中午午休值班工作，每天 1 人，每人值班 1 天，若甲、乙两人需安 排在相邻两天值班，且都不排在周三，则不同的安排方式有（ ） A192 种 B144 种 C96 种 D72 种 8答案：B 解析：甲、乙两人可以排在周一周二两天，也可以排在周五周五
6、两天，也可以排在周五周六两天，所以甲、 乙两人的安排方式有 2 2 36A （种） ，其他 4 个人要在剩下的 4 天全排列，所以所有人的安排方式有 4 4 66 24144A （种） 9已知 12 ,F F分别是双曲线 2 2 2 1(0) y xb b 的左、右焦点，点P为双曲线右支上一点，满足 22 0OPOFF P （O为坐标原点） ，且 12 2 5 cos 5 PFF，则该双曲线的离心率为（ ） A3 B2 C3 D5 9答案：D 解析：由 22 0OPOFF P 可得 2 OPOF，又因为OP是 12 PFF的中线，所以 12 PFF是直角三 角形， 12 90FPF，所以 1
7、12 12 2 cos 5 PF PFF FF ，不妨设 112 2,5PFFF，则 2 1PF ， 所以双曲线的离心率 12 12 2 5 2 FFcc e aaPFPF P F2F1 O 10已知函数 2 ( )3 3sincos3cos 444 xxx f xm在0,2 上的最小值为 3 2 ，点A为函数( )f x在y 轴右侧的第一个最高点， 点B为函数( )f x在y轴右侧的第二个对称中心，O为坐标原点， 则tanBAO （ ） A 2 11 29 B 11 29 C 9 2 D 1 10答案：A 解析： 1 cos 3 333 2 ( )sin33sincos13sin 22222
8、2262 x xxxx f xmmm ， 当02x时， 7 6266 x ，所以当2x时，函数( )f x取得最小值 3 (2 ) 2 fm ， 所以( )3sin 26 x f x ，令 262 x ，得 2 3 x ， 2 ,2 3 A ，令2 26 x ，得 11 3 x ， 所以 11 ,0 3 B ，取点 2 ,0 3 D ，则ADOB， 2 tan, tan 9 OACBAC ， 所以 2 2 tantan11 9 tantan() 2 1tantan29 1 9 OACBAC BAOOACBAC OACBAC 4 3 2 1 1 2 3 2 3 2 25 2 37 2 A CB
9、O 11如图 1，在直角梯形ABCD中，/,2,ADBCBCCDADBCBCCD M是AD的中点， N是AM的中点， 把ABM沿直线BM翻折， 连接,BN CM， 如图 2， 设AMD， 当异面直线CM 与BN所成的角是60时，cos（ ） A B C DM N N M BC D A 图图1图图2 A 6 1 3 B 10 2 2 C 6 1 3 D 10 2 2 11答案：B 解析： 在图 2 中， 延长DM到E， 使MEMD， 连接,BE NE， 则/BEMC， 则60EBN或120， 设2BC ，则1,2,2 2,5MNMEBEBN，当60EBN时， 在EBN中， 222 2cos608
10、52 2 25cos60132 10ENBEBNBE BN ， 在EMN中， 222 2cos()54cosENMEMNME MN， 所以132 1054cos，解得 10 cos2 2 N M D A E 当120EBN时，同理可得 10 cos21 2 ， 故舍去 12已知函数( )(2)(0) x f xkxexx，若( )0f x 的解集为( , )s t，且( , )s t中恰有两个整数，则实 数k的取值范围为（ ） A 2 11 1,2 ee B 43 11 12 , 23ee C 2 1 ,1 e D 32 12 1 ,1 3ee 12答案：D 解析：令( )(2)0 x f x
11、kxex，得2 x x kx e ，设( )(0) x x g xx e ，则 1 ( )(0) x x g xx e ，则 当(0,1)x时，( )0g x，( )g x单调递增； 当(1,)x时，( )0g x，( )g x单调递减 当x 时， ( )0g x ，作出( )g x及函数2ykx的大致图象如图所示( )0f x 的解集为( , )s t，且( , )s t中恰有 两个整数解，由图可知，这两个整数解为 1 和 2，从而有 2 3 2 22 3 32 k e k e ，解得 32 121 1 3 k ee 0.5 0.5 1 1.5 2 123 O 二、填空题：本题共 4 小题，
12、每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知向量(8, ),( ,1)axbx ，若 / 2abab ，则x 13答案：2 2 解析： (8,1), 2(16, 21),/ 2abx xabxxabab ， (8)(21)(16)(1)0xxx x，即 2 3240x，解得2 2x 解法二：定理：若 1122 /x ay bx ay b ，则 1221 0x yx y或/ab 2 / 2,/ ,8,2 2abababxx 14如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则 此点取自阴影部分的概率是 14答案： 3 34 解析：设半圆的半
13、径为 2，则长方形的宽为 2，长为 4，长方形的面积为2 48，在阴影中作如图所示的 辅助线，则易知 2 12128 222 2 sin2 3 23233 S 阴影 所以此点取自阴影部分的概率 是 8 2 3 3 3 834 15已知A是抛物线 2 4yx 上的动点，点A在y轴上的射影是点C，B是圆 22 :(3)(2)1Dxy 上的动点，则ABAC的最小值是 15答案：2 52 解析：11122 52ACABACADAFADDF ， 当且仅当, ,A F B D四点共线时等号成立 16某三个港口,A B C的位置如图所示，其中B在A南偏西30方向，相距80 n mile，,A C两地相距 3
14、 2 1 1 224 B C F D O A 150 n mile，现有两艘船分别从,A B港口同时出发，其中货船从A港口直线驶往C港口，速度为 25 节， 海警船从B港口出发往正东方向行驶，速度为(20 15 3)节，2 小时后，货船在D处发生故障，停止航 行并发出求救信号，海警船即时收到求救信号并立刻向货船所在位置航行， 当时海警船所处位置E距C港 口100 3 n mile，记海警船向货物航行的方向为北偏西，则sin 注：n mile即海里，1 节1n mile/h A B C 北北 D E 30 16答案： 3 34 10 解析：由条件知50 n mile,(4030 3) n mil
15、eADBE，连接AE，过点A作AHBE于点H， 则80 cos3040 3 (n mile),80 sin3040(n mile),30 3 (n mile)AHBDEHBEBH 22 50 3(n mile)AEAHEH，又150 n mile,100 3 n mileACCE，所以90CAE， 又50 n mileAD ，所以可知30AED，30EAHAEDEAH ， 而 34 sin, cos 55 EAHEAH， 所以 33413 34 sinsincos30cossin30 525210 EAHEAH 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必
16、考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 A B C 北北 D E 30 H 80 40 30 3 100 3 50 3 150 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 2a ， 1 224(2,) nn anann N，数列 n b的通项 n n S b n 证明： （1）数列 n b是等差数列； （2） 222 12 111 1 n bbb 17 （1） 1 224(2,) nn anann N，不妨设 1 ()2( (1) nn aknbak nb ， 整理得： 1 22 nn akn
17、akb ，所以2, 24kkb，解得0b ， 1 222(1) (2,) nn anannn N，1 分 当1n 时， 1 220 n ana，2 分 20 n an，即2 () n an n N，3 分 1 (22 )(1) 2 n Snnn n4 分 1 n n S bn n ，5 分 1 (2)(1)1 nn bbnn 为常数，所以数列 n b是等差数列6 分 （2）由（1）知 22 11111 (1)(1)1 n bnn nnn ，9 分 222 12 111111111 111 22311 n bbbnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，已知底面为正三角形的直三棱柱
18、 111 ABCABC中， 1 AAAB，D为AB的中点，E为 1 CC的中 点 （1）证明：平面 1 CDC 平面 1 C AB； （2）求二面角 1 ABCE的余弦值 18解析： （1）ABC为等边三角形，D是AB的中点，ABCD1 分 AB C D E A1 B1 C1 1 CC 平面ABC，AB 平面ABC， 1 CCAB2 分 1 CCCDC，AB平面 1 CDC4 分 AB 平面 1 C AB，平面 1 CDC 平面 1 C AB5 分 （2）取BC的中点O，连接AO，则AOBC，又 1 CC 平面ABC，所以 1 CCAO， 且 1 BCCCC，AO平面 11 BCC B7 分
19、以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，易知平 面 11 BCC B的一个法向量为(1,0,0)m 8 分 设2AB ，则 11 ( 3,0,0),(0,1,0),(0, 1,2)ABAAABC， 1 ( 3, 1,0),(0, 2,2)BABC 9 分 设平面 1 ABC的法向量为( , , )nx y z ，则 1 30 220 n BAxy n BCyz ， 取1x ，则3yz，(1, 3, 3)n 为平面 1 ABC的一个法向量，11 分 17 cos, 711 33 m n m n mn ， 易知二面角 1 ABCE为锐二面角，二面角 1
20、 ABCE的余弦值为 7 7 12 分 A B C D E A1 B1 C1 O xy z 19 （本小题满分 12 分） “2018 弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于 2018 年 11 月 26 日在深圳举行，会议同期举行了“深圳 市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式从 2019 年 1 月起到 12 月，深圳市文化和健康发展促进会将连 续举办 52 场中华优秀传统文化公益讲堂，邀请多位名家名师现场开讲某学校文学社为相应这次活动， 举办了中华古诗词背诵比赛，统计的成绩（单位：分）的数据如频率分布直方图所示，已知成绩在80,90) 内的有 50 人 （1）求 a 的值及参加比赛的总人数
21、（2）分别从80,90), 90,100分数段中选取 1 人和 2 人组成“优胜”队，与另一学校的“必胜”队的三 人进行友谊赛，两队的选手每人均比赛 1 局，共比赛 3 局，胜 1 局得 1 分，输 1 局得 0 分，没有平局已 知“优胜”队中成绩在80,90)内的选手获胜的概率为 2 5 ，在90,100内的 2 名选手获胜的概率分别为 2 3 , 3 7 ，记“优胜”队得分为随机变量X，求X的分布列，并用统计学的知识说明哪个队的实力较强 19解析： （1）由题意可得(0.010.020.03) 101a，解得0.04a 1 分 因为成绩在80,90)内的有 50 人，且成绩在80,90)内
22、的频率为0.02 100.2，2 分 所以参加比赛的总人数为 50 250 0.2 4 分 （2）X 的所有可能取值为 3，2，1，0， 22342241232338 (3),(2) 3573535735735721 P XP X， 234133124411344 (1),(0) 35735735710535735 P XP X X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 4 35 41 105 8 21 4 35 44184157 ()0123 351052135105 E X 9 分 设“必胜”队的得分为随机变量Y， 158 3,3,( )(3)3() 105 XYYXE YEXE X11 分
23、 ( )()E YE X，“必胜”队的实力较强12 分 20 （本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的离心率为 1 2 ，左、右焦点分别为 12 ,F F，椭圆的一条弦AB过 其右焦点 2 F，AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点,C D， 1 ABF的周长为 8 （1）求椭圆E的方程； （2）若直线AB的斜率k存在且0k ，求四边形ABCD的面积S的取值范围 O A B C D F1 F2 M x y 20解析： （1）由 1 2 c e a 得2ac，1 分 由题意及椭圆的定义知 1 ABF的周长为 111212 48ABAFBFBFBFAF
24、AFa， 得2,1ac ，3 分 222 3bac，4 分 椭圆E的方程为 22 1 43 xy 5 分 （2）由题意可知直线AB的方程为(1),0yk xk，将其代入 22 1 43 xy ，消去y得： 2222 (43)84120kxk xk， 2 144(1)0,k 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy， 则 22 1212 22 8412 , 4343 kk xxx x kk 6 分 222 222 1212 222 12 (1)12(1) 1()4(1) (43)43 kk ABkxxx xk kk ，7 分 2 22 43 , 4343 kk M kk ，直线OM的斜率
25、 3 4 OM k k ， 直线OM的方程为 3 4 yx k 8 分 由 22 1 43 3 4 xy yx k ，得 2 2 4 43 4 43 k x k k y k 或 2 2 4 43 4 43 k x k k y k ， 不妨设 2222 4343 , 43434343 kk CD kkkk ，9 分 点,C D到直线AB的距离之和为 2 (1)(1) 1 CCDD CD k xyk xy dd k 2 2 22 (1)(1)()() 43 2 1 11 CCDD CDCD k xyk xyk xxyy k k kk 10 分 222 2222 1112(1)43111 21212
26、(0) 224314344(43) CD kkk SAB ddk kkkk 11 分 S的取值范围为(6,4 3)12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )ln ,( ),f xx g xaxa aR （1）若直线( )yg x是曲线( )yf x的一条切线，求a的值； （2）若 1122 ( ,),(,)P x yQ xy是曲线( )( )( )yh xf xg x上的两个不同的点，证明： 1212 12 2 xxyy h xx 21 解析： （1） 设直线( )yg x与曲线( )yf x切于点( ,ln )tt， 1 ( )(0)fxx x ， 切线斜率 1 k t 切线方
27、程为 1 ln()ytxt t ，即 1 ln1yxt t ，1 分 1 , ln1ata t ，消去t得，ln10aa 设( )ln1aaa，则 1 ( )1a a ， 所以当01a时，( )0,( )aa单调递减；当1a 时，( )0,( )aa单调递增 min ( )(1)1 ln1 10a ，2 分 1a3 分 （2） 12121221 ( )( )( )ln,( )()lnln()h xf xg xxaxayyh xh xxxa xx， 12122112 121212 lnln()lnlnyyxxa xxxx a xxxxxx 5 分 又 12 12 12 ( ), 2 xx h x
28、aha xxx ，6 分 1 2 1212121211 1 12121212122122 2 21 lnln2()211 lnln 2 1 x xxxyyxxxxxx h x xxxxxxxxxxxxxx x 8 分 不妨设 1 21 2 0, x xxp x ，则1p ， 1 2 1 1 2 2 21 2(1) lnln 1 1 x xxp p x xp x 9 分 令 2(1) ( )ln(1) 1 p u ppp p ，则 2 (1) ( )0 (1) p u p pp ，10 分 ( )u p在(1,)上单调递减，( )(1)0u pu11 分 又 1212 2112 12 0,00
29、2 xxyy xxxxh xx ，即 1212 12 2 xxyy h xx 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 12 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 22 2cos40aa （1）若直线l过圆C的圆心，求实数a的值； （2）若圆C过定点 11,0 2 D ，且与直线l交于,A B两点，点(1,0)P，求APBP的值 22解析： （1）将直线
30、l的参数方程中的参数t消去，得其普通方程为1yx，1 分 将 222, cosxyx代入圆C的极坐标方程， 得圆C的直角坐标方程为 22 ()4xay3 分 圆心坐标为( ,0)a，依题意得01a，解得1a 5 分 （1）因为点(1,0)P在直线1yx上， 所以直线l的标准参数方程为 2 1 2 2 2 xt yt （ t 为参数） ，6 分 将上式代入圆C的直角坐标方程，得 22 2(1)230ta taa，7 分 222 2(1)4(23)24140aaaaa ，得2 2112 2a 把 11,0 2 D 代入 22 ()4xay，得 2 11 4 2 a ，解得 7 2 a 或 15 2
31、 a （舍去） 8 分 设,A B对应的参数分别为 12 ,t t ，则 2 1 2 9 23 4 t taa ，9 分 所以 1 2 9 4 APBP t t 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 设函数( )2,( )1f xxg xx （1）解不等式( )4 ( )f xg x； （2）若( )2 ( )10f xg xax 恒成立，求实数a的取值范围 23解析： （1）不等式( )4 ( )f xg x，即21xx，1 分 则 22 4(1)xx，2 分 所以(32)(2)0xx，解得 2 2 3 x4 分 故所求不等式的解集为 2 ,2 3 5 分 （2）( )2 ( )12211f xg xaxxxax ，依题意得22110xxax 恒成立，6 分 当0x时，22210xxax 恒成立，即(14)1ax恒成立， 可得40a ，此时4a； 7 分 当01x时，2221xxax恒成立，即 1 a x 恒成立，可得1a；8 分 当1x时，2221xxax恒成立，即 3 4a x 恒成立，可得1a 9 分 综上，实数a的取值范围是 4,1)10 分
