1、NCS20190607 项目第二次模拟测试卷 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 |20, |03Ax xxBxx，则AB等于（ ） A( 1,3) B(0,3) C(1,3) D(2,3) 1答案：D 解析： 2 |20 |(2)(1)0 |12, |03Ax xxxxxx xxBxx 或， 所以(2,3)AB 2已知,Ra b，复数izab，则 2 z等于（ ） A 22 2iabab B 22 2iab
2、ab C 22 ab D 22 ab 2答案：D 解析： 2 2222 ,zabzab 3已知函数 2 ( )f xaxxa，命题 00 :,()0Rpxf x，若p为假命题，则实数a的取值范围是 （ ） A 1 1 , 2 2 B 1 1 , 2 2 C 11 , 22 D 11 , 22 3答案：C 解析：因为p为假命题，所以:,( )0Rpxf x 为真命题， 当0a 时，( )f xx显然不满足题意； 当0a 时，( )f x为二次函数，而 2 140a ，解得 1 2 a 或 1 2 a 4已知抛物线 2 8yx的焦点为F，点P在该抛物线上，且P在y轴上的投影点为E，则PFPE的 值
3、为（ ） A1 B2 C3 D4 4答案：B 解析： 2 2,4,2 2 p ypxpPFPE 5一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为 1） ，则该几何体的体积是（ ） A 1 2 2 B21 C22 D24 5答案：C 解析：该几何体由一个圆柱体挖去一个三棱柱得到，其体积 2 1 122 1 222 2 V 6已知函数( )sin()0,0, 2 f xAxA 的部分图像如图所示， 若将( )f x图像上的所有点向左平移 4 个单位得到函数( )g x的图像， 则函数( )g x的单调递增区间是（ ） A 7 ,() 1212 Zkkk B 5 ,() 1212 kkk Z
4、C 57 ,() 2424 Zkkk D 11 ,() 2424 Zkkk 6答案：A 解析：解法 1（通解通法） ，由图可知， 5 ,2 41264 T T ，当 6 x 时， 22,2, 6326 ZZxkkkk ，又因为 2 ，所以 6 ， 所以( )sin 2 6 f xAx ，将( )f x图像上的所有点向左平移 4 个单位，得( ) 4 g xfx 2 sin 2sin 2 463 AxAx ，由 2 222, 232 Zkxkk ， 解得 7 , 1212 Zkxkk ，即函数( )g x的单调递增区间是 7 ,() 1212 Zkkk 解法 2：特值法，由图可知，函数( )f
5、x的一个单调递增区间的右端点为 6 ，将( )f x图像上的所有点向左 平移 4 个单位到函数( )g x的图像， 可知函数( )g x的一个单调递增区间的右端点为 6412 ， 故选A O 6 5 12 7已知 1 7 log 33, log 76,7 xy z，则实数, ,x y z的大小关系是（ ） Axzy Bzxy Cxyz Dzyx 7答案：D 解析： 111 36 367 3,3 ,7,7 ,7xxyyz， 因为函数7xy 是单调递增函数， 且 11 76 ， 所以zy， 626 39,7,97,xyxyzyx 8唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说： “百日登山望烽火，黄昏饮马傍
6、交河 ”诗中隐含着一个 有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回 到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 22 1xy，若将军从点 (2,0)A出发，河岸线所在直线方程为3xy，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将 军饮马”的最短总路程为（ ） A101 B2 21 C2 2 D10 8答案：A 解析：如图，作出点A关于直线3xy的对称点(3,1) A ，设饮马点为P，则“将军饮马”的总路程为 111101APOPA POPAB ，当点P为线段 OA 与直线3xy的交点时，总 路程最短，最短路程为101
7、3 2 1 1 24 B A A O P 9已知ABC中，2, 46 ABBC ，点P是边BC的中点，则AP BC 等于（ ） A1 B2 C3 D4 9答案：B 解析：由正弦定理可得 2 2 sin 2 ,2 2 1 sinsinsin 2 ACABABB AC BCC ， 则 22111 (84)2 222 AP BCABACACABACAB 10已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的焦距为2c，圆 222 1:( )(0)Cxcyrr与圆 222 2: ()4()RCxymrm外切，且E的两条渐近线恰为两圆的共切线，则E的离心率为（ ） A2 B5 C 6 2 D
8、 3 2 10答案：C 解析：如图，设两圆相切于点B，圆 1 C的圆心即为双曲线的右焦点( ,0)F c，则FB即为焦点F到渐近 线0bxay的距离，所以FBb，即rb，所以 2 22BCrb，由 2 OBFC OF， 可得 2 2 2 3OFBFC Fb，即 22 3cb，又 222 cab，所以 22 36 , 22 caca， 离心率 6 2 c e a B C2 F O 11已知( )f x是定义在R上的函数，且对任意的Rx都有( )()2cosf xfxx，( )sin0fxx， 若角满足不等式()( )0ff，则的取值范围是（ ） A, 2 B(, C, 2 2 D0, 2 11答
9、案：A 解析：设( )( )cosg xf xx，则()()cos()()coscos( )( )gxfxxfxxxf xg x ， 所以函数( )g x是奇函数，又( )( )sin0g xfxx，所以函数( )g x是单调递减函数 由()( )0ff，得 ()cos()( )cos0ff，即()( )0gg， 所以()( )(),ggg，解得 2 12平行六面体 1111 ABCDABC D的底面是边长为 4 的菱形，且60BAD，点 1 A在底面的投影O是 AC的中点，且 1 4AO ，点C关于平面 1 C BD的对称点为P，则三棱锥PABD的体积是（ ） A4 B3 3 C4 3 D8
10、 AB C D A1B1 C1D1 O 12答案：C 解析： 连接 111 ,AC OC， 在平面 11 ACC A中， 过C作 1 CMOC于点M， 并延长CM至点P， 使MPCM， 连接OP，由 11 ,BDAC BDAO ACAOO，可得BD 平面 11 ACC A，所以BDCP，又 1 CPOC， 1 BDOCO，所以CP 平面 1 BDC，点P即为点C关于平面 1 BDC对称的点，因为 1 4AO ， 11 4 3AC ， 11 90OAC，所以 11 60AOC，则 1 30COC，所以OPC是一个 边长为2 3的正三角形，所以点P到直线AC的距离为 3，所以 2 13 434 3
11、 34 P ABD V AB C D A1B1 C1D1 O P M P C1 C A1 A O 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知 26212 01212 (2)xaa xa xa x，则 34 aa等于 13答案：240 解析：显然 3 0a ，展开式中含 4 x的项为 22244 6( ) ( 2)240Cxx，所以 434 240,240aaa 14已知实数, x y满足 0 220 xy xy ，则2zxy 的最小值是 14答案：2 解析：作可行域为如图所示的OAB，其中 2 2 , 3 3 A ，(2,2)B，则2,0,2 A
12、OB zzz ， 所以2zxy 的最小值是2 B z O x y A B 15已知 3 sincos 24244 ，则sin 15答案： 1 2 解析： 2 3 sincossincossin 242424242244 ， 所以 2 1 cos12sin 2242 ，所以 1 sincoscos 222 16江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交车加步行或乘坐地铁加步行江先生从家到公交站或地铁站 都要步行 5 分钟公交车多且路程近一些，但乘坐公交车经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分 布 2 (33,4 )N， 下车后从公交车站步行到单位要 12 分钟； 乘坐地铁畅通， 但线路长且乘客多，
13、 所需时间 （单 位：分钟）服从正态分布 2 (44,2 )N，下地铁后从地铁站步行到单位要 5 分钟下列说法：若 8：00 出 门，则乘坐公交车不会迟到；若 8：02 出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；若 8：06 出门， 则乘坐公交车上班不迟到的可能性更大；若 8：12 出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到从统计的 角度认为以上说法中所有合理的序号是 参考数据：若 2 ( ,)ZN ，则()0.6826PZ， (22 )0.9544,(33 )0.9974PZPZ 16答案： 解析：设坐公交车所用的时间为X，乘坐地铁所用的时间为Y，则 22 (33,4 ),(44,2 )XNYN，
14、若 8：00 出门，则乘坐公交车迟到的概率为(43)(2.5 )0P XP X，所以仍然有可能迟到， 错； 若 8： 02 出门， 则乘坐地铁上班不迟到的概率为 1 (48)(2 )0.50.95440.9772 2 P YP Y， 乘坐公交车上班不迟到的概率为 1 (41)(2 )0.50.95440.9772 2 P XP X， 所以若 8：02 出门，乘坐地铁和乘坐公交车不迟到的概率相等，错； 若 8：06 出门，则乘坐公交车不迟到的概率 1 (37)()0.50.68260.8413 2 P XP X， 乘坐地铁不迟到的概率(44)0.5P Y ，所以乘坐公交车不迟到的可能性更大，正确
15、； 若 8：12 出门，则乘坐地铁上班不迟到的概率为 1 (38)(3 )(1 0.9974)0.0013 2 P YP Y， 概率很小，所以乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，正确 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是公差不为零的等差数列， 1 1a ，且存在实数满足 1 24 nn aa ，Nn （1）求的值及通项 n a； （2）求数列 2 n n a 的前n项和 n S 17解析： （1）设等差
16、数列 n a的公差为d，由 1 24 () nn aan N， 得 1 24 (,2) nn aann N 两式相减，得2dd，又因为0d ，解得2；4 分 将2代入可得 1 2 nn aa ，即2d ， 又因为 1 1a ，所以1(1) 221 n ann 6 分 （2）由（1）可得 1 2 2(2) 12(21) n nn n ann ，8 分 所以 231 4(12 )(321) (222)35(21) 1 22 n n n nn Sn 22 224 n nn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，矩形ABCD中，3,1,ABBCEF、是边DC的三等分点现将,DAECBF分别沿
17、 AEBF、折起，使得平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直 （1）若G为线段AB上一点，且1AG ，求证：/DG平面CBF； （2）求二面角ACFB的余弦值 A B CD E F A B EF C D G 18解析： （1）如图，分别取,AE BF的中点,M N，连接,DM CN MN， 因为1ADDE，90ADE，所以DMAE，且 2 2 DM 因为1BCCF，90BCF，所以CNBF，且 2 2 CN 因为平面DAE、平面CBF均与平面ABFE垂直，所以DM 平面ABFE，CN 平面ABFE， 所以DMCN ，所以四边形CDMN是矩形，CDMN ， 又MN是梯形ABFE的中位线， 所
18、以/MNAB， 且2 2 ABEF MN ， 又2BG ， 所以MNBG ， 所以CDBG ，所以四边形BCDG是平行四边形，所以/DGBC， 又因为DG 平面CBF，BC 平面CBF，所以/DG平面CBF E F A B C D G E F A B C D G M N x y z （2）如图，以G为原点，分别以,AB GE所在直线为, x y轴，以过G点并垂直于平面ABFE的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则 3 12 ( 1,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(1,1,0), 2 22 ABEFC ， 则 112 (2,1,0),( 1,1,0) 222 AFFCBF ， 因为,G
19、FBF GFCN， 故GF 平面CBF， 从而(1,1,0)GF 是平面CBF的一个法向量； 设( , , )nx y z 是平面AFC的一个法向量，则 20 0 200 xy n AF xyzn FC ，解得 320 20 xz xy ， 取2x ，则4,3 2yz，即( 2,4,3 2)n ， 所以， 219 cos, 19238 GF n GF n GFn ， 由图可知，二面角ACFB为钝角，所以二面角ACFB的余弦值为 19 19 12 分 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于 0 的直线l与C交
20、于 ,P Q两点，与y轴交于N点当M为C的右焦点且l的倾斜角为 6 时，,N P重合，2PM （1）求椭圆C的方程； （2）当, ,N P Q M均不重合时，记,NPNQ MPMQ ，若1，求证：直线l的斜率为定值 19解析： （1）因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为 6 时，,N P重合，2PM 所以 3 2, 3 b a c ，因此3,1cb，所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y5 分 Q N(P) M(F2) O N P Q O M （2）设:(0,0)l xtym tm，所以( ,0),0, m M mN t ，所以 1 l k t 设 1122 ( ,),(,)P x yQ x
21、y，则 1122 , mm NPx yNQxy tt ， 由NPNQ 得， 12 xx， 同理可得 12 yy， 两式相乘，得： 1122 x yx y，又1，所以 1122 x yx y，7 分 所以 1122 ()()tym ytym y，即 22 1221 ()()t yym yy，即 2112 ()()0yymt yy， 由题意知0 l k ，知 12 0yy，所以 12 ()0mt yy8 分 由 2 2 1 4 xtym x y ，得 222 ()240tt ytmym，依题意， 12 2 2 4 tm yy t 10 分 所以 2 2 2 0 4 t m m t ，又0m ，所以
22、 2 4t ，解得2t ， 所以 11 2 l k t ，即直线l的斜率为 1 2 20 （本小题满分 12 分） 某品牌餐饮公司准备在 10 个规模相当的地区开加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中 5 个 地区试点，得到试点加盟店的个数分别为 1，2，3，4，5 时，单店日平均营业额 y（万元）的数据如下： 加盟店个数 x（个） 1 2 3 4 5 单店日平均营业额 y（万元） 10.9 10.2 9 7.8 7.1 （1）求单店日平均营业额 y（万元）与所在地区加盟店个数 x（个）的线性回归方程； （2）该公司根据回归方程，决定在其他 5 个地区中，开设加盟店个数为 5，6，7
23、的地区数为 2，1，2小 赵和小王都准备加入该公司的加盟店，但根据公司规定，他们只能从这 5 个地区的 30 个加盟店中随机抽 取一个加入记事件 A：小赵和小王抽取的加盟店在同一个地区，事件 B：小赵与小王抽取到的加盟店预 计日平均营业额之和不低于 12 万元，求在事件 A 发生的前提下事件 B 发生的概率 参考数据及公式： 55 2 11 125,55 iii ii x yx ， 线性回归方程 ybxa，其中 1 22 1 , n ii i n i i x ynx y baybx xnx 20解析： （1）由题可得，3,9xy，设所求线性回归方程为 ybxa，2 分 则 1 22 1 125
24、 135 1 5545 n ii i n i i x ynx y b xnx ，4 分 9( 3)12aybx ，故所求回归直线方程为12yx 6 分 （2）根据回归方程，加盟店个数为 5 的地区单店预计日平均营业额为 7 万元， 加盟店个数为 6 的地区单店预计日平均营业额为 6 万元， 加盟店个数为 7 的地区单店预计日平均营业额为 5 万元； 所以 22222 56756 22 3030 2227735 ( ),() 435435 CCCCC P AP AB CC ，10 分 所以 ()5 (|) ( )11 P AB P B A P A 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函
25、数( )(ln),( )1 x f xx eaxxg xmx （,Ra m且为常数，e为自然对数的底） （1）讨论函数( )f x的极值点个数； （2）当1a 时，( )( )f xg x对任意的(0,)x恒成立，求实数m的取值范围 21解析： （1）( )f x的定义域为(0,)， 11 ( )(1)1() xx x fxxeaxea xx ， 因为函数 x yxe在区间(0,)上单调递增，且值域为(0,)，2 分 当0a时，0,( )0,( ) x xeafxf x在(0,)上单调递增，无极值点；4 分 当0a 时，方程0 x xea有唯一解，设为 00 (0)xx ，且当 0 0xx时，
26、( )0fx， 当 0 xx时，( )0fx，所以 0 x是函数( )f x的极小值点，即函数( )f x只有 1 个极值点6 分 （2）解法 1：当1a 时，不等式( )( )f xg x对任意的(0,)x恒成立， 即ln1(1) x xexmx对任意的(0,)x恒成立，7 分 即 ln1 1 x x em x 对任意的(0,)x恒成立，记 ln1 ( ) x x F xe x ，8 分 2 22 lnln ( ) x x xx ex F xe xx ，记 2 ( )ln x h xx ex，则( )h x在(0,)上单调递增， 且 1 2 1 10, (1)0 e hehe e ，所以存在
27、 0 1 ,1x e 使得 0 ()0h x， 且 0 (0,)xx时，( )0,( )0h xF x；当 0 (,)xx时，( )0,( )0h xF x 所以 min0 ( )()F xF x，即 0 0 min 0 ln1 ( ) x x F xe x ，10 分 又因为 0000 1 ln 2 0 00000 00 ln1 ()0lnln xxxx x h xx exx ex ee xx ， 所以 0 0 1 lnx x ，因此 0 0 0000 min 000 ln1ln111 ( )1 x x xx exx F xe xxx ， 所以11m，解得0m综上，实数m的取值范围是(,01
28、2 分 解法 2：当1a 时，不等式( )( )f xg x对任意的(0,)x恒成立， 即ln1(1) x xexmx对任意的(0,)x恒成立， 即 ln1 1 x xex m x 对任意的(0,)x恒成立， 记( ) t h tet，因为( )1 t h te，所以当0t 时，( )0h t，当0t 时，( )0h t， 所以( )(0)1h th，因此1 t et （当且仅当0t 时取“” ） ， 所以 ln ln1ln1ln1 ln1 xx x xexexxxxx ， 所以 ln1 1 x xex x ，当且当ln0xx时，取到“” ， 所以 ln1 x xex x 的最小值是 1，因此
29、11m，即0m， 综上，实数m的取值范围是(,012 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 1 2 3 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴非 负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2 2cos20，点P的极坐标是 2 15 2 , 33 （1）求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离； （2）若直线l与曲线C交于,M N两点，求PMN的面积 22解析： （1）由 1 2 3 2 xt y
30、t ，消去t得3yx，即sin3 cos , 3 ， 所以直线l的极坐标方程为() 3 R3 分 点 2 15 2 , 33 到直线l的距离为 2 1522 153 sin5 33332 d 5 分 （2）由 2 2cos20 3 ，得 2 20,(2)(1)0，解得 12 1,2 ， 所以 12 3MN， 8 分 则PMN的面积为 113 5 35 222 PMN SMNd 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知, a b为正实数，函数( )2f xxaxb （1）求函数( )f x的最大值； （2）若函数( )f x的最大值为 1，求 22 4ab的最小值 23解析： （1）因为( )2()(2 )2f xxaxbxaxbab， 所以函数( )f x的最大值为2ab5 分 （2） 由（1）可知，21ab， 所以 222 2(4)(2 )1abab，即 22 1 4 2 ab， 当且仅当 1 2 2 ab时取“” ，所以 22 4ab的最小值为 1 2 10 分
